2024届河北省雄安新区部分高中高考三模数学试题（解析版）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.设卜卜2,。为单位向量，则a的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的性质求解即可.

【详解】因为B+同嗣+同，忖=2,0为单位向量，所以忖+同43.

当且仅当Z/同向时，取到等号.

故选：C

2.已知复数2=竺老（a$R,i为虚数单位），贝『七＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限，，的

i

（）条件

A,充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简z,根据复数的几何意义，即可判断和选拦.

【详解】z=♦三二节三二3-出，则z在复平面内对应的点为（3,一。）；

点（3,-。）位于第四象限的充要条件是一。＜0,即。＞0；

故＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限，，的充要条件.

故选：A

3.设全集为。定义集合A与3的运算：=且xdcB},则（Z*8）*4=（）

A.AB.BC.4nq8D.B“A

【答案】B

【解析】

【分析】

根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.

【详解】=且=(81Q/)U(4lQI)

.•.(4*8)*力=[/1Q"*8)]U[(4*8)I电川=(力I8)11(81Q/)=8

故选：B

【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.

4.已知出/£（0,5）,COS(«-/7)=—,tana-tan,则a+/?=()

64

71n712兀

A.-B.一c.一D.一

3463

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出sinasin/7、

cosacos,再求出cos(a+〃)即可.

【详解】因为cos(a-£)="|,tanatan〃=；,

cosacosfi+sinasinP=—

所以

sinasinP_1

cosacosp4

c2

cosacosp=-

解得

,c1

sinasinP=~

所以85(。+/)=(：050(：0$夕一5出0^110=3,

又。/《。看,所以a+〃w（0,7r）,所以a+/=1.

3

故选：A

5.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱

锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为（）

B.32

C.28D.24

【答案】C

【解析】

【分析】设每个直三棱柱高为心每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为6,设正四

—abh=3

2

棱台的高为人，可得出《求出/力的值，即可求得该正四棱台的体积.

—b2h=1

3

【详解】设每个直三棱柱高为。，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为〃，

设正四棱台的高为〃，因为每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,

1LIC

—abh=3

2

则可得a2b2卜2=a2hh2h=a2hx3=36»可得a%=12,

-b2h=\

13

所以，该正四棱台的体积为P=/〃+4x3+4x1=12+16=28.

故选：C.

6.小李买了新手机后下载了个APP,已知手机桌面上每排可以放4个APP,现要将它们放成

两排，且A和8放在同一排，则不同的排列方式有（）

A.288种B.336种C.384种D.672种

【答案】D

【解析】

【分析】分两种情况，①A和6单独放一排，②A和8与。或。其中的一个放一排，再结合排列组合知识

求解.

【详解】分两种情况讨论：

①A和8单独放一排，有C；A；A：=2x4x3x4x3=288种排列方式,

②A和8与C或O其中的一个放一排，有CCA：A：=2x2x4x3x2x4=384种排列方式,

所以不同的排列方式有288+384=672种.

故选：D.

7.己知直线/：4丫+妁，+。=0(/+炉±0)与曲线取：八/一》有三个交点。、E、F,且

\DE\=\EF\=2f则以下能作为直线/的方向向量的坐标是().

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函数丁=/一1的性质可得曲线小的对称中心(0,0),即得E(0,0),再根据给定长度求出点。

的坐标即得.

【详解】显然函数/(x)=d-x的定义域为R,/(r)=(r)3-(r)=-/(x),即函数/⑴是奇函数，

因此曲线力的对称中心为(0,0),由直线/与曲线%的三个交点。，已尸满足|。目二|91=2,得

£(0,0),

设。。,丁一工)，则/+,一幻2=4,令工2二”则有广一2"+2-4=0,即(/+2)("2)=0,

解得U2,即工=±0,因此点。(五，&)或。(-0,-&),而=(右,逝)或而=(-0,-夜)，

选项中只有坐标为(1,1)的向量与瓦共线，能作为直线/的方向向量的坐标是(1,1).

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为(0,0),从而得到E(0,0),然后再去设点。

坐标，根据闵二2,得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出。的坐标即可.

