2023年中考数学复习：尺规作图（含解析）

专题25尺规作图

啥解读考点

知识点名师点晴

尺规作

尺规作图概念理解什么是尺规作图

图

1.画一条线段等于已知线段

2.画一种角等于已知角

会用尺规作图法完毕五种基本作图，理解五

五种基

3.画线段的垂直平分线种基本作图的理由，会使用精练、精确的作

本作图

图语言论述画图过程.

4.过已知点画已知直线的垂

线

5.画角平分线

会运用画三角形

1.会运用基本作图画三角形较简朴的图形.

基本作

图画较

简朴的2.画圆会运用基本作图画圆.

图形.

tr2年中考

[2023年题组】

1.（2023深圳）如图，已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的措施在BC上取一点P,使

得PA+PC=BC,则下列选项对的的是（）

D.BC

【答案】D.

【解析】

试题分析：而3!+网＞BC,.•r三明，.•.点P在N3的垂直平分线上，即点P为-"的垂直

平分线与3C的交点.故选D.

考点：作图一复杂作图.

2.（2023三明）如图，在AABC中，ZACB=90°,分别以点A和B为圆心，以相似时长

1

（不小于2AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于

点E,连接CD,下列结论错误的是（）

A.AD=BDB.BD=CDC.NA=NBEDD.ZECD=ZEDC

【答案】D.

【解析】

试题分析：：MN为AB的垂直平分线，；.AD=BD,ZBDE=90°；VZACB=90°,

CD=BD；*?ZA+ZB=ZB+ZBED=90°,ZA=ZBED；:ZA?60。，AC#AD,

EC¥ED,AZECD^ZEDC.故选D.

考点：1.作图一基本作图；2.线段垂直平分线的性质；3.直角三角形斜边上的中线.

3.（2023福州）如图，C,D分别是线段AB,AC的中点，分别以点C,D为圆心，BC

长为半径画弧，两弧交于点M,测量NAMB时度数，成果为（）

DCB

A.80°B.90°C.100°D.105°

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图,

AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，由于直径对的圆周角是90°,因此/

AMB=90°,因此测量NAMB时度数，成果为90。.故选B.

考点：1.等腰三角形的性质；2.作图一基本作图.

4.（2023潍坊）如图，在△ABC中，AD平分NBAC,按如下环节作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以不小于5AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点

M、N；

第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；

第三步，连接DE、DF.

若BD=6,AF=4,CD=3,则BE时长是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D.

【解析】

试题分析：：.根据作法可知：是线段ND的垂直平分线，NQDF,...NE4KNED/,•.FD

平分NE.dC,.../&ONC4D,.'.ZSRg=NC』D,...DE//NC,同理DF〃NE,...四边形.4EDF是菱形，

BDBE

：.AE=DE=DF=AF,'：AF=4,：.AE=DE=DF=.-1F=4,\'DEl（AC,/.一=一,'：BD=f）,AE=4,CD=3,

CDAE

«RP

,/.5£=8,故选D.

34

考点：L平行线分线段成比例；2.菱形的鉴定与性质；3.作图一基本作图.

5.（2023嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线1和1外一点

P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQL于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误

的是（）

【答案】A.

【解析】

试题分析：A.根据作法无法判定P217;

B.以P为圆心大于P到直线,的距离为半径画弧，交直线/,于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为

半径画弧，得出其交点，进而作出判断；

C.根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；

D.根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.

从以上分析可知，选项5、C、D都能够得到PQ11于点0选项/不能够得到PQJJ于点。

故选A.

考点：作图一基本作图.

6.(2023衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画RtAABC,使其斜边AB=c,一条直

角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断/ACB是直角的根据是

()

A.勾股定理B.直径所对的圆心角是直角

C.勾股定理的逆定理D.90。时圆周角所对的弦是直径

【答案】B.

【解析】

试题分析：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以。为圆心，AB为半径作圆，然后以

B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C,故NACB是直径所对的圆周角，因此这种

作法中判断NACB是直角的根据是：直径所对的圆心角是直角.故选B.

