人教版八年级上数学复习讲义（教师版）

全等三角形

【知识精读】

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全

等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合

的角叫对应角。

2.全等三角形的表示方法：若4ABC和AA，B'L是全等的三角形，记作“4ABC

BzC,其中，“名”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的

字母写在对应的位置上。

3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4.寻找对应元素的方法

(1)根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点

为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在

对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2)根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(3)通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个

是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折

如图(1),ABOC^AEOD,ABOC可以看成是由AEOD沿直线A0翻折180°

得到的；

②旋转

如图(2),ACOD^ABOA,ACOD可以看成是由ABOA绕着点。旋转180。

得到的；

CD

o

B

平移

如图（3）,ADEF^AACB,ADEF可以看成是由AACB沿CB方向平行移动

而得到的。

5,判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2）推论：角角边定理

6.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两

边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的

工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移

动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出乙ACD^AABE,而BF和FC分别位于乙DBF和

△EFC中，因此先证明△ACDgAABE,再证明△DBF四△ECF,既可以得到

BF=FC.

证明：在乙ACD和乙ABE中,

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「AE二AD

"NA二NA

AB二AC.

JAACD^AABE(SAS)

・•.ZB=ZC(全等三角形对应角相等)

又AD=AE,AB=AC.

/.AB—AD=AC—AE

即BD=CE

在乙DBF和乙ECF中

rZB=ZC

«ZBFD=ZCFE（对顶角相等）

LBD=CE

△DBF/△ECF（AAS）

I.BF=FC（全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

【例2］已知：如图，DE,AC,BF±AC,垂足分另ll为E、F,DE=BF,AF=CE.

求证：AB/7CD

分析：要证AB〃CD,需证NC=NA,而要证NC=NA,又需证△ABFg

△CDE.由已知BFLAC,DE±AC,知NDEC=NBFA=90°,且已知DE=BF,

AF=CE.显然证明△ABF等ACDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证

NC=NA,进一步证明AB/7CD.

证明：DE,AC,BF±AC（已知）

ZDEC=ZBFA=90°（垂直的定义）

在乙ABF与XCDE中，

（■AF=CE（已知）

-ZDEC=ZBFA（已证）

IDE=BF（已知）

/.△ABF^ACDE（SAS）

•••ZC=ZA（全等三角形对应角相等）

・•.AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段

相等

【例3】如图，在^ABC中，AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB

的中点E,连接CD和CE.求证：CD=2CE

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c

分析：

（i）折半法：取CD中点F,连接BF,再证△CEB之△CFB.这里注意利用

BF是4ACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F,连接BF

BF=gAC,且BF〃AC（三角形中位线定理）

...ZACB=Z2（两直线平行内错角相等）

又：AB=AC

...ZACB=Z3（等边对等角）

Z3=Z2

在^CEB与△CFB中，

-BF=BE

JZ3=Z2

CB=CB

/.△CEB四△CFB（SAS）

/.CE=CF=1CD（全等三角形对应边相等）

即CD=2CE

（ii）加倍法

证明：延长CE到F,使EF=CE,连BF.

在乙AEC与ABEF中，

「AE=BE

一/1=/2（对顶角相等）

-CE=FE

.*.△AEC^ABEF（SAS）

・•.AC=BF,Z4=Z3（全等三角形对应边、对应角相等）

BF〃AC（内错角相等两直线平行）

ZACB+ZCBF=180o,

ZABC+ZCBD=180<>,

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又AB=AC/.ZACB=ZABC

/.ZCBF=ZCBD（等角的补角相等）

在乙CFB与XCDB中，

CB=CB

JZCBF=ZCBD

IBF=BD

△CFB诬CDB（SAS）

CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原

线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF（如图）

（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

（4）证明线段相互垂直

【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，AADC、△BDO为

等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出

结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC,AO±BC.

证明：延长A0交BC于£,在4ADO和乙CDB中

rAD=DC

《ZADO=ZCDB=90o

।OD=DB

/.△ADO之△CDB（SAS）

AO=BC,ZOAD=ZBCD（全等三角形对应边、对应角相等）

ZAOD=ZCOE（对顶角相等）

，ZCOE+ZOCE=90o

AO±BC

5、中考点拨：

【例1】如图，在△A5C中，AB=AC,E是A3的中点，以点E为圆心，EB为

半径画弧，交BC于点D,连结ED,并延长ED到点R使DF=DE,连结FC.

