圆锥曲线九大题型-2025年高考数学重难点题型突破（新高考）解析版

重难点专题39齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总

■I

题型1定点在原点的斜率问题......................................................1

题型2定点在原点转化成斜率问题..................................................5

题型3定点不在原点之齐次化基础运用.............................................8

题型4定点不在原点的斜率问题...................................................13

题型5定点不在原点转化为斜率问题...............................................22

题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用....................................28

题型7齐次化妙解之等角问题.....................................................32

题型8点乘双根法的基础运用.....................................................38

题型9点乘双根法在解答题中的运用..............................................45

题型1定点在原点的斜率问题

菱均#占

圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之

和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b,与圆锥曲线方程联立方程组，

韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将X1+久2和"1•久2代入，得到关于k、b的

式子.解法不难，计算量较为复杂.

如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少.

"齐次"即次数相等的意思，例如/（久）=ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的

意思，因为/（尤）中每一项都是关于X、y的二次项.

如果公共点在原点，不需要平移.

【例题1］直线祖久+ny-1与抛物线y2=4久交于4®,yj,以上，%），求%+%，kOA-

心■（用血,n表示）

第1页共64页

【解析】联立1,齐次化得必=4%(mx+ny),等式两边同时除以/,(/_

4n(?)-4m=0,

i

•••,•koA+k0B=§+1=4n,k0Ak0B=z-=一47n.

【变式1-1]1.直线租％+ny=1与椭圆?+y=1交于/(修，y1,^(必，、2)，求,々OB(用

mx+ny=1

/,y2齐次化联立得：^2++=2(血支+九丫)2,等式两边同时除以/,

{T+T=143

222

(12n-4)g)+24mng)+12m-3=0,：.k0A-k0B=^-^=^5•

【变式1-1]2抛物线y2=4“，直线I交抛物线于A、B两点,且tM1OB,求证：直线I

1

【解析】设直线AB方程为mx+叮=1,4(/,%),B(%2,y2),/?其；联立得GY-

4n(-)-4m=0vkk=也",-4m=-1,・•.zn=工，「.直线48:〜+ny=1过定点

\x/z0A0B%i%244

(4,0).

【变式1-1】3.不过原点的动直线交椭圆1+q=1于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜

43

率成等比数列，求证：直线I的斜率为定值.

第2页共64页

【解析】设直线AB方程为znx+ny=1,A(xr,yj,B(x2,y2),

mx+ny=1

百"]联立得(12九2-4)g]2+24mngz)+12m2-3=0,

-43~

于是岫4嗫=葭之=詈言，又呢Bm.12m2-3_m2/曰7_m___.V3

7，一7^7=嬴，信心B=

【变式1-1】4.已知直线y=依+4交椭圆9+必=1于A,B两点,0为坐标原点，若％+

koB=2,求该直线方程.

【解析】法一（齐次化解法）:设A（XQI）,B（无2，%），

步骤1:构建关于x、y的齐次式：

将直线变形为=5=1代入1+y2=1进行T的代换得9+必=（引）2,

4444

整理得+；

步骤2:构建关于斜率左=2的方程：

X

因为％W。I方程两边同除以Y，得15（2）2+24（2）+（4-42）=。.

XX

步骤3:利用韦达定理转化目标：

易知％="和%=&是方程15（2y+2以2）+（4-公）=。的两个根，由韦达定理得

x,x2XX

-2k

k0A+k0B=]5=2,k——15,故所求直线方程为y=-15x+4.

法二（常规解法）：

y=kx+4①

设A（X，%）,3（%,,力）,联立炉,、①代入②消去y得

—+y2=1②

I4'

（4廿+1）尤2+32而+60=0,

设4（%,必）,B（巧,豆），则

第3页共64页

32k60

%+%2=—5——/=—9——/

'一4左2+1勺2必2+1

所以

y,%依+4优+4〜4(x+x)…32k

*7+72么—=」—+——=2k+^~9ll=2k+—^2，

%％2XX

玉X2l215

解得发=-15,故所求直线方程为y=T5x+4.

