初中数学中考复习讲义练习：全等三角形中的经典模型【六大题型】

全等三角形中的经典模型【六大题型】

【题型1平移模型】............................................................................1

【题型2轴对称模型】.........................................................................5

【题型3旋转模型】...........................................................................7

【题型4一线三等角模型】.....................................................................13

【题型5倍长中线模型】......................................................................19

【题型6截长补短模型】......................................................................24

【例1】（2022•义马市期末）如图，点A,E,F,8在直线/上，AE=BF,AC//BD,且

AC=BD,求证：AACF咨ABDE.

【分析】根据平行线的性质得到/C4P=ZDBE,根据SAS证明△ACF也即可.

【解答】证明：

：.AE+EF=BF+EF,

即AF=BE；

'：AC//BD,

：.ZCAF=ZDBE,

又；AC=BD,

在△acr与aBDE中，

AC=BD

ACAF=乙DBE,

.AF=BE

：.AACF^ABDE(SAS).

【变式1-1](2022•曾都区期末)如图，点B,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,AC=

DF.老师说：还添加一个条件就可使△ABCgZXOEF.下面是课堂上三个同学的发言：

甲：添加BE=C尸，乙：添力口AC〃。人丙：添加NA=ND

(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是甲、丙；

(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明.

【分析】(1)加上条件BE=CF或的条件即可证明两个三角形全等，添加AC

〃D尸不能证明△ABC丝ADEF；

(2)添加BE=CB可得利用SSS判定△ABC之△£)£/即可，添加/A=ND可

用SAS证明△ABCZADEF.

【解答】解：(1)说法正确的是：甲、丙，

故答案为：甲、丙；

(2)选甲的做法，

证明：；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和△£>田中，

AB=DE

AC=DF,

BC=EF

：.AABC^ADEFCSSS).

选丙的做法，

在△ABC和△£>£1/中，

AB=DE

Z-A=乙D,

AC=DF

：.AABC^ADEF(SAS).

【变式1-2](2022春•东坡区校级期末)如图，△A3C中，AB=13cm,BC=llcm,AC=

6cm,点石是8。边的中点，点。在A3边上，现将沿着BA方向向左平移至△A0歹

的位置，则四边形DECF的周长为______cm.

C

ADB

【分析】连接ER证明△(?£尸=△Df'E(ASA),推出DE=CF,可得结论.

【h解答】解：连接EE

ADB

由平移的性质可知，AF=DE.EF=AD,AF//DE,EF//AD,DF//BC,

：・NCEF=/DFE,/CFE=/DEF,

在ACE/和△OFE中，

Z.CEF=乙EFD

EF=FE,

ZCFE=乙DEF

:.ACEF丝ADFE(ASA),

:・DE=CF,

.\AF=CF=DE=3cm

是BC的中点，

EC—EB—DF—5.5cm,

四边形OECF的周长=2(3+5.5)=11cm.

故答案为：17.

【变式1-3](2022•富顺县校级月考)如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE

//AF,1.DE=AF,求证：AAFC^ADEB.如果将沿着AO边的方向平行移动，如

图2,3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说

【分析】可以根据已知利用SAS判定△AFCgADEB.如果将BD沿着A。边的方向平行

移动，如图(2)、(3)时，其余条件不变，结论仍然成立.可以利用全等三角形的常

用的判定方法进行验证.

【解答】解：

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD.

,JDE//AF,

AF=DE

在△ABC和△。仍中，1N4=4。,

AC=DB

：.AAFC^ADEB(SAS).

在(2),(3)中结论依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,

：.AB-BC=CD-BC,

即AC=BD,

,JAF//DE,

：./A=ND.

AF=DE

在△ACP和△DEB中，1,

.AC=DB

:.△ACF迫丛DEB(SAS).

知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三

角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】(2022•安丘市期末)如图，已知△ACP之且点A,B,C,D在同一条直

线上，NA=50°,ZF=40°.