求证：ZF=ZA.

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图

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形中NA、ZF不在全等的两个三角形中，但由已知可证得E歹〃AC,因此把NA

通过同位角转到中的N5ED,只要证△E3Dg△网?£）即可.

证明：'：AB=AC,

：.ZACB=ZB,

,:EB=ED,

：.ZACB=ZEDB.

：.ED//AC.

：.ZBED=ZA.

"：BE=EA.

：.BD=CD.

XDE=DF,/BDE=/CDF

：.4BDE必4CDF,

：.ZBED=ZF.

：.ZF=ZA.

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入

手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公

共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

【例2】如图，己知△ABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并

且使AE=BD,连接CE、DE.求证：EC=ED

E

口

A/

BCD

分析：把已知条件标注在图上，需构造和aAEC全等的三角形，因此过D点

作DF〃AC交BE于F点，证明△AECgZ^FED即可。

证明：过D点作DF〃AC交BE于F点

△ABC为等边三角形

・•.ARFD为等边三角形

BF=BD=FD

：AE=BD

AE=BF=FD

AE-AF=BF-AF即EF=AB

EF=AC

在^ACE和ADFE中，

「EF=AC（已证）

vNEAC=NEDF（两直线平行，同位角相等）

IAE=FD（已证）

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，AAEC^AFED（SAS）

EC=ED（全等三角形对应边相等）

题型展示：

【例1】如图，△ABC中，/C=2/B,Zl=Z2o求证：AB=AC+CD.

分析：在AB上截取AE=AC,构造全等三角形，AAED^AACD,得DE

=DC,只需证DE=BE问题便可以解决.

证明：在上截取AE=AC,连结DE.

：AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,

：.AAED^AACD,

：.DE=DC,ZAED=ZC.

'：ZAED=ZB+ZEDB,ZC=2ZB,

：.2ZB=ZB+ZEDB.

即ZB=ZEDB.

：.EB=ED,即ED=DC,

：.AB=AC+DC.

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长

法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条

短线段）；如作AE=AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角

形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与

另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，

实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内

容.

【实战模拟】

1.下列判断正确的是（）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

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2.已知：如图，于点。，5ELAC于点E,BE、CD

交于点。，且A。平分4BAC.求证：OB=OC.

3.如图，已知C为线段AB上的一点，AACM和ACBN都是等边三角形，AN

和CM相交于F点，BM和CN交于E点。

求证：ACEF是等边三角形。

4.如图，在AABC中，AD为BC边上的中线。

求证：AD<^(AB+AC)

5.如图，在等腰RtAABC中，ZC=90°,。是斜边上AB上任一点，AE±

CD于E,区FLCD交CD的延长线于RCHLAB于H点、,交AE于G.

求证：BD=CG.

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【试题答案】

1.D

2.证明：

A0平分NODB,CDLAB于点、D,BELAC于点E,BE、CE交于点0,

0D=0E,ZODB=ZOEC=90°,ZB0D=ZC0Eo

：.ABOD经ACOE(ASA).

OB=OC

3.分析由NACM=NBCN=60。，知NECF=60。，欲证ACEF是等边三角形，只

要证明ACEF是等腰三角形。先证ACAN义AMCB,得N1=N2.再证ACFNgACEB,

即可推得ACEF是等边三角形的结论。

证明：在ACAN和AMCB,

VAC=MC,CN=CB,

NCAN=NMCB=120。，

AAACN^AMCB中，

/.ZFCB和ACEB中，

VZFCN=ZECB=60°,Z1=Z2,CN=CB,

AACFN^ACEB,ACF^E,

又,.•/ECF=60°,

...ACEF是等边三角形.

4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,

由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角

形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注

意AD是BC边上的中线，延长AD至E,使DE=AD,即可得到4ACD/AEBD.

