2023年高考全国乙卷数学（文）试题（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学

一、选择题

|2+i2+2i3|=

1.।1()

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【解析】由题意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l—2i，

则|2+i2+2i3卜|l-2i|=^12+(-2)2=6

故选：C.

2.设全集。={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则Mu集N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由题意可得={2,4,8},则M2N={0,2,4,6,8}.

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图,网格小正方形的边长为1,则该零件的表面

积为（）

B

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】如图所示，在长方体-中，AB=BC=2,M=3,

点H,I,J,K为所在棱上靠近点耳,G,，,A的三等分点，。L,M,N为所在棱的中点,

则三视图所对应的几何体为长方体ABC。-A4GR去掉长方体ON/G-之后所

得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,

其表面积为：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故选：D.

jr

4.在一ABC中，内角A,3,C的对边分别是a,dc,若acosB—灰osA=c,且。=］，则

ZB=()

717137c2兀

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于5£(0,兀)，故sin5>0,

据此可得cosA=0,A='，则3=兀一4—C=兀一'一2=

22510

故选：C.

5.已知是偶函数，则4=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因为为偶函数，则

p(aT)x~|

(-3X\C-c

/(x)T(r—------^:0,

e-e-a¥-le^-l

又因为工不恒为0,可得^_屋一3=0，即］=屋一小，

则x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

6.正方形ABC。的边长是2,E是A3的中点，则EC.EO=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

【答案】B

r）uimuumuunuum

【解析】方法一：以｛AB,A。｝为基底向量，可知AB=AD=2,ABAD=0,

uunuuruurniuunuumuumuuruumiuunuum

则EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=——AB+AD,

22

uunuum（iuunuum、（iuunuumAiuun、uum,

所以EC-ED=+•—/AB+AD=—+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

/、/UUUUUU

则E（l,o）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

umuuuu

所以EC•即=—1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=4i,CD=2,

DE2+CE?-DC?5+5-4_3

在,CDE中,由余弦定理可得cosZDEC=

2DECE2xV5xV5-5

uunuunuunuunx^/5x-|

所以EC・ED=ECEDcos/DEC==3.

故选：B.

|r

7.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（%》）|1</+）；2<4｝内随机取一点4则直

7T

线0A的倾斜角不大于一的概率为（）

4

D.

2

【答案】C

【解析】因为区域｛（%封1"炉+,2K4｝表示以。（0,0）圆心，外圆半径R=2,内圆半径

r=1的圆环,

IT

则直线Q4的倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角

4

TT

ZMON=~,

4

2x兀

结合对称性可得所求概率_4_1•

1D—-------——

2兀4

故选：C.

8.函数〃%)=%3+双+2存在3个零点，则〃的取值范围是()

A.(口,一2)B.3)C.(Y,T)D.

(-3,。)

【答案】B

【解析】f(x)=x3+6ZX+2,贝！J/'(x)=3/+〃，

若/(%)要存在3个零点，则/(%)要存在极大值和极小值，则〃<0,

令/(尤)=3必+。=0,解得x=-

且当s,-Jf]

。时，f'(x)>0,

7

当xe-/3<0

故/(%)的极大值为J?],

极小值为,

一/

用>。[需-收+2〉。

f-

若/(九)要存在3个零点，则:—/，即VY，解得3,

舟。区寻#+2<。

7b

故选：B.

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则

甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()

52-1

A.—B.—C.—D.—

6323

【答案】A

【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36种，

若甲、乙抽到的主题不同，则共有A；=30种，

305

则其概率为

366

故选：A.

10.已知函数/(x)=sin(tox+9)在区间单调递增，直线工=4和*=当为函数

6

y=/(x)的图像的两条对称轴，则/

A.一显1

B.——D

22C1T

【答案】D

兀2兀

【解析】因为/(x)=sin(ox+9)在区间单调递增,

65T

LLI、T2兀71兀L八LIE2兀_

所以一=------二一，且外＞0,则7=兀，w=—=2,

2362T

当x=N时，/(九)取得最小值，则2•工+e=2E—殳，k®z,

662

则/(x)=sin(2x—g),

11.已知实数满足f+丁―4x—2y—4=0,则x—y的最大值是()

7

B.4c.1+3A/2D.7

【答案】C

【解析】法一：令x—y=k,则x=k+y,

代入原式化简得2y2+(2左一6)y+左2—4左一4=0,

因为存在实数V，则A20,即(2左一6)2—4x2(左2一4左一4)20,

化简得左2—2左一1740，解得1—3行〈左<1+30，

故x—y的最大值是30+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,<»(x-2)2+(y-l)2=9,

令x=3cos6+2,y=3sin6+l,其中6e[0,2可,

则x-y=3cos6-3sine+l=3后cos[6+[]+1,

JTJTVJjTTT7口

6e[0,2»],所以e+,则e+—=2兀，即8=——时，x—y取得最大值

L」4144」44

30+1，

法三：由％2+,2_4%_2,_4=0可得0：_2)2+0_1)2=9,

12-14|

设x-y=左，则圆心到直线x-y=k的距离d

解得1—30〈左＜1+3虚

故选：C.