8.过抛物线C:_/=4x焦点R且斜率为"的直线与。交于4、8两点，若方为△产力3的内角平分线，则

△PZ3面积最大值为()

81632

A.—B.—C.—D.16

333

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线48的方程，与抛物线方程联立求出点48的坐标，由内角平分线可得

\PA\\AF\

=3,由此求出点P的坐标满足的关系，进而求出点P到直线48距离的最大值即可得解.

\PB\\BF\

【详解】抛物线C:_/=4x焦点厂(1,0),直线力4的方程为丁=月(％1),

x.=一

由卜「△、—解得.

D,'3x.=3不妨令8号1一o等)，,。,2折广,

y"=4x2G'

…亍

16用

I-ARDI|=—1+1.+3a+1i=M-=・3+1■=3、

则।।33'|3尸|1+1，由PF为△尸43的内角平分线,

3

\pA\^\PA\­\PF\sinZAPFs

指3,—),

得

1尸8|L\PB\\PF\s\nABPFS^PF

于是Ja-3)2+(y-2VJ)2=3,(x_f+U+苧)2

整理得Y+(y+JJ)2=4,显然点P在以点(0,一百)为圆心，2为半径的圆上，因此点P到直线力8距

离的最大值为2,

所以面积最大值为］X2X3=2

233

【点睛】关键点点睛：借助三角形面积公式求出角平分线的性质，进而求出角顶点

的轨迹方程是解题之关键.

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分)

11__7

9.设.4,8是一次随机试验中的两个事件，且尸(4)=一，=P(AB+AB)=二,贝ij()

3412

__5P(B|/)=；

A.A,8相互独立B.P(A+B)=-c.D.P(孙尸(M

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B,利用条件概率的定义与公式

可判定C、D.

—，一3

【详解】由题意可知尸（4）=l—P（1）=j,P（A）=l-P（B）=w，

事件初，而互斥，且P（4）+尸（，8）=尸⑷,可办）+尸（4B）=P（8）,

所以+4与）二尸（）8）+尸（4月）=P（Z）+尸（8）—20（45）二"，

2171

即§+彳一20（45）=正=>P（/8）=w=P（4）P（B）,故A正确；

则P（N+耳）=尸（1）+尸伍）—P（刀）=P（N）+P（用一p（N）p3）

13135

一十一—X—=—故B正确;

34346

1

P(Z叽％」1

由条件概率公式可知尸(4/)=故C错误;

尸(4)243

3

L）P（8）尸（8）13

4

21

P(B\A需二"二?手*B）“（M故D正确.

3

故选:ABD

10.如图，多面体8c。由正四棱锥〃一力3。。和正四面体S〃8c组合而成，其中〃S=1,贝ij（）

B,该几何体为七面体

C.二面角力一PB—C的余弦值为-"

D.存在球。，使得该多面体的各个顶点都在球面上

【答案】AC

【解析】

【分析】求出几何体的表面积判断A：利用二面角的平面角的余弦计算判断BC；利用正四棱锥、正四面体

的外接球球心位置判断D.

【详解】依题意，正四棱锥P-488和正四面体SP8C的所有棱长均为1,

对于A,该几何体的表面积为65/¥7)+5.7)=6、@乂12+12=班+1，,4正确；

ArCL/.ioCU42

对于B,取尸8中点G,连接4G,CG,SG,由aPABaPBC/PSB均为正三角形,

得4GJ•尸8,CGPB,SGlPBf则ZAGC/SGC分别是二面角A-PB-C和二面角S-尸4一C的

平面角，

且尸3_L平面4GC,依，平面SGC,而平面4GC与平面SGC有公共点G,因此四点4G,S,C共

面，

（当2+（当2_（向2]（务+（当2721

又cosZ-AGC=------i—,=-----=——,cosZ.SGC=J广—=—

n663V3V33

2x—x—20x—x——

2222

而4GC,NSGCe[0,7r],于是N/GC+NSGC=?r,

则平面PBS与月必为同一平面，同理，平面尸CQ和平面尸SC也为同一平面,

所以该几何体为五面体，B错误;

对于C,由选项B知，二面角力一08-。的余弦值为-；，C正确；

对于D,正四棱锥P-ABCD的外接球球心。】在过点P垂直于平面ABCD的直线上，

正四面体SPBC的外接球球心02在过点p垂直于平面SBC的直线上，而平面ABCDn平面

SBC=BC,

因此直线尸与直线尸。2不重合，显然SQ>5。2，力。<力。2,即点S在球。外，点A在球。2外，

所以不存在球。，使得该多面体的各个顶点都在球面上，D错误.

