四川省成都市青白江区南开为明学校2024-2025学年高二数学零诊模拟试题

PAGE15-四川省成都市青白江区南开为明学校2024-2025学年高二数学零诊模拟试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.A. B. C. D.2.已知集合，B={–2，0，1，2}，则AB=A.{0，1} B.{0，1，2} C.{1，2} D.{–2，0，1，2}3.函数的图像大致为（）A.B.C.D.4.已知向量满意，，则()A.10 B.12 C.14 D.165.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.7.已知是定义域为的奇函数,满意.若，则（）A. B. C. D.8.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A B. C. D.9.设抛物线C：y2=4x焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A.5 B.6 C.7 D.810.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.12.已知函数有唯一零点，则a=A B. C. D.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满意约束条件，则z＝3x－4y的最小值为________.14.函数在点处的切线方程为__________．15.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．16.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为__________．三.解答题17.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.18.（理科）某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．（文科）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求四面体的体积.19.（理科）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，中点，是线段的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．（文科）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.20.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21.（理科）已知函数（Ⅰ）若，求曲线在点处切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.（文科）函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线,曲线上随意一点到极点的距离等于它到直线的距离.(I)求曲线的极坐标方程;(II)若是曲线上两点，且,求的最大值.

答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】14【答案】4015.【答案】4π.16.【答案】17设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.依据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步探讨函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解实力及困难式子的变形实力等.18.某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶，假如最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，假如最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P．【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的全部可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力、空间想象实力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19.如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．【解析】【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础学问.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象实力、运算求解实力和推理论证实力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锋利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很便利，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特殊是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很简单.20.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）依据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满意题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，依据列出等式表示出和的关系，从而推断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，假如l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，推断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行推断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过肯定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以推断过定点状况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则肯定要探讨直线斜率不存在和存在两种状况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再依据题设关系进行化简.21.已知函数（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：将，求出切线方程求导后探讨当时和时的单调性证明，求出实数的取值范围先求出、的通项公式，利用当时，得，下面证明：解析：（Ⅰ）因为，所以，，切点为.由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即（Ⅱ）由，令，则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.①当时，,故在上为增函数，所以恒成立，故符合题意；②当时，由于，，依据零点存在定理，必存在，使得，由于在上为增函数，故当时，,故在上为减函数，所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为（III）证明：由由（Ⅱ）知当时，，故当时，，故，故.下面证明：因为而，所以，，即：点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助其次问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为困难，本题属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