证明：延长AD到E,使DE=AD,连结BE

在AACD与AEBD中

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‘AD=ED（作法）

V<NADC=NEDB（对顶角相等）

CD=BD（己知）

AACD^AEBD（SAS）

，AC=EB（全等三角形对应边相等）

在AABE中，AB+EB>AE（三角形两边之和大于第三边）

AB+AO2AD（等量代换）

即（AB+AC）

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。

5.分析：由于8。与CG分别在两个三角形中，欲证与CG相等，设法证

BDFo由于全等条件不充分，可先证zMEC会△CfB

证明：在RtAAEC与RtACFB中,

\"AC=CB,AELCD=^E,交CD的延长线于b

ZAEC=ZCFB=90°

又/ACB=90°

ZCAE=9Q°~ZACE=ZBCF

：.RtAAEC^RtACFB

：.CE=BF

在与RtACEG中，ZF=ZGEC=90°,CE=BF,

由//5。=90°—/FDB=90°-ZCDH=ZECG,

：.RtLBFD空RtACEG

：.BD=CG

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第十二章轴对称

知识点一：轴对称及有关概念

1.如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那

么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我

们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，

那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之

后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。

注意：

1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；

2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后

者是一个图形。

3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。

题型一:轴对称图形的判断

【例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，

下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是（）

①②③④

A.①②③B.②③④C.③④①D.④①②

分析：图形沿一条直线折叠--相互重合一-轴对称图形一判断

举一反三：

1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.角B.等边三角形C.线段D.不等边三角形

2、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.两条相交直线B.线段

C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段

3、下列英文字母属于轴对称图形的是（）

A、NB、SC、LD、E

4、下列说法中，正确的是（）

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A.两个全等三角形组成一个轴对称图形

B.直角三角形一定是轴对称图形

C.轴对称图形是由两个图形组成的

D.等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

题型二：找轴对称图形的对称轴

［例2］等腰三角形的对称轴______条.

举一反三：

1、下列说法中,正确的个数是（）

（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）

两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称,

（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

2、轴对称图形的对称轴的条数（）

（A）只有一条（B）2条（C）3条（D）至少一条

3、正五角星的对称轴的条数是（）

A.1条B.2条C.5条D.10条

4、下列图形中有4条对称轴的是（）

A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

常见图形及其对称轴：

名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置

线段是2条垂直平分线或线段所在的直线

角是1条角平分线所在的直线

长方形是2条对边中线所在的直线

正方形是4条对边中线所在的直线和对角线

所在的直线

圆是无数条直径所在的直线

平行四边形不是0条

小结：

轴对称轴对称图形

区①指两个图形而言；①对一个图形而言；

别②指两个图形的一种形状与位置关系。②指一个图形的特殊形状。

联①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合;

系②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把

轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

知识点二：线段的垂直平分线

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1、线段垂直平分线的概念：

（1）垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；

（2）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

2、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。

3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：

（1）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两

条线段相等；

（2“到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判

定一点在线段的垂直平分线上；

（3）“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是

该线段的垂直平分线。”的作用是：垂直平分线的判定。

题型一:线段垂直平分线的性质

【例3】如图1,在AABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,

交AC于点E,ABCE的周长等于50,求BC的长.

图-1

点评：此题是^ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分

线与BC相交时，（如图2）,对应的是4ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图

形变化，但结论不变.

举一反三：

1、如图1,在AABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若NBEC=70。,

则NA=?

点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法，图2中也能

得出相应的结论：ZAEC=2ZB.

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【例4】如图3,在△ABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交

BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1)求aAEN的周长.

(2)求NEAN的度数.

(3)判断4AEN的形状.

BE\/NC

\图-3/

举一反三：

1.如图4,在4ABC中,AB=AC,BC=12,ZBAC=130°,AB的垂直平分线交BC边

于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1)求4AEN的周长.

(2)求NEAN的度数.

(3)判断4AEN的形状.