故选：AC

II.已知函数/(x)=sinx+cos2x与g(x)=sin2x+cosx，记力(x)=2/(x)+〃g(x),其中4,//eR

且万+〃2工().下列说法正确的是()

A.〃(x)一定为周期函数

B.若心〃>0,则〃'(x)在(0卷)上总有零点

C.C》)可能为偶函数

D.”x)在区间(0,2兀)上的图象过3个定点

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：计算力(工+2兀)，化简即可；对于B：求出“(X),然后计算的正负即可；

对于C：计算〃(x),6(r)是否恒相等即可；对于D：令m=o,求解x即可.

【详解】对于A,VXGR,A(x+2TC)=A/(x+2^)+jug(x+2n)=2/(x)+jug(x)=A(x),A正确;

对于B,/ir(x)=2(cosx-2sin2x)+/z(2cos2x-sinx),

则力'(0)=4+2〃，=—

因为M>o,即％,〃同号，所以"⑼1仔'<°，

/\

由零点存在定理知/(X)在0,5上总有零点，故B正确；

对于C,//(%)=2sinx+/lcos2x+//sin2x+//cosx,

h(-x)=-2sinx+2coslx-/J,sin2x+jucosx,

由/j(x)=/j(-x)22sinx+2//sin2x=24sinx+2〃2sinxcosx

=2sinx（4+2〃cosx）=0对x£R恒成立,

则％=〃=0与题意不符，故C错误；

/(力=0

对于D,令，

g⑴=0'

sinx+cos2x=l-2sin2x+sinx=-(sinx-l)(2sinx+l)=0

则〈

sin2x+cosx=cosx(2sinx+1)=0

2_

sinx=1或sinx=

2

=>，:,即xw—+2E,—+2^71,—+2Zr7r»,kwZ,

626

cosx=0或sinx=—

2

TI/711lit…八，

故所有定点坐标为一：+2E,0,—4-2hc,0,N~+2E,0j,keZ,

I6)［2}

又因为x«0,2兀），所以函数力（工）的图象过定点故D正确;

故选：ABD.

第H卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

a1Y

12.x+—lx--展开式中的常数项是120,则实数。

xX)

［发］2

【解析】

、

【分析】求出的通项公式，得到4=一4丝0与4=80%,从而得到「+a

2x--展开式常数

xxx,x

项，得到方程，求出。=2.

【详解】*：\2x--\展开式的通项公式为ZF4-I=(-1)'C⑵-"526=0,1,2,...,5),

X

40

令5—2厂=-1得广=3,即7；=-(3；22<|=——

X

令5—2尸=1得尸=2,即7；=C；23X=80X,

a

x+—2x--\展开式中的常数项为公7；+且公=-40+80。,

XX)X

故-40+80。=120,解得。=2.

故答案为：2

22

13.已知双曲线c：J一方=I（Q>O/>0）的左、右焦点分别为£,鸟，过E的直线与丁轴相交于点

M,与c在第一象限的交点为尸，若府=2诉，用•郎=o,则。的离心率为.

【答案】6+i##i+VJ

【解析】

【分析】设|“0|=乙利用双曲线定义、勾股定理得加2+（2。—3。2=402,再由△片Pgs△片。加，得

2tc

—,可得答案.

2c3（

【详解】设|必|=匕则|耳M|=2f,所以归局=3-2%

因为/衣=0,所以/£建=90"

22

可得俨片『+|叫「=|月眉2,Bp9r+（3r-2a）=4（?①，

因为^PF2=N片OM,ZF/P=/必片。，所以△片尸△片0历,

也一幽

所以同”啜弋②，

由①②可得/一2限+2=0，

解得e=JJ+l，或？=6-1（舍去）.

故答案为：4-1.