【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值（斜率之积为定值也可

以用本法）问题，通过对直线变形，采取"1"的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘

以"1",常数项乘以"1"的平方，从而构建关于x,y的二元二次的齐次方程，再两边同

时除以尤2得到一个是以原点与曲线上连线的斜率上为根的一元二次方程，再借助韦达定理

使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”.

22

【变式1-1】5.设。一。2为椭圆东+方=1上两个动点，且OQJOQ2,过原点。作直线

2。2的垂线OD,求。的轨迹方程.

【解析】法一：（常规方法）

y=kx+m

设Q1（占,％）,20,,%），2>0，%）,设直线。Q方程为y=+m，联立〈尤22化简

一一I—

2222

可得：(2》2r+及)x2+4kmbx+2&(m-Z?)=0,

2〃(加2+万)

b^m2-2b2k2)

所以xxy,%=-------=—；---=—

l22b2k2+b2122b2k2+投

因为。2，OQ2,所以

2b\nr+b2)b\m2-2b2k2)2(m2-/?2)m2-2b2k2八

+%%=--------------------1------------------------=----------------+------□-------=0,

2b2k2+b22b2k2+b22k2+12k2+1

3nr=2b2(1+k2)①

第4页共64页

又因为直线。◎方程等价于为v-%=-E（x-x。）,即丫=-血尤+五+%,

%%%

对比于y=^+"2,则为代入①中，化简可得：*+尤=入2.

苍3

——+%=〃2

bo

法二:（齐次化解法）

mx+ny=1rrvc+ny=1

2

设直线QQ方程为如+“丁=1,联立v/y，可得</,2,

、斤+5=1［赤+万一「°

2222

所以去■十%•一（如+〃y）2=0,化简可得去■十%一机一〃2y2-2机叫^=0

整理成关于九,y的齐次式：（2-2〃几2）,2+（1一2/32）入2一4加泌2孙=。，

进而两边同时除以炉，则（2-2/〃2）（t）2—4加油22+1_2疗k=。，

xx

记。。一。。2的斜率分别为K，22，则仁义为方程（2-2阂2）（2）2_4幡/2+1_2疗从=0

XX

1-?m2Z?2

的两个根，由韦达定理得匕%=2，

12-2ab2n2

因为。2，。0，所以勺匕==T

12-2；：b2n2

二.3疗=262(1+—)①

又因为直线Q◎方程等价于为y-%=-血（x-尤。）,即丫=-血尤+五+为，

%%%

对比于丫=依+利，则为，代入①中，化简可得：片+¥=%2.

苍3

—+y=m

1%0

题型2定点在原点转化成斜率问题

却：知#<5

圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。齐次化是常见的代数

处理技巧，圆锥曲线中用齐次化的方法解决和斜率相关的定值定点。

第5页共64页

齐次化法简化计算适用范围：圆锥曲线中处理斜率之和与斜率之积类型问题。

以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤：

（一）基本特征

1.椭圆上有定点P（x°,y。）和动弦AB;

2.题设或结论中涉及PA,PB的斜率之积或斜率之和等情况.如kik,kI+k2,,。

（二懈题步骤

1.设直线方程为m（x-x0）+n（y-y0）=l,其中点（x。，y。）为两相关直线的交点（这样设直线方程

的形式，右边为1对联立齐次化较为方便）；

2.椭圆方程变形为

3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化：

4.由韦达定理得ki+kzkk;

5根据题设进一步求解。

注意：过一定点作两条直线

且两直线间存在斜率关系（显性或隐性）如果你发现题目出现了以上情况那这个题目八成可

用齐次化来简化但要注意叙述的严谨性和完整性否则易被老师扣去过程分

【例题2］已知抛物线C的方程为y?=2p无，若直线>=履+，与抛物线C相交于A,3两

点，且以AB为直径的圆过坐标原点，证明直线>=履+，过定点.