(1)求△OBE各内角的度数；

【分析】(1)根据全等三角形的性质求出N。、/E,根据三角形内角和定理求出/防。

即可；

(2)根据全等三角形的性质得出AC=BD,求出AB=C。，即可求出答案.

【解答】解：(1);AACF咨ADBE,NA=50°,ZF=40",

.,.-4=50°,NE=NF=40°,

：.ZEBD=1SO°-ZD-ZE=90°；

(2),/AACF^ADBE,

：.AC=BD,

：.AC-BC=DB-BC,

：.AB=CD,

'：AD=16,BC=10,

：.AB=CD^~(AD-BC)=3.

2

【变式2-1](2022•陇县一模)如图，在△ABC中，已知CQ_LAB于点。，BE_LAC于点E,

/DCB=/EBC.求证：AD=AE.

A

【分析】由“A4S”可证△AOCgZXAEB,可得A0=AE1.

【解答】证明：VCD±AB,BELAC,NDCB=NEBC,

:・NDBC=NECB,

：.AB=AC,

在△ADC和防中，

乙4=乙4

^ADC=2LAEB=90°,

AC=AB

：.AADC^AAEB(A4S),

：.AD=AE.

【变式2-2](2022•句容市期末)如图，已知△49。之△30C.求证:AC=BD.

【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可.

【解答】证明：VAAOD^ABOC,

：.AO=BO,CO=DO,ZAOD=ZBOC9

：.ZAOD-ZCOD=ZBOC-/COD,

即NAOC=N8O。，

在△AOC和△30。中，

AO=BO

Z-AOC=乙BOD,

CO=DO

:.△NOgXBOD(SAS),

：.AC=BD.

【变式2-3](2022•海珠区校级期中)如图，PB±ABfPC±AC,PBPC,。是AP上一

点.求证：ZBDP=ZCDP.

【分析】求出NABP=NACP=90°,根据乩推出Rt^ABP咨RtZXACP,根据全等三角

形的性质得出/8PO=/CPD,根据SAS推出△8P。丝△CPZ),即可得出答案.

【解答】证明：PCLAC,

：.ZABP=ZACP=9Q°,

.•.在RtAABP和RtAACP中

(AP=AP

kPB=PC

.•.RtAABP^RtAACP(HL),

：.ZBPD=ZCPD,

在△BPD和△CPD中

PB=PC

乙BPD=乙CPD

、PD=PD

:ABPD%MPD,

：.ZBDP=ZCDP.

彳知识点3旋转模型】X

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这

两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共

角的条件.

【常见模型】

【题型3旋转模型】

【例3】（2022•环江县期中）如图，AB=AE,AB//DE,Zl=70°,ZD=110°.

求证：AABC咨AEAD.

证明：：/l=70°,

Z2=110°（邻补角的性质）.

Z2=ZD（等量代换）.

,:AB〃DE,

Z3=ZE(两直线平行，内错角相等).

在△ABC和中，

'()

'()'

=AE

：./\ABC^/\EAD(A45).

【分析】由邻补角的性质求出/2=110。，由平行线的性质得出N3=NE,根据A4s可

证△ABC丝△£/!£）.

【解答】证明：：/1=70°,

.-.Z2=110°（邻补角的性质），

：.Z2=ZD（等量代换），

'：AB//DE,

.../3=NE（两直线平行，内错角相等），

在△ABC和△£?1£）中，

22=4D

Z3=乙E,

.AB=AE

:./\ABC空AEAD（AAS）.

故答案为：Z2=110°；邻补角的性质；Z2=ZD；等量代换；N3=/E；两直线平行,

内错角相等；/2=ND；/3=/£

【变式3-1］（2022春•济南期末）如图1,△ABE是等腰三角形，AB^AE,NBAE=45°,

过点8作8CLAE于点C,在8c上截取CD=CE,连接A。、OE并延长交BE于点

P;

（1）求证：AD=BE；

（2）试说明AO平分NBAE；

（3）如图2,将△CQE绕着点C旋转一定的角度，那么AO与出?的位置关系是否发生

变化，说明理由.