14.若对于V〃?e[-e,e],VyG（-l,+oo）,使得不等式4—+ln（x+l）+（2023-次）工-1<yln（y+l）恒

成立，则整数x的最大值为.

【答案】0

【解析】

【分析】由题，有[4》3+111(工+1)+(2023-加)工-1]陋<[川11('+1)]而.利用导数可得

[^ln(^+l)]m,n=0,则可得[4/+In(x+1)+(2023-w)x-1]皿<0,

后将4/+ln(x+l)+(2023-w)x-1看成关于m的函数g(〃?)，后分类讨论

g(加)的最大值与0的大小即可.

【详解】4工3+In(x+1)+(2023-m)x-l<yin(y+1)恒成立，

等价于[4/+In(0+1)+(2023-/M)Tmax

令/(歹)=yIn(y+1),ye(-l,+00),则/'(y)=In(y+1)+,

注意到Jw(-LO)时,/f(O)=O,歹£(0,+co)时，/''3>o.

则/(力在(TO)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,则/(力之/(0)=0.

<ln，+1

M[^ln(^+l)]mjn=O,则[4x3+ln(x+l)+(2023-m)x-lLb(>)]rain

<=>[4x3+In(x+1)+(2023-w)J-1]^<0.

令S(加)=~xm+4x3+2023x+In(x+1)-1,mG[-e»e],

当x=0,g(w)=-1<0,故x=0满足条件；

当x21,则g(加)在[-e,e]上单调递减,

故g("Drax=g(-e)=©+4/4-2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1,XG[1,+<»).

则p'l：x)=12x2+e+2023+>0,得p(x)在口,依)上单调递增，

xNl时，p(x)>p(1)>0,不合题意；

综上，整数x的最大值为0.

故答案为：0.

【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量与恒成立，难度较大.

恒成立问题常转化为最值相关问题，本题因告知，〃范围，求x范围，故还采取了变换主元的做题方法.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知函数/（x）=xlnx-or2-3x（awR）.

（1）若x=l是/（X）的一个极值点，求。的值；

⑵若/（X）有两个极值点x1，占，其中王＜/，求。的取值范围.

【答案】（1）-1

（2）（哈）

【解析】

【分析】（1）根据极值点的概念求参数。的值；

（2）函数由两个极值点，转化为/'（可=0有两个不同的零点，再分离参数，转化为求函数的最值问题解

决.

【小问1详解】

易知/'（x）=Inx+1-lax-3=Inx-2ax-2,

又x=l是/（x）的一个极值点，所以/'（1）=0,即—2a—2=0,所以a=T,

此时/'（x）=lnx+2x-2,

令lnx+2x-2,A,（x）=—+2＞0,

X

所以/‘（》）=%卜）在（。,+8）上单调递增，且r⑴=o,

当xw（0,l）时，/,（x）＜0,当xe（l,+8）时，/\x）＞0,

所以/（力在（0』）上单调递减，在（1,+。）上单调递增，

所以入=1是/（X）的极小值点，即符合题意，

因此。的值为-1.

【小问2详解】

因为/'（力=欣一2or-2,且/（x）=Mnr-加_3x（«wR）有两个极值点多，x2,

所以方程/'（X）=0在（0,+。）上有两个不同的根，

即方程lnx-2ar-2=0有两个不同的正数根,

IG

将问题转化为函数g(x)=里工与函数歹=2〃的图象在(o,+8)上有两个不同的交点，

X

则g'(x)=3，令g，(x)=3产=0,解得x=e3,

XJC

当工〉e3时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当0<x<e3时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

0,故作出g(x)的图象如图所示:

即。E，即。的取值范围为

16.在四棱锥尸—48CQ中，平面P4C1底面48CQ,BDLAP.

(1)3OJ.4C是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；

(2)若△PZC是正三角形，且P-Z8D是正三棱锥，AB=2,求平面以。与平面P8C夹角的余弦

值.

【答案】(1)不一定，理由见解析

⑵运

13

【解析】

【分析】(1)过点P作4c的垂线交片。于点E,由面面垂直的性质得到尸£_L底面N8CO,举出反例

当/尸_L4C,即点A与点E重合时，均可得得到30_L力尸.