【证明】因为以A5为直径的圆过坐标原点，所以tMLOB,即3-《"T.

设A（国,%）,3（%，%），则初=&-koB=—■

%X2

将直线丁=履+8变形得=-华=1,记冽，n=~T1则直线可化为根v+加=1,

bbbb

将"1"代入抛物线C的方程得y1=2px{my+rvc）,整理得y2-2Pmxy-2pwc2=0,

因为％wO/方程两边同除以Y，得（2）2—2"帆'-21=0,

xx

第6页共64页

易知％=&和左豳=&是方程(2)2-2pmX-2pn=0的两个根，

x2XX

1

由韦达定理得kOA-k0B=-2pn=-l,即〃=--,

2P

代入求直线方程切+加=1得my+」-x=l,即x=2w?y+2P,

2P

当y=0时，x=2p，故直线恒定过点(2p,0).

【变式2-1】1.直线x+2y—3=0与圆尤2+产+》-6丫+。=。相交于p,Q，且OPLOQ,

求c的值.

类型识别：。尸，0。，所以%・%=-1,适合用齐次化来处理.

【解析】设/和弘)，Q(x2,y2),将直线变形为三型=1,

代入圆f+/+x-6y+c=0得尤2+y2+(x—6yA^^+c(^^)2=0,

化简得(4c—27)V+(4c—12)孙+(C+12)Y=0,

等式两边同除以V得(4c—27)(上)2+(4c—12)—+(c+12)=0,

xx

注意到,kOQ=^=-,所以左op和％pg方程(4c-27)(J)?+(4c-12)—+(c+12)=0的

%!x2XX

两个根，所以脸(o=表，=-1,计算可得c=3.

【变式2-1]2.(2021重庆期末)已知抛物线=2Pxs>0)上一点4(2,a)到其焦点的

距离为3.

(I)求抛物线C的方程；

(n)过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点，O为坐标原点，证明：NPOQ=90°.

【解析】解法1：(1)由题意知：2-(-§=3np=2=*=©.

(n)证明：设该直线为zny=%—4,P、Q的坐标分别为(向,%)、(x2,y2),

联AZ方程有：[y2=©=>y~4my-16=0,

2

OP-0Q=%1%2+yry2=管+y-=x(-16)-16=0,.-.Z.POQ=90°.

解法2:要证明"OQ=90°,即证加。-kQ0=-1,

第7页共64页

设PQ:mx+ny=1，过(4,0)/.4TH=1m=-y2=4x(mx+ny),y2—4nxy—4mx2=0,

z4z

同除以久?彳寻(?)—4n——4TTI=0，/Q,七=—4TH,ni=—,--k^,七=-1即Z_POQ-90°.

【变式2-1]3.(2022连云港期末)已知直线/与抛物线C：*=钮交于/,6两点.

(1)若直线/的斜率为-1,且经过抛物线C的焦点，求线段28的长；

(2)若点。为坐标原点，且。力1OB,求证：直线/过定点.

【答案】⑴8

(2)证明见解析

【分析】(1)联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式结合韦达定理即可得解；

(2)直线Z6方程为：x=my+几，由向量数量积公式结合韦达定理可得n的值，进而可

得结果.

【详解】(1)抛物线为必=4x,

二焦点坐标为(1,0),直线力8斜率为-1,则直线28方程为：y=—x+1,

y—_*+]

{y2_4%得："26%+1=。,可得%1+%2=6.

由抛物线定义可得|4例=+%2+2,

：.\AB\=8.

(2)设直线Z8方程为：％=my+九，设，

'.'0A±OB,..0A•0B=0,+、1丫2=0/

.(X=my+n_

由[y2=4%信：y_4zny-4n=0.

,22

..y1y2=_4n；xrx2=n；.,.n—4n=0,解得几=0或荏=4,

当九=。时，直线过原点，不满足题意；当几=4时，直线Z8过点(4,0).

