2025版高考数学复习：立体几何初步-原卷版

专题09立体几何初步

考情概览

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，4

1.高考对立体几何初步的考查，重点是2023•新高考I卷，14

掌握基本空间图形及其简单组合体的2024•新高考I卷,5

柱、锥、台体的表面积与体积

概念和基本特征、解决多面体和球体的2022•新高考n卷，11

相关计算问题。同时需要关注异面直线2023•新高考n卷，9

的判定和成角问题、空间点线面的位置2023•新高考n卷，14

关系问题、夹角距离问题、截面问题。2022•新高考I卷，8

这些问题对考生的空间想象能力要求球的切接问题2023•新高考I卷,12

有所提升，需要考生有强大的逻辑推理2022•新高考n卷，7

能力。2022•新高考I卷，9

夹角问题

2024•新高考n卷，7

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，n卷考查了以棱台为背景的线面角

的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式

和提升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台

体的表面积和体积计算。

试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考I卷-5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为则圆锥的体

积为（）

A.26兀B.C.6乖inD.96兀

52

2.（2024新高考n卷-7）已知正三棱台的体积为石，AB=6,44=2,则4/与平面/8C

所成角的正切值为（）

A・-2B.1C.2D.3

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考I卷-4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为"O.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为

180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升至t]157.5m时,

增加的水量约为（不。2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2x10sm3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考I卷-8）己知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为367，且

34/436，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

■81]「27811「2764]…

A.18,—B.-C.—D.r[i1n8,27]

_4J144」L43_

3.（2022新高考n卷-7）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和46，其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.1287rC.1447tD.192兀

二、多选题

4.（2022新高考I卷-9）已知正方体/BCD-&qGA，贝I（）

A.直线与所成的角为90°B.直线与C4所成的角为90°

C.直线8G与平面"?自。所成的角为45°D.直线8G与平面/BCD所成的角为45°

5.（2023新高考I卷-12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度

忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

6.（2022新高考II卷•“）如图，四边形/8CO为正方形，即，平面/BCD,必〃瓦》,48=£。=2尸8,记

三棱锥E-/CO,F-ABC,尸-/CE的体积分别为匕匕，匕，贝U（）

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考n卷-9）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，N2为底面直径，ZAPB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角尸-/C-0为45。，贝U.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=242D.△尸NC的面积为G

三、填空题

8.（2023新高考I卷-14）在正四棱台/BCD-44GA中，=2,/e=1,/4=&，则该棱台的体积

为.

9.（2023新高考II卷-14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

必备知识速记

一、棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面

所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱

锥.

(1)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台

叫做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

斜棱柱四

梭柱棱

柱

长方体

棱锥一►正棱锥一-正四面体

正

方

正多面体体

二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆

锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球(球面距离:

经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度).

5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

三、表面积与体积计算公式

1、表面积公式

a

一

S正棱台=~n(a+d)h+S上+S下

台体

S圆台-欣丫'2+r2+r'l+r/)

©

球S=4兀N

2、体积公式

/

柱体匕主二S/z

锥体嘘=兴j\

体

积

台体七=^(s+4ss'+S')h

©

4&

球V=—7TR3

3

四、空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系.

(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观

图中画成平行于O'y',使/x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面.

(3)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴的线段，且长度保持不变;

在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于了轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,

纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去K轴、了'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为VL4.

五、四个基本事实

基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

六、直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/X7

符号aC\b=Pa\\bap\a=A,b<^a,A^b

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一

个平面内

七、直线与平面的位置关系

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

//

符号1ualC\oc=Pl\\a

公共点个数无数个10

八、平面与平面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形a

\r-T

£17

符号aIIPp-1a1(3,a[}(3=1

公共点个数0无数个公共点且都在唯无数个公共点且都在唯一

一的一条直线上的一条直线上

九、等角定理

1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

十、直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/IIa

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个平

l//lx

线II线二>线面内的一条直线平行，那么这条直I】ua>n/〃a

II面线和这个平面平行（简记为“线线IqLa

平行=>线面平行

如果两个平面平行，那么在一个平a//B'

>na//[3

面1面n线面内的所有直线都平行于另一个//QU%

II面平面//

3、性质定理1（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一个1//a

平面平行，经过这条iu/3，=>/〃/'

线II面二）线1|线a[\/3—l'

直线的平面和这个平/1

面相交，那么这条直Z

线就和交线平行

H一~•、两个平面平行

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和4,若分=。，则aII，

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两条相

线II面=>交的直线都平行于另一个a〃B，b///3^>a//f3

//

面II面平面，那么这两个平面平行

（简记为'线面平行n面面

平行

线J_面=>如果两个平面同垂直于一I.La]

卜nallP

面II面条直线，那么这两个平面平"J

行/1/

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，那么

面〃面n

在一个平面中的所有直a!1(3}“

线〃面\na110

线都平行于另外一个平QU幻

面

如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那么Q/a//6]

性质定理他们的交线平行（简记为aC\/=a>=>a//b.