E\/NC

图-4

2.如图，己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm,

ZA=49°,求4BCE的周长和NEBC的度数.A

BC

【例5】如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，"”"A

求NADC

举一反三：

B

1.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30c1,ZACB=80°,求NCBE

AEAB

2.如图,△ABC内有一点D,且D为直线AB、AC垂直平分线的交点，八\

若NDAB=20°,ZDAC=30°，贝UNBDC的大小是()/JD\

A.100°B.80°C.70°D.50°/7

BC

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题型二:线段垂直平分线的判定

【例6】如图所示，RtaABC中，D是AB上一点，BD=BC,过D作AB的垂线交AC

于点E,CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。（用定义法和判定定举法两种

方法）及

AD

［经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？

【例7】如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD平分NBAC,且DELAB于

点E,DFLAC于点F,连接EF交AD于点G,求证：AD垂直平分EF。A

举一反三：Ej----:一

BJ）一C

如图所示，AB>AC,/A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DEL4B于

E,DPUC于尸，求证：BF=CG。力\

和识点三：*对稳与相对称用用的性质EIG

轴对称的性质：

（1）关于某条直线对称的图形是全等形；

（2）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点

在对称轴上；

（4）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于

这条直线对称。

2、轴对称作（画）图：

（1）画图形的对称轴

（2）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是

该图形的对称轴。

（3）画某点关于某直线的对称点的方法

（4）画已知图形关于某直线的对称图形

注意:

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（1）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。

（2）性质（4）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图

形的主要依据。

［例8］如图,

①AABCWZ1A'

④直线BC和B'

A.4个

个

举一反三：

1、如图，AABC与△A/B/C/关于直线1对称，则NB的度数为（）

D.90°

2、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若NAFC+

ZBCF=150°,贝UNAFE+NBCD的大小是（）.

A.150°B.300°C.210°D.330°.

［例9］如图，点P在NAOB内，点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO

的对称点，若4PEF的周长为15,求MN的长

等腰三角形专题讲解胆

【知识精读】

（-）等腰三角形的性质

1.有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等;

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定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等

腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形

是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2.定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边

相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的

中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，

两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半。

2.定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相

等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，

是本节的重点。

3.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰

三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明

线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边

上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平

分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

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【分类解析】

【例1】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上

一点，且CE=CD,DM±BC,垂足为M。求证：M是BE的中点。

分析：欲证M是BE的中点，已知DMLBC,所以想到连结BD,证BD=

EDo因为AABC是等边三角形，ZDBE=1ZABC,而由CE=CD,又可证N

2

E=1ZACB,所以N1=NE,从而问题得证。

2

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

所以NI=LNABC

2

又因为CE=CD,所以NCDE=NE

所以NACB=2NE

即N1=NE

所以BD=BE,又DMLBC,垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

【例2】如图，已知：AABC中，AB=AC,D是BC上一点，且

AD=DB,DC=CA,求NBAC的度数。

分析：题中所要求的NBAC在AABC中，但仅靠AB=AC是无法求出来的。

因此需要考虑AD=DB和DC=CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角

形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系

定理来求。

解：因为AB=AC,所以NB=NC

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因为AD=DB,所以NB=NDAB=NC；

因为CA=CD,所以NCAD=NCDA（等边对等角）

而ZADC=ZB+ZDAB

所以ZADC=2ZB,ZDAC=2ZB

所以NBAC=3NB

又因为N3+ZC+ABAC=180。

即NB+NC+3NB=180。所以NB=36。

即求得ZBAC=108=

说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关

系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重

要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用

方法。

【例31已知：如图，AABC中，AB=AC,CDJ.AB于D。求证：

ZBAC=2ZDCB。

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，NBAC是等腰三角形

的顶角，于是想到构造它的一半，再证与NDCB的关系。

证明：过点A作AELBC于E,VAB=AC

所以N1=N2=』NBAC（等腰三角形的三线合一性质）

2

因为N1+NB=90。

又CDLAB,所以NCDB=90。

所以N3+NB=90。（直角三角形两锐角互余）

19/56

所以N1=N3（同角的余角相等）

即ZBAC=2ZDCB

说明：

1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角

的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的

添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题

还可以有其它的证法，如构造出NDCB的等角等。

4、中考题型：

1.如图，AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别为NABC与NACB

的角平分线，且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰

三角形有8个，故选择C。

2.）已知：如图，在AABC中，AB=AC,D是BC的中点，DELAB,DF±

AC,E、F分别是垂足。求证：AE=AFo

证明：因为AB=AC,所以NB=NC

又因为DEJ.AB,DF1AC

20/56

所以ZBED=ZCFD=90。

又D是BC的中点，所以DB=DC

所以ADEBsACFD(AAS)