考点：1.作图一复杂作图；2.勾股定理的逆定理；3.圆周角定理.

7.（2023自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点

2后

上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP=3,并保留作图痕迹.（备注：

本题只是找点不是证明，.•.只需连接一对角线就行）

【答案】作图见试题解析.

【解析】

试题分析：+了=炉,而/P二芝一，：.AP:5P=2:1;作5c=1,AD=2,连结8交N3

于P.点尸就是所求的点.

.....A.......................

।

jiji

…\,1-••••••••<

N.1,p

…卜节cT……i……）

ii

5

考点：作图一应用与设计作图.

8.（2023北京市）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题:

尺规作图：作一条线段的垂直平分线.

己知：线段月5.

小芸的作法如下:

如图，)C

1/

(1)分别以点.4和点B为圆心，大于不婚的长为半

径作犯,两犯相交于C,D两点；A'--------------------

(2)作直线CD.

/D

老师说：“小芸的作法对的.”

请回答：小芸的作图根据是

【答案】到线段两个端点距离相等时点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.

【解析】

试题分析:二8垂直平分.职到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上).故

答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.

考点：1.作图一基本作图；2.作图题.

9.(2023百色)已知。O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上.

(1)在图1中，用尺规作图作/BAC的平分线AD交。。于D(保留作图痕迹，不写作法

与证明)；

(2)如图2,设/BAC的平分线AD交BC于E,OO半径为5,AC=4,连接OD交BC

于F.

①求证：OD±BC；

②求EF时长.

D

图1图2

3亚

【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②7

【解析】

试题分析：（1）按照作角平分线的措施作出即可；

（2）①由AD是/BAC的平分线，得到=再由垂径定理推论可得到结论；

EFFD3

②由勾股定理求得CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得CEAC7,即

EF3

可求得CE继而求得EF时长.

试题解析：（D尺规作图如图1所示：

（2）①如图2,平分ZB/C,.•.包=前,一。。过圆心，.•QDlCBj

OFOBOF4

②为直径，二NO90°,'：ODkCB,：.ZOFB=90°,：.ACIIOD,：.——=—,,即一=二，

ACAB410

...OF=2,,尸D=5-2=3,在R1&OFB中,BF=d。$-OF：=4—2：=后,'：OD[BC,：.CF=BF=5,

•,-AA^-r,.EF_FD_3.EF_3,333^/21

CEAC4CF7777

考点：1.相似三角形的鉴定与性质；2.全等三角形的鉴定与性质；3.勾股定理；4.圆

周角定理；5.作图一复杂作图；6.压轴题.

10.（2023南京）如图，在边长为4时正方形ABCD中，请画出以A为一种顶点，此外两

个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不一样的等腰三角形.（规定：

只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3时边上标注数字3）

【答案】答案见试题解析.

【解析】

试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC,

在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连

接即可；③以A为端点在AB上截取

3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画邨，交BC一个点，连接即可；④圉tNC,在XC上,

以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作NC的垂线，交BC、DC两点，然后连接H与这两个点即可；

⑤以H为端点在T3上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交8一点，连接即可.

试题解析：满足条件的所有图形如图所示：

考点：1.作图一应用与设计作图；2.等腰三角形的鉴定；3.勾股定理；4.正方形的性

质；5.综合题；6.压轴题.

11.（2023镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包括了一种特殊的平面图形-正

八边形.

E

（1）如图②，AE是。。的直径，用直尺和圆规作。O时内接正八边形ABCDEFGH（不写

作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）时前提下，连接0D,已知0A=5,若扇形OAD（ZAOD<180°）是一种圆

锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于.

15

【答案】（1）作图见试题解析；（2）8.

【解析】

试题分析：（1）作AE日勺垂直平分线交。。于C,G,作NAOG,NEOG的角平分线，分

别交。。于H,F,反向延长FO,H0,分别交。。于D,B顺次连接A,B,C,D,E,

F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求；

（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得NAOD时度数，得到AO的长，设这个圆

锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.