故当。A1。即寸，直线28过定点(4,0).

题型3定点不在原点之齐次化基础运用

第8页共64页

义型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键

x-m

如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注

意平移口诀是"左加右减，上减下加"，你没有看错，"上减下加"，因为是在等式与y同

侧进行加减，我们以往记的"上加下减"都是在等式与y的异侧进行的.

例：y=k%+b向上平移1个单位,变为y=fcx+b+1,即y—1=kx+b,

=l向上平移1个单位，变为小=1.

a2bzazbz

设平移后的直线为Hix+ny=1（为什么这样设？,.这样齐次化更加方便，相当于T的妙

用），与平移后的圆锥联立，一次项乘以mx+ny，常数项乘以（mx+政尸，构造ay?+bxy+

c%2=0,然后等式两边同时除以/（前面注明X不等于0），得到a-g）+bq+c=0,

可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，左+也=-L左即可得出答

x2aXix2a

案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去.

总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以产;④韦达定理.证明完毕，若过定点,

还需要还原.

优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：6久+ny=1不能表示过原点的直线，少量题

目需要讨论.

【例题3］抛物线y2=4x,P（l,2）,直线I交抛物线于A、B两点,PA1PB,求证：直线

I过定点.

【解析】法1：（推荐）

第9页共64页

设直线I：m(x-l)+n(y-2)=1,抛物线变形：(y-2+2/=4(x-1+1),化简

得：(y—2)2+4(y—2)+4=4(%—1)+4,即(y—2)2+4(y—2)=4(%—1),一次项化成

二次项得：(y—2)2+4(y-2)|m(%-l)+n(y-2)]=4(x—1)[(x—1)+n(y—

2

2)},即(1+4n)(~~)+(4m—4n)—4m=0,/cpAfcPB==—1,整理得47n—4n=

1,直线I：(5,-2)

法2:将图形向左平移1个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线方程为(y+2)2=

4(%+1),整理得y2+4y-4%=0.设平移后直线49方程为6式+ny=1z

401,为)，B'(X2,y2),(]?联立得(1+4n)©)2+(4m一4n)-47n=0,

于是kp，4，kp，B，=瓷•蓝=77^=一1，整理得4nl-4n=1,：.mx+ny=1过定点(4,-4),

右移1个，上移2个，直线AB过定点(5,-2).

【变式3-1】1.椭圆］+1=1,点P(1,号，4,8为椭圆上两点，kpA+kpB=0.求证：直

43\Z/

线4B斜率为定值.

【解析】解法一：将图形向左平移1个单位，向下平移|个单位，平移后的椭圆为厘+

Z4

"凯=1,整理得4y2+3x2+6x+12y=0,设平移后直线4次方程为mx+ny=1,

4%,%),夕3。2)，

(mx4-ny=1口、/、

Uy2+3/+6x+12y=0,联必守4yo2+3%o2+(6x+12y)(mx+ny)=0,

第10页共64页

(12n+4)y2+6(2m4-n)xy+(6m+3)%2=0,同时除以工2,(12n+4)(7)+6(2m+

ri)?+(6m+3)=0ikprAf+kprBr=瓷+瓷=-=。，-6(2m+几)=0zmx+ny=1

的斜率-丝

n2

_3_3_3

解法二(换元法)：设401,yj,8(X2,%),即化为好•纥I=0，即建立以。为未知数的

一元二次方程4日4)+B•江+C=0,即可解答.为了方便运算设x-l=s,y-1=t,

\x—1/x—12

代入椭圆。+<=1，得3s2+4t2+6t+12t=0,.•.设直线ms+nt=6可方便运算，3s2+

43

2

4t2+t(ms+nt)+2t(ms+nt)=0,化简得：(4+2几)+(2m+荏)g)+(3+m)=0,

33

2M+N

••・=—•—==Qtx—1=s,y--=t,n=—2m代入ms+nt=6,得—

—1%2—1S1s?4+2zi2

1)-2m(y一|)=6,...直线4B的斜率是卜

【变式3-1]2.双曲线J—9=1,P(2,0),A、B为双曲线上两点，且演A+kpB=0.AB

不与x轴垂直，求证：直线AB过定点.