所以BE=CF,所以AE=AF

说明：证法二：连结AD,通过AAED三AAFD证明即可

5、题形展示：

【例1】如图，AABC中，AB=AC,ZA=1000,BD平分NABC。

求证：AD+BD=BCo

分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取BF=BD,只需证明CF=AD,

考虑到N1=N2,想到在BC上截取BE=BA,连结DE,易得，则有AD=FD,

只需证明DE=CF,这就要从条件出发，通过角度计算可以得出CF=DF=DE。

证明一：在BC上截取BE=BA,BF=BD,连结DE、DF

在AABD和AEBD中，BA=BE,Zl=Z2,BD=BD

AABD=AEBD(SAS)

AD=DE,ZBED=ZA=100。ZDEF=80。

又「AB=AC,ZA=100"

ZABC=ZC=1（180。-100o）=40。

Zl=Z2=-x40»=20。

2

而BD=BF

ZBFD=ZBDF=1（180。—N2）=；（180。—20。）=800

21/56

ZDEF=ZDFE=80。/.DE=DF

，NDFE=80。，NC=40。

ZFDC=ZDFE-ZC=80。-40。=40»

ZFDC=ZCDF=FC/.AD=DE=DF=FC

BC=BF+FC=BD+AD

即AD+BD=BC

分析二：如图，可以考虑延长BD至UE,使DE=AD,这样BD+

AD=BD+DE=BE,只需证明BE=BC,由于N2=20。，只需证明NE=NBCE=80。

易证NEDC=ZADB=180。—100。—20。=60。，ZBDC=120。，故作ZBDC的

角平分线，则有AABD三AFBD,进而证明ADECsADFC,从而可证出NE=80。。

证明二：延长BD到E,使DE=AD,连结CE,作DF平分NBDC交BC于

Fo

由证明一知：Zl=Z2=20»,NA=100。

贝I有

N3=180。一100。一20。=60。，N6=/3=60。，ZBDC=180。-60。=120。

DF平分ZBDCZ4=Z5=60。

N3=N4=N5=N6=60。，在AABD和AFBD中

Z1=Z2,BD=BD,N3=N4

..AAB及AFBgSA

AD=FD,NBFD=NA=100。，而AD=DE,..DF=DE

在ADEC和ADFC中，DE=DF,N5=N6,DC=DC

..ADE0ADF<SA$

ZE=ZDFC=180»-ZBFD=180»—100。=80。

22/56

在ABCE中，Z2=20»,N3=80。

NBC比80。，ZE=ZBCE

BC=BE,AAD+BD=BC

说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水

平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进

一步提高自身的解题能力。

【实战模拟】

1.选择题：等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的

差为3cm,则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对

2.如图，AABC是等边三角形，NCBD=90。，BD=BC,则N1的度数是

3.求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4.AABC中，AB=AC,NA=120。，AB的中垂线交AB于D,交CA延长线

于E,求证：DE=1BCO

2

23/56

【试题答案】

1.B

2.分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的

重要应用。

解：因为AABC是等边三角形

所以AB=BC,NABC=60。

因为BD=BC,所以AB=BD

所以N3=N2

在AABD中，因为NCBD=90。，NABC=60。

所以NABD=150。，所以22=15。

所以Nl=N2+ZABC=75。

3.分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

已知：如图，在AABC中，AB=AC,D、E分别为AC、AB边中点，BD、

CE交于。点。求证：点O在BC的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明OB=OC。而OB、OC在AABC中，

于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有Nl、N2的两个

三角形全等。

证明：因为在AABC中，AB=AC

所以NABC=NACB（等边对等角）

又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DC=EB（中线定义）

在ABCD和ACBE中，

DC=EB（已证）

<ZDCB=NEBC（已证）

BC=CB（公共边）

24/56

所以ABCDsACBE（SAS）

所以/l=/2（全等三角形对应角相等）。

所以OB=OC（等角对等边）。

即点0在BC的垂直平分线上。

说明：

（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。

特别是把“在

底边的垂直平分线上”正确地理解成"OB=OC”是关键的一点。

（2）实际上，本题也可改成开放题：“^ABC中，AB=AC,D、E分别为

AC、AB上的中点，BD、CE交于0。连结A0后，试判断A0与BC的关系，

并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。

4.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段

的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。

证明：过点A作BC边的垂线AF,垂足为F。

在AABC中，AB=AC,ZBAC=120=

所以NB=NC=30。3

1

所以Nl=N2=60。，BF=1BC（等腰三角形三线合一性质）。

2

所以N3=60。（邻补角定义）。

所以N1=N3

又因为ED垂直平分AB,所以NE=30。（直角三角形两锐角互余）。

AD=1AB（线段垂直平分线定义）。

2

又因为AF=】AB（直角三角形中30。角所对的边等于斜边的一半）。

2

25/56

所以AD=AF

在RtAABF和RtAAED中，

Z1=N3(已证)