试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；

图②

360

（2）:八边形ABCDEFGH是正八边形，AZAOD=8X3=135°,VOA=5,人。的

135^x5151515

---------71--71--

长=,设这个圆锥底面圆的半径为即这个圆

180=4R,.•.2TIR=4,;.R=8,

1515

锥底面圆的半径为8.故答案为：8.

考点：1.正多边形和圆；2.圆锥的计算；3.作图一复杂作图.

12.（2023广安）手工课上，老师规定同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等

腰直角三角形，聪颖日勺你请在下列四个正方形中画出不一样的剪裁线，并直接写出每种不

一样分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不一样的分法，面积可以相等）

【答案】答案见试题解析.

【解析】

试题分析：（D正方形."CD中，E、尸、G、H分别是一45、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、

GH、HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到

的最小等腰直角三角形面积即可；

（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、

OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出

分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；

（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA附中点，O是AC、BDaJ交点，连接HF,

即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割

后得到日勺最小等腰直角三角形面积即可;

（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC附中点，O是AC的中点，I是AO的中点,

连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的

面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.

试题解析：根据分析，可得:

（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AWEN、△5*'、△CFG、ADHG,每个最小的

等腰直角三角形的面积是：G+2）x（42）+2="2+2=2（⑦户）；

<2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△BE。、ABFO、△CFO,每个最小的

等腰直角三角形的面积是：（42）x（4-2）+2=2*2+2=2（c泞）；

（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△DHO、△BF。、△CF。，每个最小的

等腰直角三角形的面积是：（4^2）x（42）>2=24+2=2（⑦户）；

（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△O£7,每个最小的等腰直角三角形的面

积是：（4-2）x（4-2）-2-2=2Q2-2=l（cwr）.

考点：1.作图一应用与设计作图；2.操作型.

13.（2023孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）.

（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心。；（规定保留作图痕迹，不写作法）

（2）若AB的中点c到弦AB的距离为20m,AB=80m,求AB所在圆的半径.

【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m.

【解析】

试题分析：（1）连结BC,分别作NC和5c的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点。，如图1;

,---1

（2）连接。d,OC,0C交于。，如图2,由C为48的中点，得到0cLi5,AD=BD=-AB=40,则

8=20,设。。的半径为r,在RIAOAD中利用勾股定理得到r的值.

试题解析：（1）如图1,点O为所求；

(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,VC为的)中点，/.OC±AB,

£

AD=BD=2AB=40,设。0%I半径为r,则OA=r,OD=OD-CD=r-20,在RtAOAD中，

222222

OA=OD+BD,r=(r-20)+40；解得『50,即AB所在圆日勺半径是

50m.

考点：1.作图一复杂作图；2.勾股定理；3.垂径定理时应用；4.作图题.

14.（2023宜昌）如图，一块余料ABCD,AD//BC,现进行如下操作：以点B为圆心，

合适长为半径画弧，分别交BA,BC于点G,H；再分别以点G,H为圆心，不小于^GH

时长为半径画弧，两弧在/ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.

(1)求证：AB=AE；

(2)若NA=100°,求NEBC时度数.

【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°.

【解析】

试题分析：（1）由角平分线的性质，可以得到乙」班二5C,由角平分线的性质，得到/£3844展，由

等腰三角形的判定，可得答案：

（2）由三角形的内角和定理，可得乙」EB,由平行线的性质，可得答案.

试题解析：（1）•.FD/5C,...N的=NXBC,：BE是乙!5C的角平分线，，/^小心结扇.../J£3=

..A,B=AE;

（2）■/Z-4=100o,乙IBE=&EB,.•.乙=36=/正声40°,'：ADIIBC,:./EBC=乙2EB=40°.

考点：1.作图一基本作图；2.等腰三角形的鉴定与性质.

15.（2023随州）如图，射线PA切。O于点A,连接PO.

