广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习标准示范卷4含解析

PAGE1-标准示范卷(四)(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2}，N＝{0,1,3}，则M∩N＝()A．{1} B．{0,1}C．{1,2} D．{1,2,3}A[由题得M∩N＝{1,2}∩{0,1,3}＝{1}．]2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝()A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝2，∴a2＝a1＋d3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0”不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0，即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”4．在x轴、y轴上的截距分别是－2,3的直线方程是()A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C[由直线的截距式得，所求直线的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,3)＝1，即3x－2y＋6＝0.]5．已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系()A．肯定是异面 B．肯定是相交C．不行能平行 D．不行能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线冲突．故选C．]6．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))C．eq\o(DB,\s\up6(→)) D．|eq\o(AC,\s\up6(→))|A[eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).]7．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝eq\f(\r(3),3)x的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．直线过圆心A[由圆的方程得圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，因为(1,0)到直线y＝eq\f(\r(3),3)x的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)))＝eq\f(1,2)<1，所以圆与直线的位置关系为相交．]8．方程x3－2＝0的根所在的区间是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵x3－2＝0，∴x3＝2，故x＝eq\r(3,2)，∵y＝eq\r(3,x)是增函数，∴eq\r(3,1)<eq\r(3,2)<eq\r(3,8)，1<eq\r(3,2)<2，即方程x3－2＝0的根所在的区间是(1,2)，故选C．]9．一个简洁几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不行能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①B．②C．③D．④C[其俯视图若为圆，则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样，由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样，因此其俯视图不行能是圆．故选C．]10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3C[∵事务A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，依据对立事务的概率和为1，∴事务“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]11．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0，∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)在(1,2)上是连续的，故f(x)的零点所在的一个区间为(1,2)．故选C．]12．已知点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满意y≤|x|，那么|PA|的最小值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．1B[作出平面区域如图，则|PA|的最小值为A(0,1)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)．]13．将函数y＝cosx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)的最小正周期为πB．y＝f(x)是偶函数C．y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称D．y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是减函数D[将函数y＝cosx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A，B，C错误，D正确．故选D．]14．求值：sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)D[sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).]15．已知函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f(x)在区间[－2，－1]上是()A．单调递减函数，且有最小值－f(2)B．单调递减函数，且有最大值－f(2)C．单调递增函数，且有最小值f(2)D．单调递增函数，且有最大值f(2)B[因为函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，由函数的奇偶性性质知，奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f(x)在区间[－2，－1]上是单调递减函数．当x＝－2时，有最大值，f(－2)＝－f(2)，故选B．]16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D[∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2).∴sinB＝eq\f(\r(3),2).又∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).]二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)17．执行如图所示的程序框图，若输入x的值是5，则输出y的值是.0.5[阅读程序框图，可得该程序的功能是求分段函数的函数值，分段函数的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.2，x≤3,0.1x，x>3))，因为输入x的值是5，5>3，所以f(5)＝0.1×5＝0.5.]18．若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为.0[f(x)＝loga(x＋m)＋1过定点(2，n)，则loga(2＋m)＋1＝n恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋m＝1，,1＝n))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝1，))∴m＋n＝0.]19．设e是椭圆eq\f(x2,k)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是.(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞))[当焦点在x轴上时，e＝eq\f(\r(k－4),\r(k))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴eq\f(k－4,k)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，∴k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞))；当焦点在y轴上时，e＝eq\f(\r(4－k),2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴k∈(0,3)．故实数k的取值范围是(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)).]20．已知x∈[0，π]，且3sineq\f(x,2)＝eq\r(1＋sinx)，则taneq\f(x,2)＝.eq\f(1,2)[由于0≤x≤π，所以0≤eq\f(x,2)≤eq\f(π,2)，故sineq\f(x,2)≥0，coseq\f(x,2)≥0.所以eq\r(1＋sinx)＝eq\r(sin2\f(x,2)＋2sin\f(x,2)cos\f(x,2)＋cos2\f(x,2))＝sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)，即sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)＝3sineq\f(x,2)，即coseq\f(x,2)＝2sineq\f(x,2)，故taneq\f(x,2)＝eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝eq\f(1,2).]21．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝eq\f(1,3)，aeq\o\al(2,4)＝a6，则S5＝.eq\f(121,3)[设等比数列{an}的公比为q，因为aeq\o\al(2,4)＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝eq\f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).]三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)22．(本小题满分20分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和(1)求证：MB∥平面AC1N；(2)求证：AC⊥MB．[证明](1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC所以C1M∥BN，C1M＝所以MC1NB是平行四边形，所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N.(2)因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．23．(本小题满分20分)某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：第一周其次周第三周第四周甲组2025105乙组8162016(1)用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此推断哪种培训方式效率更高？(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采纳分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．[解](1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则t1＝eq\f(20×5＋25×10＋10×15＋5×20,60)＝10(小时)，t2＝eq\f(8×4＋16×8＋20×12＋16×16,60)≈10.9(小时)，据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可推断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采纳分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：eq\f(6