2024年高考数学三轮复习：不等式 专项讲解与训练

第4讲不等式

函数与不等式

考向1不等式的解法

1.一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax+bx-\-c>0(a^O),再求相应一元二次方程af+6x+c=0(a#0)的根，最终依据相应二

次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.

2.简洁分式不等式的解法

-F(

(1)—y->0«0)g(x)>0«0)；

f(x)

⑵…产0(WO)=f(x)g(x)NO(WO)且g(x)#0.

2..利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则

(1)假如x>0,y>0,xy=p(定值)，当x=y时，x+y有最小值25(简记为：积定，和有最小值).

(2)假如x>0,y>0,x+y=s(定值)，当x=y时，灯有最大值:3(简记为：和定，积有最大值).

酮(1)若直线2+《=1(办0,6〉0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

ab

(2)若a,6GR,a垃0,则的最小值为________.

ab

【答案】(1)8(2)4

【解析】⑴因为直线二十£=1(a>0,6>0)过点(1,2),所以因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a

abab

+加已+0=4+(+12+2y|^=8,当且仅当即a=2,Q4时等号成立，所以2a+6的最

小值为8.

3

/c\/+46'+la4Z?1由基本不等式得，VAY+^-=4aZ>+—7^4当且仅当5

⑵蔡，+~+~7^2/-X—

baab\baabab

4Z?31

—,4a6==同时成立时等号成立.

利用基本不等式求最值应关注的三点

(1)利用基本不等式必需留意“一正二定三相等”的原则.

⑵基本不等式在解题时一般不能干脆应用，而是须要依据已知条件和基本不等式的“需求”找寻“结合

点”，即把探讨对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有：

bb

①xTx—a-\卜a(x>a).

x一ax-a

②^^+自=1,则磔+〃尸（3+力刃•1

xy

=（mx+〃y）•侬+〃6+2，薪藐（字母均为正数）.

（3）若两次连用基本不等式，要留意等号的取得条件的一样性，否则会出错.

【对点训练】

9Q

1.设x>0,则函数尸5的最小值为（）

乙XIL/

1

A.0B.-

3

C.1D.-

【答案】A

23,1、1

【解析】：选A.y=x+^~7L7—5=1了+弓|+---7—222—2=0.

LiXIJ./[乙）\.

吗

当且仅当叶白一彳，即x=B时等号成立.

叶5

所以函数的最小值为0.故选A.

2.已知a〉0,6>0,若不等式五七一之一恒成立，则〃的最大值为（）

3a十白ab

A.4B.16

C.9D.3

【答案】B

【解析】：选B.因为a〉0,b〉0,所以由三匕一°—太。恒成立得wQ+；）（3a+6）=10+“+半恒成

3a-]~bab\abjab

立.因为迎/2•当=6,当且仅当a=6时等号成立，故10+迎+当，16,所以RW16,即勿的

ab\labab

最大值为16.故选B.

线性规划

[核心提炼]

1.解决线性规划问题的一般步骤

（1）作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线1.

(2)平移一一将,平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时须要对目标函数，和可行域边界的斜率

的大小进行比较.

(3)求值一一解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.

2.目标函数的三种类型

(1)直线型：z=ax+by-\-c.

(2)斜率型：z=二上.

X~XQ

(3)距离型：z=(T—Ab)2+(y—7b)2.

'x+3y^3,

题(1)(2024•高考全国卷I)设x,y满意约束条件卜一/1,则z=x+p的最大值为()

、/0,

A.0B.1

C.2D.3

'2x+y—4W0

(2)(2024•成都第一次检测)若实数x,p满意约束条件卜一2p—2W0,则—的最小值为.

x-1^0

3x+p+320

⑶(2024•太原模拟)已知实数x,y满意条件｛2x—y+2W0,则z=V+/的取值范围为.

/+2了一4《0

34

【答案】(DD(2)-1(3)[|,13]

【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y=-x,当直线经过点4(3,0)

时，z=x+y取得最大值，此时Zmax=3+0=3.故选D.

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点尸(0,1)连线

x

的斜率.由图知，点户与点4(1,—J连线的斜率最小,

1

———1

由二1、—123

所以()min-kpA——一一J

x1—02

(3)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z=x?+V的最小值为点。到直线a'：2x—y+2

4

=0的距离的平方，痂in=E，最大值为点。与点力(-2,3)的距离的平方，2

OZ^=\OA\=13.

J*彳j

园圈圆幽

解决线性规划问题应关注的三点

(1)首先要找到可行域，再留意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边

界上的点)，但要留意作图肯定要精确，整点问题要验证解决.

(2)画可行域时应留意区域是否包含边界.

(3)对目标函数z=/x+8y中8的符号，肯定要留意8的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.

【对点训练】

3x+2y-6W0

1.设X,y满意约束条件＜x三0则Z=x—y的取值范围是()

A.[-3,0]B.[-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

【答案】B.

'3x+2y—6W0,

【解析】不等式组〈x》0,表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线Zo：y=x,平移直线

7o,当直线z=x—y过点/(2,0)时，z取得最大值2,当直线z=x—y过点6(0,3)时，z取得最小值一3,

所以z=x—y的取值范围是[―3,2],故选B.

3»*2y-^O

"x+3y+5N0

2.(2024•惠州第三次调研)已知实数x,y满意:x+y—1W0,若z=x+2y的最小值为一4,则实数a

、x+a20

=()

A.1B.2

C.4D.8

【答案】B.

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z=x+2y经过点以一a,平)时,

z取得最小值一4,所以一a+2•下-=-4,解得a=2,选B.

3.某高科技企业生产产品A和产品B须要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A须要甲材料L5kg,乙材

料1kg,用5个工时；生产一件产品B须要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A

的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不

超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

【答案】：216000

【超标】.由题意，设产品A生产x件，产品B生产］件，利词i=21OQx+9O6,

p5x+05j<150

Ix+03)S90

线性约束条件为〈5J+3X<600,

rZO

I田。

作出不等式组表示的平面区域如图中阴髭部分所示，又由xEN,v€N,可知即内最大值时的最优解为

(60,100),所以公=2100X8+900X100=216000(元).

课时作业

［基础达标］

1.已知关于X的不等式(ax—l)(x+l)<0的解集是(-8,-l)u则

A.2B.-2

11

1

_-

o

zD.2

c.^

【答案】B.

【解析】依据不等式与对应方程的关系知一1,一；是一元二次方程a/+x(a—1)—1=0的两个根，所以一1

x1一1j=—，，所以a=-2,故选B.

2.对于随意实数a,b,c,d,有以下四个命题:

①若ac>bc,且cWO,则a>b\

②若a>b,c>d,则a+c>b~\-d；

③若a>b,c'>d,则ac>6d；

④若a>b,则

ab

其中正确的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】B

【解析】：选B.①a/〉®/,且c#0,则a>6,①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满意

a,b,c,，均为正数才成立；④错误，比如：令a=—1,b=-2,满意一1>—2,但七・故选民

2x+3_p-3W0,

3.设x、y满意约束条件上矛一3y+320,则z=2x+y的最小值是()

j+3N0,

A.-15B.-9

C.1D.9

【答案】A

2x+3_y-3W0,

【解析】法一：作出不等式组<2x—3y+320,对应的可行域，如图中阴影部分所示.易求得可行域的顶点

、y+320

4(0,1),庾一6,-3),<7(6,-3),当直线？=2x+y过点6(—6,—3)时，z取得最小值，zBi„=2X(-6)

—3=—15,选择A.

6.(2024•高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告.已知每次播

放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放广告播放收视

时长(分钟)时长(分钟)人次(万)

甲70