（1）在PO的上方作射线PC,使/OPC=/OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作

法），并证明PC是。O日勺切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切0O于点B,AB=AP=4,求AB日勺长.

873

--------71

【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）9

【解析】

试题分析：（1）按照作一种角等于己知角的作图措施作图即可，连接0A,作OBLPC,

由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是。0的切线；

（2）先证明4PAB是等边三角形，则NAPB=60。，进而/POA=60。，在RtAAOP中求出

0A,用弧长公式计算即可.

试题解析：（1）作图如右图，连接OA,过O作OB_LPC,：PA切。O于点A,，OAJ_

PA,又•.,/OPCn/OPA,OBXPC,.\OA=OB,即d=r,；.PC是。O时切线；

（2）;PA、PC是。O的切线，；.PA=PB,又：AB=AP=4,；.ZkPAB是等边三角形，/.Z

44^/3

APB=60°,.,.ZAOB=120°,ZPOA=60°,在RtZ\AOP中，tan60°=%,.\OA=3,：.

考点：1.切线的鉴定与性质；2.弧长的计算；3.作图一基本作图.

16.（2023广州）如图，AC是。O的直径，点B在。O上，ZACB=30°.

（1）运用尺规作/ABC的平分线BD,交AC于点E,交。O于点D,连接CD（保留作

图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的I图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.

5,

【答案】(1)作图见试题解析；(2)2.

【解析】

试题分析：(D①以点3为圆心，以任意长为半径画菰，两弧交角X3C两边于点，/,6②分别以点.Y为

圆心，以大于：-'£.一的长度为半径画邨，两弧交于一点，③作射线35交与E,交O。于点D,则线段品)

为A43C的角平分线；

(2)连接8,设。。的半径为r,可证△』3立必2)"，在左人」口中，乙」309。°,乙』C5=30°,得到

卫3==.9C=，，得出A』DC•是等腰直角三角形，在五△8C中，彳钿DC=j0加+0C：S,由相似三角形

面积比等于相似比的平方即可得到结论.

试题解析：(1)如图所示；

(2)如图2,连接0D,设。。的半彳物r,'：AB.4E=ZCDE,乙正B="EC，：ZBEs^DCE,在

中，Z.450900,zS4C5=30°,：.AB=-AOr,:•ZABD=ZACD=45°,\"0D=0C,：.^BD=Z.4CD=45°>

：.^DOC=90°,在RrAODC中，DC=《OD，+0C，=拒r,：.=(—):=(-^):=-.

cJh)

邑ECEDC

考点：1.作图一复杂作图；2.圆周角定理.

17.(2023吉林省)图①，图②，图③都是4x4胜I正方形网格，每个小正方形的顶点称为

格点，每个小正方形的边长均为1.在图①，图②中已画出线段AB,在图③中已画出点

A.按下列规定画图:

（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一种正方形；

（3）在图③中，以点A为一种顶点，此外三个顶点也在格点上，画一种面积最大日勺正方

形.

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格构造，作出两边分别为6的等腰三角形即可；

（2）根据勾股定理逆定理，结合网格构造，作出边长为石的正方形；

（3）根据勾股定理逆定理，结合网格构造，作出最长的线段作为正方形的边长即可.

试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：

图②

（3）如图③，边长为‘而时正方形ABCD的面积最大.

考点：作图一应用与设计作图.

18.（2023哈尔滨）图1、图2是两张形状、大小完全相似的方格纸，方格纸中的每个小

正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.

（1）在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且/MON=90。；

（2）在图2中以格点为顶点画一种正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于（1）中等腰

直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角

三角形和一种正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.

图1图2

【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）过点。向线段。M作垂线，此直线与格点的交点为-V,连接一I△一即可;

（2）由勾股定理画出图形即可.

试题解析：（1）如图1所示;

图1

（2）如图2、3所示;

考点：作图一应用与设计作图.

19.（2023六盘水）如图，已知RtZiACB中，/C=90。，NBAC=45。.