2

12.设A,B为双曲线V-匕=1上两点，下列四个点中，可为线段A8中点的是（

9

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.

（TT）

【答案】D

【解析】设A（x，X）,5（%，%），则的中点M［受孕，国产

%-%「2_另+%

x-x玉+%2

12%+x2

2

i=l

X；一

9两式相减得（才-考）-若戈=0，

因A3在双曲线上，则《2，

xf-A=i

9

所以kAB,左=e—叁=9.

%-x2

对于选项A：可得左=1,左AB=9,则A3：y=9x—8,

\=9%-8

联立方程<2y2_，消去y得72f—2X72X+73=0，

I9

止匕时△=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左=-2,&B=-2，则AB:y=—QX—Q,

95

y=——x——

■22

联立方程<2，消去丫得45/+2X45X+61=0，

X

[-9---------1

止匕时△=（2x45）2—4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,左油=3,则AB:y=3x

由双曲线方程可得a=12=3,则A3：y=3%为双曲线的渐近线，

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

.997

对于选项D：k=k.„=一,则AB:y=—x—,

444

[97

y=-x——

•44

联立方程<2，消去>得63x?+126x—193=0，

d一二=1

[9

此时八=1262+4X63><193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

二、填空题

13.已知点A0,若）在抛物线C：y2=2px±.,则A到C的准线的距离为.

9

【答案】一

4

【解析】由题意可得：（、6）2=2°xl,则2P=5,抛物线的方程为y=5%，

准线方程为户1,点A到。的准线的距离为1-

9

故答案为：一.

4

14.若=e,则sin。—cos6=

【答案】一好

5

JI

【解析】因为。e0,-,则sin8>0,cose>0,

I

又因为tan〃=吗=1,贝Ucos6=2sin。，

COS02

JLcos23+sin2=4sin20+sin20=5sin28=1，解得sin。=——或sin。=----（舍去）,

55

所以sing—cos6=sing—2sin6=-sing=一

5

故答案为：一逝.

5

x-3y<-1

15.若x,y满足约束条件｛x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3x+y>7

【答案】8

【解析】作出可行域如下图所示:

z=2x-y,移项得y=2x-z,联立x-3y有=-1'解叱%==52

设4(5,2),显然平移直线y=2%使其经过点A,此时截距-z最小，贝”最大,

代入得z=8,故答案为：8.

16.已知点S,A3,。均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，&4,平面

ABC,则S4=.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SAW-ABC,

2〃=A万—J—2^/3

设，ABC的外接圆圆心为。1，半径为,，则一sinNAC§—3一，可得厂=g\

2

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接OA,OO.,则OA=2,OOi=^SA,

因为。A?=OO；+aA2,即4=3+:必2,解得S4=2.

故答案为：2.

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配

对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺

处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别

记为玉，=1,2,…,10).试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率£545533551522575544541568596548

伸缩率%536527543530560533522550576536

记4=%—%«=1,2,…,10),记Z”Z2,%的样本平均数为1样本方差为$2.

(1)求三，一;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

著提高(如果，22］：，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡

no

胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)

【答案】(1)Z=11,？=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

rWj.

，皿r_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548.

［解析］(1)x=--------------------------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536〜「

y=---------------------------------------------------------------------=541.3,

10

5=元-5=552.3—541.3=11,马=%一%的值分别为:

9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s=-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

10

(2)由(1)知：z=ll,2g=2疯1=衣4，故有彳N2年,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

18.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，己知外=11,号0=40.

(1)求｛%｝的通项公式；(2)求数列｛寓|｝的前几项和1.

14n-n2,n<7

【答案】(1)=15—2"；⑵T"=<

n2-14n+98,n>8

【解析】(1)设等差数列的公差为d,

a=q+d=ll

2a.+d=11%=13

由题意可得《即<解得《

inxQ

Si。=10qH-------d=402q+9d=8d=—2

所以q=13_2(〃_l)=15_2〃；

(2)因为S="。3+15二2叽］4—“2,令4=15—2〃>0,解得〃<"，且〃eN*，

22

当/47时,则4>0,可得<=同+|々2卜---2T卜=14〃—;

当"28时，贝I<0,可得1=M+®|----------------------------F%)—(“8"1----

22298；

=S7-(Sn-57)=2S7-5n=2(14x7-7)-(14n-n)=Az-14^+

14〃一〃2,〃《7

综上所述：T=\

nn2-14n+98,n>8

19.如图，在三棱锥尸―ABC中，AB±BC,AB=2，BC=2叵，PB=PC=®

的中点分别为RE,。，点厂在AC上，BFLAO.

(1)求证：政//平面ADO；(2)若NPO尸=120。，求三棱锥P—ABC的体

积.

【答案】(1)证明见解析；(2)巫.