【解析】将图形左平移2个单位,平移后的双曲线为甲-^=1,整理得y2一/一4久-

2=0,

7TLX+71V=1

{y1—xv2—4A％v—z7=un

2222

联立得y2—x—4x(mx+ny)-2(jnx+ny)=0z(1—2n)y—(4n+4mn)xy—

(2m2+47n+l)%2=0,

同时除以/,(1—2几2)—(4n+4?n?i)——(2??i2+4?n+1)=0,^p,+^prBr="+

\X/XA,

资=4；+：鲁=0f4n+4mn=4n(m+1)=0zn=0或m=—1,AB不与X轴垂直,n=/=0,

-,-m=-1f-x+ny=1过(一1,0),右移2个单位，原直线过(1,0).

第11页共64页

［变式3-1】3.已知椭圆［y・，设直线/不经过点Pg)的直线交椭圆于A,8两点，

若直线丛,P8的斜率之和为-1,证明：直线/恒过定点.

【解析】⑴当直线/的斜率存在时，以点尸为坐标原点，建立新的直角坐标系,如图

所示：

旧坐标新坐标

(尤,y)n(x',y')

即(0,1)n(0,0)

r

所以厂』A—>A__V,-1yn—1

‘人」即A+"PB=T'即〒+丁=一1'

［y=y-i

在新坐标中转换为：工+2=-1,即《+6=T.

设直线/方程为：妙'+町'=1.

原方程：尤2+4/=4则转换到新坐标就成为：y2+4(y+D2=4.

展开得：x，2+4y,2+8y-=0

构造齐次式：铲+4y2+8y'(mx'+ny')=0

整理为：(4+8n)y'2+8mx'y'+x'2=0

两边同时除以x'2,则(4+8“)U+8*'+1=0

第12页共64页

所以匕'+左2'=——=-1，所以2机—2〃=lnm=〃+'代入机犬'=1,

4+8〃2

整理得〃(X,+y)+'-1=0,对于任意〃都成立.

x+y=0

Y=2；：'所以过定点(2,一D；

则<，解之得<'，故原理坐标系地应点坐标为

--1=0j'=-2

12

(2)当直线/的斜率不存在时，设/：尤=。,则A(a，3.),B(a,_

),

所以==1=>a=2,直线/：x=2,过定点(2,-1).

综上，直线/恒过定点(2,-1)

题型4定点不在原点的斜率问题

【例题4】如图，椭圆+W=Ka>b>0)经过点2(0,—1),且离心率为手.

(I)求椭圆E的方程；

(n)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证

明：直线AP与AQ斜率之和为2.

【解析】解法1(I由题设知(=*力=1结合a?=炉+°2解得a=V2/.f+y2=1.

(n法明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x—1)+l(k*0),代入椭圆方程£+y2=l,

可得(1+2k2灭2—4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外，

设PO1，为)，Q(x2,y2)，勺久2*0，则，乂1%2=笠言，

且A=16k2(k-I)2-8k(k-2)(1+2k2)>0,解得k>。或k<-2.

则有直线AP,AQ的斜率之和为

第13页共64页

%p+k也担+2=皿旦+组旦=2h(2—好(工+工)=2卜+(2—9*

=2^+(2-9—=2~2伏-1)=2.

即有直线AP与AQ斜率之和为2.

解法2:(2)上移一个单位，椭圆?和直线I：(T+(y-1)2=1,mx+ny=1过点(1,2),

Imx+ny=1

222222

m+2n=l,m=l—2n,x+2(y—l)=2z%+2y-4y=0,2y+x—

4y(mx+ny)=0,

22

(—4n+2)y—4mxy+x=0z0.,%H0,同除%2,得(—4n+2)(?)—4m?+1=0,

.,,4m2m2m。

Ki+Ko=-------------=---------=—=L.