（1）（4分）用尺规作图，在CA的延长线上截取AD=AB,并连接BD（不写作法，保

留作图痕迹）；

（2）（4分）求NBDC0U度数；

（3）（4分）定义：在直角三角形中，一种锐角A的邻边与对边的比叫做NA的余切，记

,.NA的邻边

作cotA,即乙4的对边，根据定义，运用图形求cot22.5。日勺值.

【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5。；（3）V2+1

【解析】

试题分析：（D以点/为圆心，为半径作弧交C4的延长线于D,然后连结BD；

（2）由ND=N3得NzlDB=N43D,然后利用三角形外角性质可求出N4DB=22.5°;

<3）设NOx,根据题意得为等腰直角三角形，贝UBC=AC=x,AB=^2x,所以XD=X5=,

3=（JI+l）x,在RtABCD中，根据余切的定义求解.

试题解析：（1）如图，

（2）AD=AB,ZADB=ZABD,而ZBAC=ZADB+ZABD,ZADB=2Z

BAC=2x45°=22.5°,即ZBDC的I度数为22.5°；

（3）设AC=x,VZC=90°,ZBAC=45°,.'△ACB为等腰直角三角形，；.BC=AC=x,

AC=6x,,-.AD=AB=V2X,.•.CD=3X+X=（8+1）X,在Rt/^BCD中，cot

DC（正+1»

ZBDC=BC=x=亚+1,即时22.5。=逝'+1.

考点：1.作图一复杂作图；2.解直角三角形；3.新定义；4.综合题.

20.（2023山西省）如图，4ABC是直角三角形，ZACB=90°.

（1）尺规作图：作。C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹，不

写作法，请标明字母；

（2）在你按（1）中规定所作的图中，若BC=3,ZA=30°,求DE的I长.

B

月

——n

【答案】（1）作图见试题解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（D过点C作31/5的于D,然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；

（2）由切线的性质得N=DC=90：利用互余可得NDCE和NB3的度数，在义ABCD中利用N8CD的余

弦可计算出8的长，然后根据邨长公式求解.

试题解析：（1）如图，

k=

。(2为所求；

(2)：0C切AB于D,/.CD±AB,ZADC=90°,/.ZDCE=90°-ZA=90°-

CD

30°=60°,ZBCD=90°-ZACD=30°，在Rt△BCD中，：cosZBCD=BC,

3^/360»“G

------------------------——71

CD=3cos30°=2,OE的长=180=2

考点：1.作图一复杂作图；2.切线的性质；3.弧长的计算；4.作图题.

21.（2023济宁）如图，在AABC中，AB=AC,NDAC是4ABC的一种外角.

试验与操作:

根据规定进行尺规作图，并在图中标明对应字母（保留作图痕迹，不写作法）

（1）作/DACa）平分线AM；

（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.

猜测并判断四边形AECF的形状并加以证明.

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形AECF的形状为菱形.

【解析】

试题分析：先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由.然之C得/由

平分得ND-ANC.±U,则利用三角形外角性质可得再根据线段垂直平分线的

性质得OA=OC,4=。尸=NCOE,于是可证明通△COE,所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易

得四边形XECF的形状为菱形.

试题解析：解：如图所示，四边形XEC尸的形状为菱形.理由如下：

•:.SC,：.乙IBC,•.WW平分NR」C,.,.ND.U#NC-.W,而5c+NWC3,二/仁以良

.•.EF垂直平分ZUC,二。；。。,&0F=/COE,在和cp,'：Z.FAO=z^CO,OA=OC,

Z.40F=ZC0E,：.£^iOF^^COE,：.OF=OE,即MC和EF互相垂直平分，.•.四边形XEC尸的形状为菱

形.

考点：1.作图一复杂作图；2.角平分线的性质；3.线段垂直平分线的性质；4.作图

题；5.探究型；6.菱形的鉴定.