(2)依题意可得点E为ZC的中点，再由线面垂直的性质得到PEJL8。，从而得到301平面力0C,

设BZ)c/C=。，则。为80的中点，作OF//EP,则OFJ•底面/8CQ,如图建立空间直角坐标，利

用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

因为平面PAC1底面ABCD,过点P作AC的垂线交AC于点E,

又平面P4Cn底面48C0=4C,PEu平面P4C,所以_L底面46。。，

若彳尸_L4C,则点A与点E重合，即力产1底面为3cO,

所以/尸垂直平面/SCO内任意直线，即8。与4c无论何种位置关系，都有8。_L4尸,

所以3D_L/C不一定成立.

【小问2详解】

因为△尸4c是正三角形，则点E为4c的中点，

由（1）PE_L底面/3CO,又BDu底面4BCD,所以尸E_L8Q,

又BD1AP,PE[}AP=Pt庄',/Pu平面/PC,所以8Q/平面/尸。,

又/Cu平面4PC,所以3O_L4C,又。一力3。是正三棱锥，即△N5Z）为等边三角形,

设BDcAC=O,则。为3。的中点，焊OFHEP、则。/1底面NBCZ）.

如图建立空间直角坐标系，则4（0,-/,0）,60,0,0）,C0,弓,0,。（一1,0,0）,

pfo-^,2

\3J

。当丽中,辛,

所以而二（一1,石,0bAP=J,反=7,去,0,

n-AD=-x+y/3y=0

设平面尸/Q的法向量为为=（%J,z）,则＜

n•AP=~~y+2z=0

—V3

mBC=-a+—b=0

设平面P8C的法向量为而=（Q,b,c）,贝］＜；,取而二（石,3,百上

n^P=-a-—b+2c=0

3

所以平面尸4D与平面P8C夹角的余弦值为姮

13

17.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子

弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:

678910

环数

环环环环环

甲的射击

11102424

频数

乙的射击

32103015

频数

丙的射击

24101826

频数

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由;

（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个T0环”的概率;

（3）甲、乙、丙各射击10次，用X（i=l,2,3）分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于。环的次数，其

中aw{6,7,8,9},写出一个。的值，使。（丫3）＞。（丫2）＞。（吊），并说明理由.

【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析

⑵旦

100

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分别计算出丙射击成绩和甲射击成绩，比较大小即可判断.

(2)根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率，再根据

互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式求解即可.

(3)根据题意禺(，=1,2,3)服从二项分布，利用二项分布方差公式求出每一个a对应的

。(%),。(％2)，。(冬)，即可解答.

【小问1详解】

甲进入决赛，理由如下:

丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549,

因为549＞542,所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.

【小问2详解】

242

根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为二=二，

605

242

“甲命中10环”的概率可估计为二二二，

605

301

“乙命中9环”的概率可估计为一=二，

602

“乙命中10环”的概率可估计为£=工，

604

所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为

x（牙+C；x信［xC；x仕xJ］二旦.

⑸⑶［5）（24）100

【小问3详解】

。=7或a=8(写出其中一个即可).

根据题中数据：

59

当4=6时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为尸

60

19

在每次射击中，乙击中大于6环的概率为P=—,

20

29

在每次射击中，丙击中大于6环的概率为P=—,

30

(59（19

由题意可知10,二：X,〜B10,—

I602I20

591591911929129

此时。（Xj=10x二x—==，Z）（yJ=10x—X—=—,D（X）=10x—x—,不满

'176060360,27202040137303090

足。(区)＞。(％)＞。(%).

当。=7时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为尸=：；；；,

30

在每次射击中，乙击中大于7环的概率为尸==，

12

9

在每次射击中，丙击中大于7环的概率为P二二，

(29、(八11、(9]

由题意可知X〜810,京，X2-B\10,—,X「B10,—,

\JU/\"/\1UJ

70129111559IXI

此时川Xj=10x—x—=一，D(ArJ=10x—X—=—,Z)(%J=10x—X—=—,满足

1727

'3030901121272'猫i01090

D(X5)>D(X2)>D(%.).