4-4n+2l-2nm

【变式4-l】l.(2017年全国卷理)已知椭圆C：捻+2=Ka>b>0),四点七(1,1)尸2(0,1),

P3(-l,y),24(1号)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程；

(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,

证明：I过定点.

【解析】(1)解：根据椭圆的对称性，P3(~l,y),P4(1,')两点必在椭圆C上，又P4的横

坐标为1,

..椭圆必不过匕(1,1)/.P2(0,l)舄(-l,y)1P4(1,相三点在椭圆C上把「2(0，1)月(-l.y)

’—=12

代入椭圆C,得：I*,解得。2=4,房=1,.•椭圆C的方程为缶+y2=1.

4

U—2+4—b2=1

(2)证法1:①当斜率不存在时，设/:%=zn,a(m,y4)，B(m,-yA),

.直线。2人与直线P2B的斜率的和为-1，，3A+3B=崇+言匚=£=T，

解得血=2,此时I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.

②当斜率存在时，设/：y=kx+t,Q力1),201，%),83，%)，联立,21J二，n-

(%十4y—4=U

第14页共64页

222

整理，得(1+4fc)%+8ktx+4t-4=0+x2=,Xi%2=，则七源+kp2B=

_8k_8kt2+81t

yi-1I为一1二久2(左右+0—%2+%l(左久2+[)一久1=1+4/=8上(七一1)=Kiwi«f—

4t2-4

%1X2XX4(t+l)(t-l)''

12l+4k2

-2k-1,此时A=-64k,存在k,使得A>0成立，二直线I的方程为y=kx-2k-1,当

x=2时，y=-1,「J过定点(2,-1).

22

证法2：下移1个单位得下:矢+(y+1)2=1,A'B'\mx+ny=1,+y2+2y=0,

2222

x+4y+8y(mx+ny)=0z(8n+4)y+8mxy+x=0,

-'xH0同除以工之,(8n+4)(r)+QTKI(?)4-1=0,(8n+4)fc2+Sznk4-1=0,k1+k2=

8m《

----=-1/

8n+4

8m=8n+4,2m—2n=1f.,.mx+ny=1过(2,—2)z上移1个单位(2,—1).

【变式4-1]2.(2022惠州模拟)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,誓),过点P(l,l)

分别作斜率为七，的的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为线段AB的中点，求心;

(3)若心+6=1，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标

【解析】(1)由题意C=1,且右焦点尸(1,0),「.2a=EF+EF'=2V3,b2=a2-c2=2,

二所求椭圆方程为9+9=1.

(2)设4%,为),8(如治)，则g+,=1①，g+曰=1②

②-①，可得的=汽2(%2+%1)2

%2一%13(y2+yi)3

(3)证法1:由题意，心力忆2，设M(XM，VM),直线AB的方程为y-1=k^x-1),即y=

krx4-k2,

代入椭圆方程并化简得(2+3四)/+6k也%+3fci-6-0,:.xM=言普，=蒜,

N十3KlZiSAC]

同理，“瑞"N=悬,

第15页共64页

当k也丰0时，直线MN的斜率k="型=与第，直线MN的方程为y-券=

失管(其一瑞)，即y=uS詈％号，止匕时直线过定点(。，号)■

当七七=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0,-1).

综上，直线MN恒过定点，且坐标为(0,-|).

