解三角形图形类问题（十大题型）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破02解三角形图形类问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）.....................................2

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系............................................8

题型三：张角定理与等面积法.....................................................12

题型四：角平分线问题...........................................................15

题型五：中线问题..............................................................21

题型六：高问题................................................................30

题型七：重心性质及其应用......................................................33

题型八：外心及外接圆问题......................................................37

题型九：两边夹问题............................................................42

题型十：内心及内切圆问题......................................................44

03过关测试....................................................................49

1/70

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题;

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题,

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）

IT-S7C

【典例1-1】（2024・河南・三模）已知P是28c内一点，PB=PC,NBAC=—,NBPC=——，NABP=8.

44

⑴若6=去g=啦，求/C;

7T

（2）若。=§,求tan/54尸.

【解析】（1）如图所示，

2/70

A

6^P

sirIT

在△3PC中，ZBPC=—,PB=PC,所以/尸3C=-.

所以N/8C=N尸3。+6»=二+2=工

8246

旦

在中，由正弦定理得，即16，解得AC=1.

smZ.ABCsinZBAC

2V

(2)如图所示,

B2---------------

JT7T

当6=一时，NACP=TI—NBAC—NABP—2NPBC=—.

36

7T

设NBAP=a,则NP/C=—-a.

在ANBP中，由正弦定理得士尸：「in§

PBsina

在△4PC中，由正弦定理得，g二

.兀

sin—sin—

6

因为P8=PC，，即上

sina)

整理得"二---——‘即”=———，解得tana=3一八，即tan/5/P=3-布.

sincrcosa-sinatanal-tana

【典例1-2】力3C的内角4民。的对边分别为为/B/C平分线，c:AD:b=j:2:2也.

⑴求/Z；

3/70

(2)上有点/BMC=90°,求tan/Z5M.

【解析】(1)

设c=6k,AD=2k,b=26k，S"BC=S^ABD+SA4£）。，

—bcsxnA=~\AD\'csin—+—IAD\-加in—,

221122112

V3sin—=siib4,百sin—=2sin—cos—,

2222

AQAA兀,71

二.

COS—=------,—G咤,~2

22263

jr

（2）由（1）知：NBAD=—,

6

△BAD中，BD2=3k2+4左2—2•百h2左•cos殳=/，

6

JTTT

^BD=k,,-.BD2+AB2^AD2>故得：^ABC=-,^C=-,BC=3k,DC=2k,

26

设中，/AMB=71—/BAM—ZABM=——0

6

IT

•・•AABM+ZMBC=-=ZMCB+ZMBC,/ABM=ZMCB=6,

2

IT/TT

△/CM中，ZACM=ZACB-ZMCB=——6,NAMC=TI—/MAC—/ACM=—+9,

63

sin［§+6jsin［了+6j

两式相除得:2sin*一“2sin［；+j

4/70

2|—cos2^--sin20j=sin^-^-cos0-—sin0,

（44J[22J

7C

/.cos?。-也cosOsinO-2sin2^=0,3^—,:.cos9w0,

/.2tan2^+V5tan。-1=0=tan。=百土VH,

4

•••e为锐角，故tane=—6+M.

4

【变式1-1］如图，在平面四边形48CD中，ZACB=ZADC=90°,AC=2右,/BAC30°.

⑴若CD=5求BD；

⑵若ZCBD=30°,求tanZBDC.

CD1

【解析】（1）在Rt^/CD中，cosZACD=——二一，所以乙4CD=60。，

AC2

在Rt448C中，tanNBAC=+=叵,所以5c=2,又44c5=90°,

AC3

所以ZDCB=ZACB+ZACD=150°,

在Z\BCD中由余弦定理BO?=DC2+BC2-2DC-BCcos/BCD,

即Q=（可+2?一2X2XV5X[5=13,

所以5。=而.