B

B

【分析】(1)利用SAS证明ABCE名△AC。，根据全等三角形的对应边相等得到AD=

BE.

(2)根据△3CE四△ACO,得到NE3C=ND4C由NBOP=NA0C,得到N6P0=N

0c4=90°,利用等腰三角形的三线合一，即可得到AO平分N3AE；

(3)AO_L8E不发生变化.由△3CE四△ACO,得到NEBC=ND4C,由对顶角相等得

到/8万=乙4/。，根据三角形内角和为180°,所以NB//=NACT=90°,即ADA.

BE.

【解答】解：(1)VBC1AE,ZBAE=45°,

：.ZCBA=ZCAB,

：.BC=CAf

在△BCE和△AC。中，

BC=AC

乙BCE=^ACD=90°,

CE=CD

:•△BCE^AACD(SAS),

：.AD=BE.

(2)VABCE^AACD,

，NEBC=ADAC,

'：ZBDP=ZADC,

：.ZBPD=ZDCA=90°,

*：AB=AEf

：.AD平分NA4E.

(3)ADLBE不发生变化.

如图2,

B

A

(图2)

VABCE^AACD,

NEBC=ZDAC,

■:/BFP=/AFC,

：.ZBPF=ZACF=90°,

:.ADLBE.

【变式3-2](2022•高港区校级月考)已知，如图，AD,8尸相交于。点，点E、C在8F

上，MBE=FC,AC=DE,AB=DF.求证：

(1)AO=。。；

(2)AC//DE.

【分析】(1)易证△ABCZZ\DBE,可得NB=/尸，可证△AB。丝△DF。，可得AO=

DO；

(2)易证可得NDEF=NACB,可得AC〃。匹

【解答】解：(1),:BE=CF,

:.BC=FE,

在△ABC和△£)F£中，

AB=DF

AC=DE,

BC=FE

:.AABC丝ADFE(.SSS),

；./B=/F,

:在△ABO和△。/。中，

Z.DOF=Z.AOB

，NB=NF,

AB=DF

:.△ABOdDFO(AAS),

.\AO=DO；

(2):△ABCZADFE,

：.ZDEF=ZACB,

J.AC//DE.

【变式3-3］（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△AB。、△ACE拼在一起

（图1）,△A3。不动.

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接。E,M是。E的中点，连接M3、MC（图2）,

证明：MB=MC.

（2）若将图1中的CE向上平移，NCAE不变，连接。E,M是。E的中点，连接M8、

MC（图3）,判断并直接写出MB、MC的数量关系.

（3）在（2）中，若NCAE的大小改变（图4）,其他条件不变，贝I（2）中的MB、MC

的数量关系还成立吗？说明理由.

【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE,AB^AC,全等三

角形对应角相等可得再根据等腰三角形三线合一的性质得到NM4D=

NMAE,然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即

可得证；

（2）延长。8、AE相交于E',延长EC交4。于尸，根据等腰三角形三线合一的性质

得到BD=BE',然后求出MB//AE',再根据两直线平行，内错角相等求出

ZCAE,同理求出MC//AD,根据两直线平行，同位角相等求出/8CM=NBAZ）,然后

求出再根据等角对等边即可得证；

（3）延长&W交CE于尸，根据两直线平行，内错角相等可得ZMBD

=ZMFE,然后利用“角角边”证明AML啰和全等，根据全等三角形对应边相

等可得然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.

【解答】证明：（1）如图2,连接AM,由已知得△ABOg/kACE,

：.AD=AE,AB=AC,NBAD=/CAE,

；MD=ME,

：.ZMAD=NMAE,

：.AMAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,

即NR4M=NCAM,

AB=AC

在△ABM和△ACM中，=NC4M,

AM=AM

：.AABM^AACM(SAS),

：.MB=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如图3,延长。5、AE相交于E'延长EC交A。于巴

：.BD=BE',CE=CF,

•・・M是中的中点，B是DE，的中点，

J.MB//AE',

J/MBC=/CAE,

同理：MC//AD,

：.NBCM=NBAD,

•:/BAD=/CAE,

:・NMBC=/BCM,

：.MB=MC；

解法二：如图3中，延长CM交3。于点T.