证法2:设过点P的弦的中点坐标为(x0,y。),由点差法得卑.^=-1,即中点的轨迹方程

XQ1XQ3

为2(/-x)+3(f一y)=o,将点p平移到原点，整体左移1个单位，下移1个单位，设

平移后的MN方程为7nx+ny=1,曲线为2[(x+l)2-(x+1)]+3[(y+l)2-(y+1)]=

0,

2xz+3y2+3y(mx+ny)+2x(jnx+ny)=0,(3+3n)y2+(2n+3ni)xy+(2+2m)x2—

0,

同除以/，得(3+3ji)k^+(2n+3TTI)fc+2+2TTI=0,"-'k^+的=1,••——=1,-m—

3.

gn=l,

.,过定点(-1,-|),则平移前的MN过定点(0,-|).

【变式4-1]3.(2022阎良区期末)已知抛物线C：x2=2py(p>0),直线/经过抛物线C

的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线/与抛物线C交于例，/V两点，且|MN|=4.

(1)求抛物线U的方程；

⑵已知点P(2,l),直线m：y=k(x+2)与抛物线C相交于不同的两点A,B,设直线PA与

直线外的斜率分别为七和矽,求证：fci-矽为定值.

【答案】⑴/=4y

(2)证明见解析

【分析】(1)将|MN|用p表示，得出p的值，进而得抛物线方程；

(2)联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.

第16页共64页

【详解】(1)由题意可得2P=4,得p=2,

二抛物线C：/=4y.

(2)证明：6:y=k(x+2),联立，久2^,：2),得/-4kx—8k=0.

由人=16k2+32k>0,得k>。或k<-2,

设2(xi，%),B(x2,y2),则应+x2=4k,xtx2=一8k,

.kk一为T'2-1一葺t譬t

—2%2—2%]-2%2-2

(%1+2)(%2+2)%I%2+2(%I+%2)+4—8fc+8fc+41

16-16116-4,

【变式4-1】4.已知椭圆C过点41,三),两个焦点为(-L0),(1,0).

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)£,歹是椭圆上的两个动点，

(1)如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2，证明直线防恒过定点；

(2)如果直线AE的斜率与AF的斜率之积为2，证明直线防恒过定点.

【分析】本题定点41,=)不再是坐标原点，若坐标系原点平移到与A(l,=)重合，则问题就

22

转化为定点为坐标原点的类型，则可以采取类型一的齐次化解法.

22

【解析】(I)椭圆c的标准方程为土+匕=1,过程略；

43

(n)法一：(平移构造+齐次化)平移坐标系.

x=xr+1

【解析】平移坐标系，使得坐标原点和点A(1,3)重合，则，3,得新坐标系x'cy中，

2j=y+-

3

(v+i)2(了+不)2

在新坐标系中，椭圆方程为幺4幺+—4=1,化简得

43

3/+4y"+6V+12^=0①，

直线防平移后变为，其方程不妨设为小'+"y'=l,代入①构建齐次式得

3x'*2+344y"+6V(mx'+ny')+12y'(mx'+ny')-0,

第17页共64页

整理得

(4+12»)y,2+(6〃+12〃z)x'y'+(3+6m)x'*23=0,

两边同除以铲

得(4+12")(上)2+(6〃+12加)工+(3+6%)=0②,

xrX，

易知kAE,和kAF,是方程②的两个根，由韦达定理得

6n+12m

k.+k,=---------=2/

他AP.AF4+12〃

化简得〃=---右，代入直线mxr+nyr=i得欣+(-U)y=i,整理得

64

m（x--y）--y-i=o/

fr

直线E尸恒过x~—y=0和直线——y-1=0的交点（-3,-”）z

151524

1Q

则直线EF恒定过点（-士二）.

24

（2）k..左=3+=2，即相=4〃+9，直线石尸的方程为〃（4%'+3/）+3X'-1=0,

4+12〃66

直线EF恒过4x，+y=o和直线1'-1=0的交点（含-竺），则直线所恒定过点（二,-史）.

653510

法二：（平移构造+齐次化）平移直线和平移椭圆.

33

【解析】设直线的方程为y=Ax+机,即y--=k{x-\）+k+m--,变形得

3

y一万一左(％-1)

3-=]，

k+m——

2

将椭圆K=i变形