加篇二4,

(2)由已知可得430=60。，又NC3D=30。，所以430=30。,

设。C=x（0<x<2®ZBDC=a,则/。=而二？,

V12-x24

2

在△/8D中由正弦定理---------=---即---一---1—-.（it―V所以COSCZ

sinZABDsinZADBV12-x2

2〔2）

x_2

DCBC所以sina='

在△88中由正弦定理，即1sina，

sinZCBD~sinZCDBx

2

5/70

又sin"+cos2cz=1,所以-+&=1'解得x2=，ll或d二三答,

sma£V12-x2_二h-x2__]_12

由tana-

cosa%2—_5v%2"2-

当心1

当12_9+A/33^

x―_2

所以tanZBDC=旧.也或tanZBDC=布".

44

【变式1-2](2024•广东广州•二模)记》BC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

bcosA-acosB=b-c.

⑴求A;

(2)若点。在边上，且S=2AD,cos5=—,求tan/BAD.

3

【解析】(1)因为bcos力一QCOSB=/＞-。，

由余弦定理可得从“十才一'—Q./+°2—〃=b—C,

2bclac

化简可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cos^=—

因为。＜力＜兀，所以，A=^.

(2)因为则5为锐角，所以,

3

因为/+5+。=兀，所以，C-B,

3

smC=sm户一/SHAOS…s工团"

所以,

（3）33232326

Z.BAD=3,则/C4。=----6,

3

6/70

BDAD3AD_________=_____=______

在△48。和A/CD中，由正弦定理得一~^=—^=—/^,,fnAsinC3+瓜,

sm0smBsmIy-6/I

因为CD=2BD,上面两个等式相除可得指sinQ-=(3+J^sin/

得&cos0-—sin0=(3+\€"4in9,即亚cos。=(2+遥卜ing,

/2

所以，tan/BAD=tan6=-----产=#>一也.

2+V6

【变式1-3】在△/5C中，内角4,B,。所对的边分别为。，b,c,>2cosA(ccosB+bcosC)=a.

⑴求角力;

(2)若。是△45。内一点，N4OB=120。,ZAOC=150°,6=1,c=3,求tanNABO.

【解析】(1)因为2cos4(ccos5+bcosC)=〃，

所以由正弦定理得2cos4(sinCeos5+sin8cosC)=2cos4sin(8+C)=2sin/cos4=sin4；

/0°<T1<180O,sin/wO,/.cos^4=—,则/=60°；

2

(2)

•/ZOAC+AOAB=ABAC=60°,AOAB+ZABO=1SO°-ZAOB=60°,ZOAC=ZABO；

AB-sinZABO3sinZABO

在△45。中，由正弦定理得:A(j—____________—_=__2_G___si_n_A_ABO；

sinZ.AOBsin120°

在V/C。中，由正弦定理得：/o="与山8=皿30。//町=2sin(30Z8O卜

sinZAOCsin150°v7

/.2>/3sinAABO=2sin(30°-AABO)=cosAABO-志in//BO,

]\/3

即cosZ.ABO-3^/3sinZ.ABO,「.tan/ABO=—『=——

3739

7/70

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系

【典例2-1】如图，四边形4BCD中，cosNBAD=g,AC=AB=3AD.

⑴求sin48。；

⑵若ZBCD=90°,求tanZCBD.

【解析】（1）△/助中，设/C=/8=3/D=3"，>0）,则cos,解得

32x（3/）x/

BD=2y[2t

AJJ1

;BD?+AD?=AB?，sinZABD=

AB3

（2）设/C=/3=3/O=3《r>0）,则

设3C=k,CD^yt（x>0,y>0）,

（3/）2+（x"2-（3/）2x

“BC中,cosABCA-

2X（3/）X（M~6

（3，）+（加『/_y2+8

△40C中,cosZDCA=-

32x（3%）x（w）6y

71

/BCA+ZDCA=/BCD=-cos/DCA=sin/BCA,化简得

2

2

jr+8

,BPx2/+/+64=20/

6y

X­••BC2+CD1=BD2,X2r+y2t2=St2,BPx2+yi=S

（8-/）/+/+64=20/,解得尤2=8一/=|

tanZC^=||=J=

8/70

【典例2-2】如图，在梯形48CD中，AB//CD,AD=43BC=73.