“面面平行n线面平/3C\y=b

行”）

如果两个平面中有一个

面〃面=>垂直于一条直线，那么另al10}

线，面一个平面也垂直于这条7/±aJ

直线

十二、直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平

1a,bua

面内的两条相交直aVI

判断定理>=>/J_a

线都垂直，则该直bLl

acb=P

线与此平面垂直y

两个平面垂直，则

a10

在一个平面内垂直ac0=a

面1面=>线1面>nb_La

于交线的直线与另bu[3

bLa

一个平面垂直J

n

一条直线与两平行

/

平面中的一个平面alIp

平行与垂直的关系a10

垂直，则该直线与a.La

另一个平面也垂直z

两平行直线中有一gb

条与平面垂直，则a1lb、

平行与垂直的关系_7>n6_La

另一条直线与该平aLa

面也垂直

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一平面的两aLa],,

性质定理\=a1lb

条直线平行bLa]

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线a-La]

垂直与平行的关系"all。

的两个平面平行匚aL(3\

如果一条直线垂

直于一个平面，则

线垂直于面的性质I_La,auan/_LQ

该直线与平面内

所有直线都垂直

十三、平面与平面垂直

1、平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac〃=CD,CO_L/,S^acy=AB,0cy=BE,ABLBE,则a_L6）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一b-La]

卜=>a_L4

bu[\

个平面的垂线，则上

这两个平面垂直7

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一a工B

个平面内垂直于交acB=a

>=b_La

bu(3

线的直线与另一个

b.La

平面垂直

十四、直线与平面所成的角

1、定义

①斜线和斜足：如图，一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点/叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点尸向平面a引垂线尸。，过垂足。和斜足/的

直线NO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角.

2、直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90。.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角，的范围是0°<3<90°.

④直线与平面所成的角。的取值范围是0。W6W90。.

十五、二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为面分别为a,£的二面角记作二面角a-48-/7,如果棱记作/,那么这个二面角记作二面角a

-l-p,如图⑴.

②若在a,6内分别取不在棱上的点P,Q,这个二面角可记作二面角如果棱记作/,那么这

个二面角记作二面角尸-/-0,如图(2).

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角a-//的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面a和£内分别作垂直于棱/的射线OA和

OB,则射线OA和OB构成的乙408叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

aCt/3=l,0^1,0A（Za,0B（Z（3,0A±l,>乙4。8叫做二面角a-//的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角…的范围是0。WaW180。.

一、单选题

TT

1.（2024・重庆•三模）若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为?，则该圆锥的侧面积为（）

4

A.瓜B.2兀C.2亚兀D.4兀

2.（2024•河北秦皇岛•三模）已知加，"表示两条不同的直线，1表示平面，则（）

A.若n//a,则加〃7?B.若机||<7,m,则〃_La

C.若加_La,mLn,贝！J“〃aD.若加_La,〃ua,则

3.（2024•新疆喀什・三模）已知底面边长为2的正四棱柱/BCD-44G2的体积为16,则直线/C与

所成角的余弦值为（）

A2百口石_Vion3厢

551010

4.（2024•山东潍坊•三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成.已

知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2,上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为

（）

AVioRi「后nVi5

A.b.—C.U.

5225

5.（2024•陕西•三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口,

弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可

近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则黄

地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：兀的值取3,725,4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024・四川成都•模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行

平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过

高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为

%=9MS+4S0+S）,其中S,S'分别是上、下底面的面积，耳是中截面的面积，〃为拟柱体的高.一堆形为拟

柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的

长、宽比下底的长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少

需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

A.51车B.52车C.54车D.56车

7.（2024•天津河西•三模）如图，在三棱柱/8C-44。中，E,厂分别为NC的中点，平面E4G尸将

三棱柱分成体积为匕，匕两部分，则匕：匕=（）

C,

8.（2024・新疆•三模）设四棱台23CD-/4G。的上、下底面积分别为岳，昆，侧面积为S,若一个小球

与该四棱台的每个面都相切，则（）

A.S?=S&B.S=S,+S2

C.S=2^S^D.#+叵

9.（2024・天津北辰・三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人

航天活动.从神话“嫦娥奔月"到古代"万户飞天"，从诗词"九天揽月"到壁画"仕女飞天"……千百年来，中国人

以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成

由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将

其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

10.（2024•山东泰安•二模）已知四面体/BCD的各顶点都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4拒,平面平面3C。，则该球的表面积是（）

A.40KB.80KC.100兀D.160兀

11.（2024•天津•二模）在如图所示的几何体中，底面/BCD是边长为4的正方形，AAi,BG,C£,DD,

均与底面ABCD垂直，且A4=CG=DD、=2BG=46，点E、F分别为线段BC、CC,的中点，记该几何

体的体积为K，平面/在将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

12.（2024•江西鹰潭•三模）在菱形/5CD中，AB=2,/C=2百，将沿对角线/C折起，使点8到

达9的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥夕-/CD的外接球的表面积为（）

A.5兀B.16兀C.20TID.100兀

二、多选题

13.（2024•山西•三模）将一个直径为10cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）

A.底面直径为8cm,高为6cm的圆柱体B.底面直径为8cm,高为8cm的圆锥体

C.底面直径为7cm,高为9cm的圆锥体D.各棱长均为8cm的四面体

14.（2024・浙江•二模）正方体/BCD-44。口中，E,尸分别为棱/。和。2的中点，则下列说法正确的

是（

A.4DJ/平面BEF

B.30_1_平面班》

C.异面直线4A与E尸所成角为60°

D.平面8所截正方体所得截面为等腰梯形

15.（2024•河南三门峡•模拟预测）已知正方体/BCD-44。。的棱长为1,尸为8a的中点，。为线段/C

上一动点，则（）

A.异面直线4尸与4D1所成角为30。