图3

■:EC//DT,

；・/CEM=/TDM,

在△ECM和中，

2CEM=2TDM

EM=DM,

"MC=乙DMT

：./\ECM^/\DTM(ASA),

・•・CM=MT,

9：ZCBT=90°,

:・BM=CM=MT.

(3)还成立.

如图4,延长交CE于产,

■:CE//BD,

：・NMDB=/MEF,NMBD=/MFE,

又是的中点，

：.MD=ME,

在和中，

Z.MDB=Z-MEF

乙MBD=乙MFE,

.MD=ME

：.AMDB^AMEF(AAS),

VZACE=90°,

：.ZBCF=90°,

：.MB=MC.

【题型4一线三等角模型】

【例4】(2022春•香坊区期末)已知，在△A3C中，AB=AC,D,A,石三点都在直线机

上，且DE=9cm,ZBDA=ZAEC=ABAC

(1)如图①，ABLAC,则3。与AE的数量关系为BD=AE,CE与的数量

关系为CE=AD；

(2)如图②，判断并说明线段3D,CE与DE的数量关系；

(3)如图③，若只保持/BD4=NAEC,BO=EF=7c机，点A在线段OE上以2c7Ms的

速度由点。向点E运动，同时，点C在线段环上以无aw/s的速度由点E向点尸运动，

它们运动的时间为f(s).是否存在x,使得△ABO与△EAC全等？若存在，求出相应

的r的值；若不存在，请说明理由.

D—►AEm

AErnAEm

图①图②图③

【分析】(1)利用平角的定义和三角形内角和定理得NC4E=/ABD,再利用44S证明

AABD^/XCAE,得BD=AE,CE=AD；

(2)由(1)同理可得△ABDZZ\CAE,得BZ)=A£,CE=AD,可得答案；

(3)分注或△ZMB咨AEAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决

问题.

【解答】解：(1),.,NB£>A=NAEC=N2AC,

ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZABD,

：.NCAE=AABD,

'：ZBDA=ZAEC,BA=CA,

：./\ABD^/\CAE(AAS),

：.BD=AE,CE=AD,

故答案为：BD=AE,CE^AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得△ABO四△CAE(AAS),

：.BD=AE,CE=AD,

：.DE=BD+CE；

(3)存在，当△D48也△EC4时，

AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,

.,.Z=l,此时x=2；

当△口13g△E4C时，

z

.\AD=AE=4.5cmfDB=EC=7cm,

综上：t=l九=2或/=?,x=—.

949

【变式4-1]（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机

上，并且有NBZM=NAEC=/&lC=a,若。石=10,BD=3,求CE的长.

C

【分析】由NAEC=NBAC=a,推出NEC4=NBA。，再根据AAS证明△BA£）0z\ACE

得CE=A。，AE=BD=3,即可得出结果.

【解答】解：VZAEC=ZBAC=a,

：.Z£CA+ZCA£=180°-a,

ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZECA=ZBAD,

在△BA。与△&（?£1中，

^BDA=AAEC

Z.BAD=Z-ACE,

AB=AC

ABAD^AACE（AAS）,

：.CE=ADfAE=BD=3,

9

\DE=AD+AE=10f

：.AD=DE-AE=DE-50=10-3=7.

:・CE=Q.

【变式4-2]（2022春•历下区期中）CD是经过NBCA定点C的一条直线，CA=CB,E、

厂分别是直线CD上两点，且/8EC=NCEl=/[3.

（1）若直线C£）经过NBCA内部，且£、/在射线C。上，

①若/BCA=90°,Np=90°,例如图1,贝!CF,EF|2E-4F|.（填“〉”，

“<”，“=”）；

②若0°<NBCA<180°,且/B+/8CA=180°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？

并说明理由；

（2）如图3,若直线CD经过/BCA外部，且Np=NBCA,请直接写出线段EF、BE、

AP的数量关系（不需要证明）.