⑴求证：sinC=GsirU;

(2)若C=2N,AB=2CD,求梯形488的面积.

【解析】(1)连接8D

因为“3//CD,所以/4BD=/BDC.

ADBD

在中，由正弦定理得①

sinZABDsirU

在△BCD中，由正弦定理得一1%=%，②

smNBDCsinC

由=6BC,乙4BD=/BDC,结合①②可得sinC=任ia4.

(2)由(1)知sinC=Gsiih4,sinC=sin2/=2sin4cos/=,

C°SA=M又0</<兀，所以/=B，则C=2/=g.

263

连接

2

在△/四中，由余弦定理得BD?=/D2+4B2-24D./B.COS/=(J5『+AB-1/3-AB-

=AB--3AB+3=^CD2-6CD+3-,

在ABCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-IBCCD-cosC=12+CZ)2-2xlxCZ)x-

2

=CD2-CD+1-

所以4C£)2_6c0+3=82_8+],解得8=1或

2Sjr

当8=—时，连接ZC,在中，由余弦定理，^AC2=AD2+CD2-2XADXCDXCOS—

36

49

=3H-----2x5/3x—x

932J9

7472

所以/C=—,而此时/B+BC=—+1=—,故CD=—不满足题意，经检验CD=1满足题意,

3333

9/70

此时梯形ABCD的高〃=AD-sin--

62

当CD=1时，梯形ABCD的面积$=+。）〃=竽;

所以梯形ABCD的面积为述.

4

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）在锐角AA8C中，内角/,B,。的对边分别为a,b,c,

2COS22C=3-5cos2

(1)求角C;

AC

⑵若点。在48上，BD=2AD,BD=CD,求丁的值.

BC

【解析】(1)因为2cos22c=3-5cos2(等-C)=3-5co423i-2。=3-5cos(无T。=3H5cos2G

所以2cos?2C-5cos2C-3=0，解得cos2c=-g或cos2c=3(舍去),

所以2cos2。-1=一,，即cosC=±L

22

因为0<c<W，所以c=g.

23

(2)如图，因为31)=240,BD=CD,设40=机，BD=CD=2m,

在“BC中，由余弦定理得9加2

BD2+CD1-BC2_(2加了+(2m)2-BC1_8m2-BC2

在ABCD中，由余弦定理得cosNBDC=

2BD-CD2x2mx2m8m2

AD2+CD2-AC2_m2+(2m)2-AC25/一/。2

在△4DC中，由余弦定理得cos/ADC=

2

2ADCD2m义2m4m

因为ZBDC+ZADC=JI,所以cosZBDC+cosZADC=0,

即8一一生2+5-一”72=0,所以18根2一8。2一2/。2=0,

8m4m

^\^2(AC2+BC2-AC-BC)-BC2-2AC2^0,

因为BCwO,所以3C=2/C,

g”AC1

所以U=7

BC2

10/70

jr

【变式2-2]平面四边形48co中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=TI,NBCD=个

⑴求5D；

(2)求四边形4BCD周长的取值范围；

(3)若E为边上一点，且满足CE=3£,SABCE=2SACDE,求△BCD的面积.