22.（2023宁波）在边长为1的小正方形构成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸

的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格

点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表达为S=冽a+"0-l,其中

m,n为常数.

（1）在下面的方格中各画出一种面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非

菱形）、菱形;

（2）运用（1）中的格点多边形确定m,n时值.

【解析】

试题分析：3〉利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法画图即可;

（2）利用已知图形和$=次。+〃6-1得出关于叫"的关系式，进而求解即可.

（2）•••格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表达

为：S=ma+nb-\,其中.n为常数,

，三角形：S=3m+8n-l=6,平行四边形：S=3m+8n-l=6,菱形：

m~\

3m+8n—1=6Jj

S=5m+4-n-l=6t则〔5机+4〃­l=6,解得：［2.

考点：作图一应用与设计作图.

23.(2023杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别

为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为不小于1且不不小于5的整数个单位长度.

(1)用记号(a,b,c)(a<b<c)表达一种满足条件的三角形，如(2,3,3)表达边长

分别为2,3,3个单位长度的一种三角形.请列举出所有满足条件的三角形.

(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定时单位长度，不写作法，保留

作图痕迹).

1

【答案】(1)共9种：(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,

4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4)；(2)答案见试题解

析.

【解析】

试题分析：(1)应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；

(2)首先判断满足条件的三角形只有一种：a=2,b=3,c=4,再作图：①作射线AB,且

取AB=4；

②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；

③连接AC、BC.则AABC即为满足条件的三角形.

试题解析：⑴共9种：(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,

4),(3,4,4),(4,4,4,：

(2)由⑴可知，只有(2,3,4),即疥2,b=3,广4时满足K6<c,如答图的ATC即为满足条件的

三角形.

考点：1.作图一应用与设计作图；2.三角形三边关系.

24.（2023温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多

边形.怎样计算它的面积？奥地利数学家皮克（G・Pick,1859〜1942年）证明了格点多边

S=a+-b-l

形的面积公式2，其中a表达多边形内部的格点数，b表达多边形边界上的格

S=4+-x6-l=6

点数，S表达多边形的面积.如图，。=4,0=6,2

（1）请在图中画一种格点正方形，使它的内部只具有4个格点，并写出它的面积.

7

（2）请在图乙中画一种格点三角形，使它的面积为5，且每条边上除顶点外无其他格

点.（注：图甲、图乙在答题纸上）

【答案】.

【解析】

试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可;

（2）根据题意可知a=3,b=3,画出满足题意的图形即可.

试题解析：（1）措施不唯一，如图①或图②所示：

（2）措施不唯一，如图③或图④所示:

考点：作图一应用与设计作图.

25.（2023青岛）【问题提出】

用n根相似的木棒搭一种三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不一样的等腰三角形？

【问题探究】

不妨假设能搭成m种不一样的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊

入手，通过试验、观测、类比、最终归纳、猜测得出结论.

【探究一】

（1）用3根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的等腰三角形？

此时，显然能搭成一种等腰三角形.

因此，当n=3时，m=l.

（2）用4根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的等腰三角形？

只可提成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种状况，不能搭成三角形.

因止匕，当n=4时，m=0.

（3）用5根相似的木棒搭一种三角形,能搭成多少种不一样的等腰三角形?

若提成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.

若提成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.

因此，当n=5时，m=l.

（4）用6根相似的木棒搭一种三角形,能搭成多少种不一样的等腰三角形?

若提成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.

若提成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.

因此，当n=6时，m=l.

综上所述，可得：表①

n3456

m1011

【探究二】

（1）用7根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的三角形？

（仿照上述探究措施，写出解答过程，并将成果填在表②中）

（2）用8根、9根、10根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的等腰三角形?

（只需把成果填在表②中）

表②

n78910

m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相似的木棒继续进行探究，…

【问题处理】：

用n根相似的木棒搭一种三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不一样的等腰三角形？

（设n分别等于4k-1,4k,4k+l,4k+2,其中k是正整数，把成果填在表③中）

表③

n4k-14k4k+l4k+2

m________________

【问题应用】：

用2023根相似的木棒搭一种三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不一样的等腰三角形？

（写出解答过程），其中面积最大时等腰三角形每腰用了根木棒.（只填成果）

【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题处理】：k；k-1；k；k；【问题应用】：

672.