CAF,推出BE=CRCE=A/即可；②求出NBEC=NABC,NCBE=NACF,根据AAS

证△BCEZzXCA凡推出8石=(?凡CE=4尸即可；

(2)求出NBEC=NAf'C,ZCBE=ZACF,AASiiEABCE^ACAF,推出BE=CR

CE=AF即可.

E点在歹点的左侧，

'：BE±CD,AFLCD,NAC2=90°,

：.ZBEC=ZAFC=90°,

AZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

：.ZCBE=ZACF,

在△BCE和△CA尸中，

ZEBC=AACF

/.BEC=/.AFC,

BC=AC

:.4BCE乌LCAF(A4S),

：.BE=CF,CE=AF,

；.EF=CF-CE=BE-AF,

当E在尸的右侧时，同理可证Eb=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\-,

故答案为=,=.

②：①中两个结论仍然成立；

证明：如图2,

图2

*：ZBEC=ZCFA=Za9Za+ZACB=180°,

，/CBE=ZACFf

在△BCE和△CA/中，

2EBC=乙4CF

(BEC=Z.AFC,

BC=AC

：.ABCE^ACAF(A4S),

；・BE=CF,CE=AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF,

当E在尸的右侧时，如图3,

同理可证EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\；

(2)EF=BE+AF.

理由是：如图4,

VZBEC=ZCFA=Za,Za=ZBCA,

又•；NEBC+/BCE+NBEC=18。。,ZBCE+ZACF+ZACB=180°,

・•・ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

：.ZEBC=ZACF,

在△BEC和△C7;A中，

NEBC=Z.ACF

乙BEC=/.AFC,

BC=AC

：./\BEC^/^CFA(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

"：EF=CE+CF,

：.EF=BE+AF.

【变式4-3](2022•余杭区月考)如图①，点、B、C在NMAN的边AM、AN上，点E,F

在/MAN内部的射线上，ZKN2分别是△ABE、尸的外角.已知A8=AC,

Z1=Z2=ZBAC.求证：AABE名ACAF.

应用：如图②，在△ABC中，AB^AC,AB>BC,点。在边BC上，且C£)=2B。，点、E,

E在线段上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求△ABE与△CAF的面积

之和.

【分析】(1)由"ASA”可证△ABEZ/XCAF；

(2)由“ASA”可证由全等三角形的性质可得SAABE=SMAF，由三角形

的面积关系可求解.

【解答】证明：(1),.•/1=N2=N2AC,S.Z1=ZBAE+ZABE,Z2=ZFAC+ZFCA,

NBAC=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,S.AB=AC,

.♦.△ABE怂△CAP(ASA)

(2)VZ1=Z2=ZBAC,且N1=NBAE+/ABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,且AB=AC,

.♦.△ABE丝△CAF(ASA)

SAABE—SACAFJ

\'CD=2BD,ZVIBC的面积为15,

S^ACD—10—S^ABE^~S^CDF-

〃知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍

长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全

等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

AA

E*E

【题型5倍长中线模型】

【例5】(2022秋•博兴县期末)如图，2。是△ABC的中线，AB=6,BC=4,求中线BO

的取值范围.

【分析】延长2。到E,使DE=BD,证明两边之和大于两边之差小于BE=

2BD,证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得

【解答】解：如图所示，延长BD到£,使。连接AE,

：8。是△ABC的中线，

：.AD=CD,

在△ADE和△CD8中，

AD=CD

Z.ADE=乙CDB,

BD=ED

・•・△ADEmLCDB(SAS),

：.AE=BC,

在△A5E中，AB-AE<BE<AB+AE,

即2V2BDC10,

：.1<BD<5.

【变式5-1］（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，。是3。边的中点，E是AD上

一点，BE=AC,BE的延长线交AC于R求证：ZAEF=ZEAF.