JT771

【解析】(1)因为//3C+^4。。=兀，/BCD=—,所以—，

33

在ABCD中由余弦定理助=^JAB2+AD--lAB-ADcosZBAD

(2)在ABCD中BD2=CB-+CD1-2CBCDcosNBCD，

^7=CB2+CD2-CB-CD^

+CD-=1+CB-CD>2,CB-CD，所以0<CB-CDM7,当且仅当C3=C。时取等号,

X(CS+CD)2=CS2+CD2+2CB-CD=7+3CB-CL,

贝i]7<7+3CS.CDV28,即7<(C8+8丫W28,所以由<CB+CD425,

^]^CABCD=AC+AD+CB+CD=3+CB+CDe(3+亚3+2/]，

(3)因为工皿=2以3，所以BE=2ED,又助=，，

所以BE=^BC=N^,DE=-BC=^-，又CE=BE,所以CE=^I,

33333

在ABCE中由余弦定理C3?=UE?+BE2-ICE-BEcosNCEB,

即次=—-—sZCEB

99CO

在△DCE中由余弦定理CD?=。片+DE2_2CE.DECOSZCED，

即CO?=---------cosZCED,

99

又ZCEB+ZCED=TI,所以cosZCEB=-cosZCED,

所以CB2+2C£)2=14,

X7=C52+CZ>2-CB-CD,所以C32+2C02=2CB2+2CD2_2CB。,

即次=2C8CZ>，所以CB=2CZ),

714

所以。。2=一，所以。8.°=。炉+82_7=一,

33

所以S=工CHCDsin/BCD=-x—x—=强.

、BCD22326

11/70

c

题型三：张角定理与等面积法

【典例3-1】(2024•吉林•模拟预测)的内角48,c的对边分别是4c,且^———=—

smCa+b

(1)求角B的大小；

(2)若6=3,。为/C边上一点，BD=2,且5。为的平分线，求“BC的面积.

■/、e、，sinA—smBa—c,,^a—ba-c

【解析】(1)因为————=-由正弦定理mZ得I=I——=-

sinCa+bca+b

化简得〃=/+°2一〃c，

所以由余弦定理得cos8=上三又因为3e(O,%),

ac2

所以3后.

(2)如图所示

11D1D

因为S△在。=^^ABD+S&CBD即一54xBCxsinB=—B4xBDxsin——\--BCxBDxsin—,

22222

化简得BA+BC=—BAxBC①,

2

又由余弦定理得AC2=BA2+BC2-IBAxBCxcosBBP(BA+BC)2-3BAxBC=9②,

①②联立解得A4x8C=-2(舍去)或6,

1

所以S=一28/xBCxsinB=—2.

12/70

【典例3-2】(2024•黑龙江哈尔滨•二模)记”的内角A,B,。的对边分别为〃，b,。，已知6=4,

2bcosB,sin/

=cosA+.

c-------------tanC

(1)求角8的大小；

(2)已知直线为//BC的平分线，且与4C交于点。，若胃，求“BC的周长.

【解析】(1)由已知，得26cosB=ccos”+照且，

tanC

men八.「AsinCsin^4

根据正弦定理,得2sin8cosB=smCcosA-\--------------

tanC

即2sinBcosB=smAcosC+cosZsinC,

即ZsinBeos^usimN+C)=sinB,

由于0<8<兀，sin5>0,

1兀

所以COSB=5，所以5=

(2)因为％.BC=S4ABD+SgeD，

所以,acsinZABC=-BD-c-sinZABD+-BDa-sinZCBD,

222

因为直线BD为ZABC的平分线，

171

所以=ZCBD=-ZABC=~,

26

所以：ex正='逑c」+L逑a」,

22232232

贝Uy/3ac=~~~(〃+c)，即ac=(〃+c),

由余弦定理得力2=a2+c2-2accosZ.ABC，BP16=a2+c2-ac

所以16=(a+0)?-3ac=(a+c)2-+c),

J3

解得a+c=2A/6或〃+c=T"(舍)，

3

故^ABC的周长为276+4.

【变式3-1](2024•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知锐角力5C的内角4民C的对边分别

a_sinB-sinC

为a,b,c,且

b+csinA-sinC

(1)求8；

(2)若6=几，角8的平分线交/C于点。，BD=T,求的面积.

13/70

【解析】(1)因为J~=sm8-s：n£,由正弦定理得二=”£,整理得/一起=/一/,

b+csmA-smCb+ca-c

又由余弦定理得cos,8=

2ac2

因为所以8=1.