【解析】

试题分析：探究二：仿照探究一的方法进行分析即可；

问题解决：根据探究一、二的结果总结规律埴表即可；

问题应用：根据规律进行计算求出，”的值.

试题解析：（1）用7根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的等腰三角形？

此时，能搭成二种等腰三角形，即提成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等

腰三角形

分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

当?F7时，m=2.

（2）用$根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

分成2根木棒、2根木雷口4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒,

则能搭成一种等腰三角形，所以，当《=8时，，”=1.

用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形

分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当『9时，叫=2.

用10根相似的木棒搭一种三角形，能搭成多少种不一样的等腰三角形？

提成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形

提成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形

因此，当n=10时，m=2.

故答案为：2；1；2；2.

问题处理：由规律可知，答案为：k；k-1；k；k.

问题应用：2023+4=504,504-1=503,当三角形是等边三角形时，面积最大，

2023+3=672,...用2023根相似的木棒搭一种三角形，能搭成503种不一样的等腰三角形，

其中面积最大时等腰三角形每腰用672根木棒.

考点：1.作图一应用与设计作图；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的鉴定与性质；

4.探究型；5.综合题；6.压轴题.

[2023年题组】

1.（2023•安顺）用直尺和圆规作一种角等于已知角，如图，能得出/A'O'B'=Z

AOB的根据是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

【答案】B.

【解析】

试题分析：作图的步骤：

①以。为圆心，任意长为半径画邨，分别交ON、于点C、D;

②任意作一点。'，作射线。',以。'为圆心，。。长为半径画弧，交。'于点C';

③以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点、D';

④过点作射线。炉.

所以4J3‘就是与乙4。5相等的角；

作图完毕.

O'C'==0C

1

在△OCD与cy,<O'D'^=0D

C'D':=CD

:.△0C2X0,C>（5,S.S），二乙J0'3'=乙统已显然运用的判定方法是SSS.

故选B.

考点：作图一基本作图；全等三角形的鉴定与性质.

2.（2023涉县一模）如图，AD为。0的直径，作。O的）内接正三角形ABC,甲、乙两人

的作法分别如下：

甲：①作OD的垂直平分线，交。。于B,C两点.

②连接AB,AC.ZXABC即为所求作的三角形.

乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交。O于B,C两点.

②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求作的（三角形.

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A.甲、乙均对的B.甲、乙均错误

C.甲对时，乙错误D.甲错误，乙对的

A

D

【答案】A.

【解析】

试题分析：根据甲的思绪，作出图形如下：

a

.D

连接。5・.\BC垂直平分0D9.,方为0D的中点，且0D15C,.OE=DE=-0D,又OB=OD,在RiAOBE中，

OE=-OB,：.ZOBE=30°,XZO£5=90°,：.ZBOE=60°,'：C>A=O3,.•./。州=/。2士又N3纺为△JCB

的外角，二/。"=/。①1=30°,二乙』3（＞/」38/。35=60°，同理NC=60°,；.N54O60°,

乙BXONC,「.△zlBC为等边三角形，故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

S

n

连接OB,BD,VOD=BD,OD=OB,/.OD=BD=OB,ABOD为等边三角形,/OBD=/

BOD=60°，又BC垂直平分OD,/.OM=DM,ABM为NOBD的平分线,/OBM=/

DBM=30°,又OA=OB,且NBOD为AAOB的外角,.•.NBAO=NABO=30°,；.NABC=/

ABO+ZOBM=60°，同理/ACB=60°,.\ZBAC=60°,AZABC=ZACB=ZBAC,AABC

为等边三角形，故乙作法对故选A

考点：垂径定理；等边三角形的鉴定与性质；含