【分析】延长A0到G使。G=A0,连接BG,通过△ACO名△GB。，根据全等三角形的

性质得到NCAD=NG,AC=BG,等量代换得到3E=BG,由等腰三角形的性质得到N

G=ZBEG,即可得到结论.

【解答】解：如图，延长AO到G使。G=A。，连接8G,

在△ACO与△G5O中，

CD=BD

Z-ADC=Z.BDG,

AD=DG

：.AACD^AGBD,

：.ZCAD=ZG,AC=BG,

*：BE=AC,

：,BE=BG,

:・/G=/BEG,

,/NBEG=NAEF,

：.ZAEF=ZEAF.

、'；G

【变式5-2](2022•潘水县校级模拟)(1)在△ABC中，4。为△ABC的中线，42=6,

AC=4,则AD的取值范围是1<AD<5；

(2)如图，在△ABC4J,为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE=AC,连接

并延长BE交AC于点?求证：AF=FE.

【分析】(1)延长到E,®DE=AD,连接BE,利用“边角边”证明△人⑦和4

EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AC,再利用三角形的任意两边之和大

于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后求解即可.

(2)延长AO到点G,使DG=DE,连接CG.证明(SAS).由全等三

角形的性质可得出BE=CG,ZBED=ZG.得出NG=NG4C,ZAEF=ZGAC,则可

得出结论.

【解答】(1)解：如图，延长到E,使D£=A£>,连接BE,

为△ABC的中线，

：.BD=CD,

在△AC。和△E8。中，

DE=AD

Z-ADC=乙EDB,

BD=CD

:•△ACD/XEBD(SAS),

：.BE=AC,

由三角形三边关系得，6-4VAEV6+4,

即2VA石<10,

A1<A£><5,

故答案为：1<AO<5.

(2)证明，延长A。到点G,使DG=DE,连接CG.

〈AO是中线，

:・BD=DC.

在△5DE和△COG中，

BD=CD

Z.BDE=乙CDG,

DE=DG

:・ABDE/ACDG(SAS).

：.BE=CG,ZBED=ZG.

'：ZAEF=ZBFD,

：.ZAEF=ZG.

VBE=AC,

：.AC=CG9

:・/G=/GAC,

：.ZAFE=ZGAC,

：.AE=EF.

、»

、:E

【变式5-3](2022•丹阳市期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验

活动，请你和他们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图1,是△ABC的中线，延长至点E,使ED=A。，连接BE,写出图中

全等的两个三角形

【理解与应用】

(2)填空：如图2,EP是△£)跖的中线，若EF=5,DE=3,设则x的取值范

围是•

(3)已知：如图3,是△ABC的中线，NBAC=/ACB,点。在BC的延长线上，

QC=BC,求证：AQ=2AD.

【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；

(2)延长EP至点。，使PQ=PE,连接产。，根据全等三角形的性质得到尸。=OE=3,

根据三角形的三边关系即可得到结论；

(3)延长AD到M,使MD=AD,连接BM,于是得到AM=2AD由已知条件得到BD=

CD,根据全等三角形的性质得到BM=CA,ZM=ZCAD,于是得到/BAC=

ZCAD=ZBAM+ZM,推出根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：在△ADC与△£758中，

AD=DE

Z.ADC=/.BDE,

CD=BD

：.4ADC*AEDB；

故答案为：AADC冬4EDB；

(2)解：如图2,延长EP至点。，使PQ=PE,连接PQ,

在△P£>£■与尸中，

PE=PQ

Z.EPD=乙QPF,

.PD=PF

.♦.△PEP四△。尸尸，

：.FQ=DE=3,

在△EFQ中，所-FQ<QE<EF+FQ,

即5-3<2x<5+3,

二尤的取值范围是l<x<4；

故答案为：l<x<4；

(3)证明：如图3,延长A。到M,MD=AD,连接

：.AM=2AD,

是△ABC的中线，

:・BD=CD,

在△3MZ)与△CA。中，

MD=AD

Z.BDA=Z.CDAJ

BD=CD

：.4BMDQ4CAD,

：.BM=CA,ZM=ZCAD,

：.ZBAC=ZBAM+ZCAD=ZBAM+ZM.