(2)如图所小，因为S2Be=^/\ABD+SABCD，

1jr1jr1

所以S“BC=—BD-csin—+—BD-«sin—=—((2+c).

又因为S“5c=；QCsing=~^~ac，所以;(〃+c)=•

由余弦定理得/=a2+c2-2accosg=(a+。丫-3ac=6,

i/

_(tz+c)——etc

联立方程组44,可得3(ac)—3ac=6,即(ac)—ac—2=0,

(a+c)2-3联=6

解得ac=2或ac=-1(舍去),

Lesm八好ac=如

所以S.

242

【变式3-2](2024•江西抚州•江西省临川第二中学校考二模)如图，在AABC中，NB=4,cosB=；，点

D在线段BC上.

(1)若44。。=一，求4D的长；

4

⑵若BD=2DC,A/CD的面积为竺也，求警怨的值.

3smZCAD

3兀

【解析】(1)-.-ZADC^—,

4

14/70

71

ZADB=-

4f

又TCOSB=1,

3

二sin八逑.

3

ADAB

在△45。中,

sin5sinZADB

4.淳

AD=誉—16

4iT

2

(2)vBD=2DC,

•••^^ABD=2s%DC'

S/\ABC=^^/\ADC，

又_16V2

人Q/\ADC-—-，

S4ABC=16亚，

VSLMsaRDCi=-2ABBCsinZABC,

BC=n,

SL入X/AiD加LJ=—2AB-ADsinABAD,

SAADC=；/C-ADsinZCAD,

^AABD=2s△No。,

sinZBADAC

._________2____

''sinZCADAB'

在AASC中，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC.

•*.AC=8也，

sinZBADACr-

・•.-------------=2--------A4V2.

sinZCADAB

题型四：角平分线问题

【典例4-1】（2024•全国•模拟预测）已知在△Z8C中,内角4民。的对边分别为〃也。，且。=6,//=60。.

15/70

（1）若/。为3c边上的高线，求/。的最大值；

sin力

（2）已知血/为上的中线，/A4C的平分线ZN交5C于点N,且tanB=-----------,求△4W的面积.

2-cosA

【解析】（1）方法一：由余弦定理得

36=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-be>2bc-be=be，

所以6c«36（当且仅当6=c=6时取等号）.

又因为"0=；6csin%=；Q.40,

所以处叫1<36xsin60°_30

6―

故/。的最大值为3g.

方法二：由。=6,乙4=60。知，点N在。。的优弧蓝上运动（如图所示）.

显然，当点/在8C的中垂线上时，即点A位于点H处时，边8c上的高最大.

此时△NBC为等腰三角形，

又44=60。，故△/8C为正三角形，

根据8C=a=6得/。=36.故/。的最大值为36.

/人工加，„sin5sm4

(2)方法一：因为tanB=---------------------,

cos62—cosZ

所以2sin5-sinBcosZ=sin^4cos5,

所以2sin5=sinBcos力+sin4cosB=sin(/+B),

即sinC=2sin5.

由正弦定理得。=26,

结合(1)可得从=12,所以6=2百,0=46，

所以Sv4%=；6csin%=66.

因为NN平分NA4C,所以丝=空=2,

ACNC

所以ANC=5s△/Be-

16/70

又因为4修是8c边上的中线，所以凡4MC，

所以S&AMN=S&AMC-S44NC

方法二：同方法一可得6=2百,C=4A/L

又因为。=6,所以△N3C是以角C为直角的直角三角形.

由于/N平分/是BC边的中线，且8C=a=6

所以当嘿=2,=近,

所以TW=1,CN=2,

所以/N=y/AC2+NC2=4,ZANC=60°，

所以/4\®=120。，

所以黑的=；NM7W-sinl20°=VL

方法二:由//=60°得tan5=b-=—

2-cos/3

则4=30。,ZC=90。.

又因为a=6,所以c=4百.