<AF=AD(已证)

ZAFB=ZADE=90°

所以RtAABF=RtAAED(ASA)

所以ED=BF

即ED=』BC。

2

说明：

(1)根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；

(2)直角三角形中30。角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证

明打通了思路。

26/56

第十三章实数

【知识要点】

一、实数：有理数和无理数统称为实数。

1、实数有以下两种分类方法：

(1)按定义分类(2)按大小分类

,正有理数’‘正实数

有理数0有限小数或无限循环小数实数<0

实数负有理数负实数

无理数无限不循环小数

［负无理数」

2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如-♦的相反数为了，

倒数为—；=—理，-的的绝对值为-的=百卜

J33

3、实数与数轴上点的关系：

实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来

表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

4、实数的运算:

(1)关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

(2)涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行

计算。

二、二次根式：一般地，式子后Q»o)叫做二次根式，其中。叫做被开方数。

1、二次根式的性质：

(1)(几)2=a(a>0)；

a(a>0)

(2)=(a=0)；

-a(a<0)

2、最简二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。

(2)被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或

因式的指数都小于根指数2。

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，

那么这几个二次根式叫同类二次根式。

4、二次根式的运算：

(1).二次根式的运算法则：

ayfc+bjc=(a+b)Jc(c>0)；-Ja-Jb=Jab(a>0,b>0)；

27/56

Ja

-(a>0,b>0)；(Va)«=Jan(a>0)；

（2）.分母有理化

（3）.二次根式的混合运算

三、非负性及应用：

1、非负数包括正数和零

2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等,

用符号表示如下：

①若a是实数，则|牛0；

②若a是实数，则好20（n为正整数），当n=1时，a2^0；

③丽（n为正整数）在实数范围内有意义，5!IJa>0,此时行20;

3、非负数有如下性质：

①有限个非负数之和是非负数；

②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。

【典例解析】

1、无理数的识别与估算方法

例1、（1）在实数3.14,3.3333,事,0.412,0.10110111011110-,

n,-反中，哪些是有理数，哪些是无理数？

（2）估算万+3的值（）

A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9

之间

2、实数的大小比较方法

例2、（1）比较大小：7回（填或“<”）

（2）已知。=3、5,b=2jn,则a、b的大小关系为

（3）比较大小：当实数。<0时，1+a1-a.（填“>”或“<”）

3、实数有数轴的关系

例3；如右图：数轴上点A表示的数为x,则X2—13的立方根是（）

D

A.75-13B.-75-13C.2

-2

28/56

4、实数的运算

例4、(1)卜5―国—卜行-2|-2-阎+11—码;

(2)|<2-、河+6x6-i+C2001%—x!36；

(3)-22-(-2.5)xV'64+[/-3-3—(―3、I匹；

(4)4\,"-2J+1J行。

\33

5、实数性质的使用

例5、(1)化简：m—yjm2|(m<0)；

(2)实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a0；

a+b0；

—Ib-a|0；I2a|—Ia+b|=oCL0

例6、(1)已知产Jx-2+万^+5求yx的值。

■(x+2)x2005

(2)已知7+4的整数部分为0,小数部分为。，贝心-。二

【课堂检测】

1、在-2力，比、05,0,-之,船杷中，属于有理数的是____属于无理数的

8

是

2、(1)J|・J27=；3X-L-73=O

(2)—J1U+712^727x718=_________o

\64

(3)若a<b<0则卜-"-M第二o

(4)计算出一月+拉=o

3、比较大小(1)V'TI(2)3+^/52+\后。

4、下列语句中不正确的是()

A.无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；B.8的立方根是±2；

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c.颦值汽于"的实数是的D.每一个实