4

当a=8时.，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为尸=w，

3

在每次射击中，乙击中大于8环的概率为P=i，

在每次射击中，丙击中大于8环的概率为P=U,

由题意可知乂〜卜；玛〜白

80,1,X2-B[10,1),8110,

此时(；(11488

OXj=10x*x=|,P%2)=10x1xl=y£>(%,)=10x—x—

v37151545

满足。(*3)＞。(牙2)＞。(%).

2

当。=9时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为尸=不，

在每次射击中，乙击中大于9环的概率为尸=：,

4

13

在每次射击中，丙击中大于9环的概率为尸=.，

由题意可知乂〜X?〜工〜3(10,那

2a471%15H17771

此时O(Xj=10x*x2=一，D(yJ=10x-x-=—,D(yJ=10x—x-,

'"5520v27448v37303090

不满足O(X3)>O(X2)>Z)(XJ.

18,已知7是O4:(x+l)2+y2=i6上的动点(A点是圆心).定点8(1,0),线段78的中垂线交直线〃

于点P.

(1)求尸点轨迹「；

(2)设尸点(不在“轴上)在「处的切线是/.过坐标原点。点做平行于/的直线，交直线P/、尸8分别于

点C、D.试求S'PAB-S&PCD的取值范围.

【答案】（1）工+匕=1；

43

声]

【解析】

【分析】（1）利用中垂线的性质，结合椭圆的定义求解;

\PA\\PB\

鬲局,设直线，的方程，联立方程组由条件

（2）方法一：结合三角形面积公式可得£P/8：SAPCD

\PA\\PB\

求腕，扃，由此可得S.p/8：Sj8解析式，再求其范围;

方法二：结合椭圆的光线性质证明归。|=|尸。1=2,结合三角形面积公式可得

S.B:ShPCD=^\PA\\4-\PA\),再求其范围即可.

【小问1详解】

由中垂线的性质得|P5|=|PT],所以|尸5|十|「4卜|"|+|尸7卜4>|阴=2,

所以，动点尸的轨迹是以48为焦点，长轴长为4的椭圆,

设该椭圆的方程为二+E=I,

a2b1

则。=2，b=yja2—1=^3»

因此，曲线「的方程为：—+^-=1.

43

【小问2详解】

hpA\]PB[sinZAPB以阀

方法一：因为：S“c。=-j-----------------------------=雨•丽，

-|PC||PZ)|sinZ.CPD\PC\\PD\

设。（%,%）,。（和,加）,尸（即为＞）»则J'p，

rclyp-yc\rL）\yp-yo

因为/存在斜率，设为2,

所以直线/的方程为卜=左（工一与）+力

x2y2_

联立可得彳43,

y=k（x-xp）^yp

22

消去J,（4公+3）X+8（^-AXP）AX+4（^-AXP）-12=0©,

由已知，方程①的判别式A=64（M，—1）廉2-4（4〃2+3）[43-缶）2-12]=0,

所以4%2-（yp-hp）2+3=o,

所以（4-焉产+2xpy/-yJ+3=0②，

方程②的判别式A2=以沉-4（4一年）（3-吊）=16"+12郎—48,

又底+近=1,即3x；+4y：=12,

43

所以4=0,所以方程②的解为A=一;*，又4"=3（4-焉）,

,3x

所以％=一;;—p

所以直线/的方程为：?x+4_y=i

43

所以CQ：生x+"y=0③.

43

xn+1

又直线?出%=——y-\®,

yP

联立③④，消，可得，子”,

办为＞

解得”•

4+/

4+Xp

4

归阳二孙二4-马

同理可得,

\PD\~yP-yD^4

所以：S“co[6'；又-2<Xp<2,

方法二：由椭圆的光学性质可知，/是/.4P3的外角平分线（如图标识）,

n-N4PR

即a=B

2

因为CO〃/,所以NPCQ=a=4=NPZ）C,

从而|PC|=|PQ|,结合/COA=/BOD,

广\AC\sinZCOAsinZBOD\BD\

所以由正弦定理可知品=际3=诲5=扃'

这意妖着|4C|二忸必，从而4=忸㈤+|P3|=|PC|+\PD\=2\PC\,