由AN是角平分线知NCAN=30°,

在RtZUCN中易得CN=2,

又因为CM=」CB=3,所以MN=1,

2

所以黑

【典例4-2】如图所示，在“3C中，AB=3AC,AD平分/BAC,且4D=〃C.

(1)若。。=2,求8c的长度;

(2)求左的取值范围；

(3)若S-BC=1，求左为何值时，2C最短.

ARBD

【解析】⑴在△/皿中,由正弦定理得忑方而

sinZBAD

ACDC

在△/CD中，由正弦定理得

sinZADCsinZCAD

因为4。平分/A4C,所以/A4O=/C4。，

17/70

因为ZADB+ZADC=7i,

所以sinZADB=sinZADC,

所以坐=处

ACDC

因为AB=3/C,DC=2,

所以吧=3,得50=6,

2

所以8c=8；

（2）因为S4ABe=S4AB口+^^ADC»

所以工43.ACsinABAC=-AB.ADsinZBAC+-AC.ADsinZBA-,

22222

因为45=34。，AD=kAC,

*2c°c•NBACABAC℃….ABACAC….ABAC

所以3/C•AC•2sin------cos------=3AC•kACsm-------FAC•kACsm------,

2222

.ABAC八印、“ABAC

因为sm------w0,所以6cos------=4Ak1,

22

-3ABAC

所以左=—cos------,

22

/BAC（兀）ABAC

因为一-一^10,-1,所以cos---£（0,1）,

所以左e[o,|）；

（3）由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos/BAC=AC2（10-6cosABAC）,

因为%45c=l，所以;/B-/CsinNA4C=l,

32

因为4B=3/C,所以一/C2sinN5/C=l,所以NC?=----------,

23sinABAC

*22zin…45-3cosZBAC

ry1J-f-11vuLUQz_〃•/1Ji—

3sinZBAC3sinZBAC

5—3COSZ.BAC../nKc/nAC

令A^=-------------,贝nijysm/创C+3cosZ8ZC=5c,

smABAC

3

所以Jy2+9sin（ZB4C+夕）=5（其中tan0=一）,

y

所以当sin(/8/C+0)=1时，了取得最小值4,

jr3

即当〃"C+"=5时’)取得最小值4,止匕时tanp="

所以cosNA4c=cosf~（p

18/70

因为COS/A4C=2COS2ZB"-1,

2

二仁।Z.BAC3b1、iABAC2V5

所以2cos2--------1=匚，所以cos---------=------

2525

»,、-3ABAC

由(2)矢口左=—cos---------

22

所以”|x子考

即当上=拽时，BC最短.

5

77r

22

【变式4-1】在小5C中，角A,B,。所对的边分别是。，b,c,已知4=亍，c-b=accosC.

⑴求tanC；

(2)作角A的平分线，交边5C于点。，若AD=C，求/C的长度;

(3)在(2)的条件下，求的面积.

【解析】(1)在“SC中,由，一〃="ccosC及正弦定理，得sin?C-sin?5=sin4sinCcosC，

由4=§,得3+C=£,则sin5=sin(--C)=^-cosC—sinC,

33322

于是sin2C=(^-cosC--sinC)2+sin—sinCcosC=—cos2

C-H-sin2G

22344

JT

整理得sin?。=cos?C,而贝!!sin。=cosC,

所以tanC=1.

TT

(2)由ND为/比1C的平分线，得NC4D=§,由(1)知,c十

BV3

■\/2x—

ADCD

在△ZCD中，由正弦定理,则cz)=—#-=囱

sinCsinZG4Z>V2

V

由余弦定理得=/犷+/c?一2AD•/Ccosg,即3=2+/C?-QAC，

整理得4c2_拒/。_1=0，而/C>0,

所以仁丁

兀、G亚1V2V6-V2

(3)由(2)知，sinB=sin(兀一力一C)=si:—)=------X----------------X——

422224

19/70

V2+V6V2

1-----------------X-------

由正弦定理得上==&,则c=_22=2收+庭,

sin5sinCv6-v2