3

【解析】(1)连接尸，

..1

设AF=ZAC,则3/=BA+A/=(1—f)3A+/3C,AO=-BA+-BC,

BFVAO,

121X

则BFAO=[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(t-1)BA+-tBC2=4(t—1)+4/=0,

解得/=,，则R为AC的中点，由D,E,O,歹分别为尸3,PA3cAe的中点，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF==AB,郎DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，EF//DO,EF=DO,

又所仁平面ADO,。。u平面A。。，所以所//平面A£>0.

(2)过P作尸M垂直尸。的延长线交于点Af,

因为P3=PC,O是中点，所以PO15C,

在中，PB=®BO=；BC=所以PO=《PB2—OB2=7^=2,

因为45,5。,0尸//43,所以OF_L6C,又POcOF=O,PO,OFu平面

POF,

所以1平面POP,又PMu平面POE,

所以BC1.PM,又BCFM=O,平面ABC,

所以9,平面ABC,即三棱锥P—ABC的高为PM，

因为NFO产=120。，所以NPON=60。，所以PM=POsin60。=2x走=6，

2

又S/=.BC=；x2x2近=2日所以

x^3=

VpABC=—SAABCPM=—X2A/22娓.

r-/iDL3/\/Ar>(,3''3

(1)当a=-l时，求曲线y=/(x)在点(l,/(x))处的切线方程.

(2)若函数/(九)在(0,+。)单调递增，求a的取值范围.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；(2)

【解析】⑴当a=T时，f(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),则

r(x)=--^xln(x+l)+Q-ll-lI，

-

人、人/4I1

据此可得/(1)=0,/(1)=—In2,所以函数在(1,7(1))处的切线方程为

y-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得尸(x)=(--y|ln(x+l)+[-+«|x^—(x>-l),

y-XyyXJXiL

满足题意时/'(X)20在区间(0,+8)上恒成立.

令(—Y)ln(%+l)+1—Fu)-------20,贝°一(x+l)ln(x+1)+(x+ax2)N0,

x.XJ\XJX+1

^g(x)=ar2+x-(x+l)ln(x+l),原问题等价于g(%)20在区间(0,+8)上恒成立,

贝！］g'(x)=2ot-ln(x+l),

当aWO时，由于2taW0,ln(x+l)>0,故g'(%)<0,g(x)在区间(0,+co)上单调递

减，

此时g(x)<g(O)=O,不合题意；

令/z(x)=g'(x)=2at-ln(x+l),则/(x)=2a---彳,

当2a21时，由于$<1，所以〃(x)>0，Mx)在区间(0,+。)上单调递增，

即g'(九)在区间(0,+e)上单调递增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+功上单调递增,g(x)>g(O)=O,满足题

产.

当0<〃<—时，由x)-2。------=0可得x=----1,

2x+12a

当—1］时，”(l)<0,/7(力在区间—1］上单调递减，即g'(x)单调递

减，

注意到g'(0)=0,故当—1］时，g'(x)<g'(O)=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0，故当—1］时，g(x)<g(°)=。，不合题意.

综上可知：实数.得取值范围是

21.已知椭圆C:马+==l(a〉6〉0)的离心率是无，点4(—2,0)在。上.

ab3

(1)求。的方程；

(2)过点(—2,3)的直线交。于P,。两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证

明：线段肱V的中点为定点.

22

【答案】(1)2L+L=i；(2)证明见详解.

94

b-2a=3

22

【解析】（1）由题意可得《a1=b2+c2,解得《b=2,所以椭圆方程为2L+土=1.

94

c_小C=小

a3

（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在,设尸Q：y=M%+2）+3,尸（苗,乂）,。（巧,%），

y=攵（％+2）+3

联立方程y2X2，消去＞得:（4左2+9卜2+8左（29+3）x+16（92+3k）=0,

—+—=1

［94

贝U△=64左2（2左+3）2—64（4/+9）（产+3k）=—1728左＞0,解得左＜0,

8左（2次+3）16俨+3左）

可得玉+无2=-

4父+9

因为4（—2,0）,则直线AP:y=」^（x+2）,

•X1~T"乙

令x=0,解得》=用、，即

同理可得

I%2+2J

2M।2%

贝ij再+2%+2_［左（玉+2）+3］+［%（%2+2）+3］

2%+2%+2

［米［+（2%+3）］（%2+2）+［依2+（2攵+3）］（再+2）2痴I%+（4左+3）（演+%）+4（2左+3）

（石+2）（々+2）玉/+2（西+々）+4

32#+弘）_8M4可国+3）

=4尸+94S+9'）=1。8=3

16（Z?+3H16M2k+3）36'

4/+94/+9+

所以线段PQ中点是定点（0,3）.

【选修4-4】（10分）

22.在直角坐标系中，以坐标原点。为极点，无轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

.八（兀八兀、-x=2cos。

G的极坐标方程为夕=2sm6工工6«7,曲线G：八.（。为参数，

＜42）[y=2sma

兀、

—＜。＜兀）.

2

（1）写出G的直角坐标方程