VZACB=ZQ+ZCAQfAB=BC,

VZACQ=180°-(NQ+NCA。),ZMBA=180°-(ZBAM+ZM),

・•・ZACQ=ZMBAf

'：QC=BC,

：.QC=AB,

在△ACQ与△ME4中，

(BM=CA

^.ACQ=^MBA,

QC=AB

：.AACQ^AMBA,

.'.AQ=AM=2AD.

图2

（【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一

段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三

角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程

［【题型6截长补短模型】

【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1,在△ABC中，4。平分NA4C,ZABC=2ZC.求证：AC=AB+BD；

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法一：如图2,在AC上截取AE,使得AE=AB,连接。E,可以得到全等三角形，进

而解决问题.

方法二：如图3,延长A8到点E,使得连接。E,可以得到等腰三角形，进而

解决问题.

(1)根据阅读材料，任选一种方法证明AC=A8+8。，根据自己的解题经验或参考小明

的方法，解决下面的问题；

(2)如图4,四边形A8CD中，E是8c上一点，EA=ED,ZDCB=2ZB,ZDAE+Z

8=90°,探究。C、CE、BE之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据全等三角形的判定求出△ABOgZXAEZ),根据全等三角形的性质得出

BD=ED,NAED=NB=2NC,求出ED=EC,BD=EC,即可得出答案；

(2)在上截取斯，4吏得EF=DC,连接AR求出NAEB=NCOE,根据全等三角

形的判定得出尸丝△EOC,根据全等三角形的性质得出EC=AF/AFE=/C=2/B,

求出NAB尸JttBBF=AF,即可得出答案.

【解答】(1)证明：方法一：平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

在△54。和△E4。中

AD=AD

/.BAD=LEAD

.AB=AE

:.AABD%AAED(SAS)

:.BD=ED,ZAED=ZB=2ZC,

,：NAED=ZC+ZEDC,

：.ZEDC=ZC,

：.ED=EC,

：.BD=EC,

：.AC=AB+BD；

(2)DC、CE、BE之间的数量关系是8E=OC+CE,

D

A

B

图4

证明：在上截取EF,使得EF=DC,连接AR

*：EA=ED,

:・/EAD=/EDA,

：.2ZDAE=180°-NAED,

VZDAE+ZB=90°,

：.2ZDAE+2ZB=180°,

・•・/AED=2/B=NC,

'：ZBED=ZCDE+ZDAE,

：.ZAEB=ZCDE,

在△AEF和△&)(7中

EF=DC

^AEF=乙EDC

AE=DE

：.AAEF^AEDC(SAS),

・•・EC=AFZAFE=NC=2NB,

'：ZAFE=ZB+ZBAF,

：.ZABF=NBAF,

：.BF=AF,

：.BF=CE,

；.BE=DC+CE.

【变式6-1]（2022•新春县期中）已知：如图，在△ABC中，ZABC=60°,△ABC的角

平分线AO、CE交于点O.

求证：AC=AE+CD.

【分析】在AC上取Ab=AE,连接OR即可证得△AE1。2Z\A尸O,^ZAOE=ZAOF；

再证得NCOF=/C。。，则根据全等三角形的判定方法AS4即可证△n?(?0△DOC,可

得DC=FC,即可得结论.

【解答】证明：在AC上取AF=AE,连接。尸，

平分NBAC、

：.ZEAO=ZFAO,

在△AEO与△Af'O中，

AE=AF

/.EAO=Z.FAO,

.AO=A0

：.AAEO^AAFO(SAS),

ZAOE=ZAOF；

\'AD.CE分别平分NBAC、ZACB,

11-11

AZECA+ZDAC=-2ZACB+-2ZBAC=-2(Z2ACB+ZBAC)=-(180°-ZB)=60°,

则/AOC=180°-ZECA-ZDAC=120°；

AZAOC=ZDOE=120°,Z