人教版八年级数学下册《一次函数（第9课时）》示范教学设计

一次函数（第9课时）教学目标1．理解并掌握一次函数与二元一次方程（组）之间的关系，探索两个一次函数的图象的交点与对应的二元一次方程组的解的联系．2．会利用函数图象求二元一次方程组的解．3．综合运用一次函数的解析式、函数图象以及结合方程（组）等其他数学模型，解决简单的实际问题．教学重点用图象法解二元一次方程组．教学难点归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤．教学过程知识回顾1．由于任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围．（1）从数的角度看：求ax＋b＞0（或ax＋b＜0）的解集求x为何值时y＝ax＋b的值大于0（或小于0）；（2）从形的角度看：求ax＋b＞0（或ax＋b＜0）的解集确定直线y＝ax＋b在x轴上方（或下方）的图象所对应的x值．2．利用图象求一元一次不等式ax＋b＞c或ax＋b＜c的解集的方法：在同一直角坐标系中作出直线y＝c和直线y＝ax＋b，找出交点．直线y＝ax＋b在直线y＝c上方部分对应的x的取值范围即不等式ax＋b＞c的解集；直线y＝ax＋b在直线y＝c下方部分对应的x的取值范围即不等式ax＋b＜c的解集．3．利用图象求一元一次不等式k1x＋b1＞k2x＋b2或k1x＋b1＜k2x＋b2的解集的方法：方法一：转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，然后求解；方法二：令y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，在同一坐标系中分别画出这两个一次函数的图象，先令k1x＋b1＝k2x＋b2，找出两个函数图象交点的横坐标，然后根据图象的位置确定不等式的解集．新知探究一、探究学习【问题】已知二元一次方程3x＋5y＝8，如何用含有x的式子表示y？【师生活动】教师提问，学生作答即可．【答案】．【追问】任意的二元一次方程都可以转化成一次函数的形式吗？【答案】是．二元一次方程的一般式为ax＋by＝c(a≠0，b≠0)，用含有x的式子表示y为．【设计意图】让学生了解任意的二元一次方程都可以转化成一次函数的形式．【问题】1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．【师生活动】教师引导学生找出等量关系并列出对应的函数关系式．【答案】气球上升时间x满足0≤x≤60．气球1的海拔高度y＝x＋5；气球2的海拔高度y＝0.5x＋15．【追问】一次函数y＝0.5x＋15与二元一次方程有什么关系？【答案】从式子（数）的角度看：【追问】从形的角度看，一次函数y＝0.5x＋15与二元一次方程有什么关系？【答案】由函数图象的定义可知：直线y＝0.5x＋15上的每个点的坐标都能使y＝0.5x＋15成立，即直线y＝0.5x＋15上的每个点的坐标都是二元一次方程y＝0.5x＋15的解．【新知】一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解．从形的角度看：【设计意图】引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程解的认识．【问题】在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？【师生活动】教师引导学生从数和形两方面解答问题．【答案】解法一：解方程组得∴两个气球能位于同一高度．这时气球上升了20min，两个气球都位于25m的高度．解法二：如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象，这两条直线的交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度．【新知】由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看：解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解．方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来．解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑．【设计意图】引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程组解的认识，引出对一次函数与二元一次方程组关系的归纳．二、典例精讲【例1】请用图象法求方程组的解．【答案】解：整理方程组，得建立平面直角坐标系，分别作出一次函数y＝－x－1与y＝2x＋2的图象，如图所示．两直线交于点A(－1，0)，则原方程组的解为【归纳】用图象法解二元一次方程组的步骤：第1步：转化，将方程组中的每个方程分别转化成一次函数解析式的形式；第2步：画图象，在同一平面直角坐标系中分别画出这两个一次函数的图象；第3步：找交点，分别写出这两个图象的交点的横、纵坐标，这两个值就是二元一次方程组的解中的两个数值．若没有交点，则方程组无解．【设计意图】检验学生对一次函数与二元一次方程组关系的理解和掌握情况，归纳用图象法解二元一次方程组的步骤．【例2】下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系(30≤x≤120)．已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．（1）当速度为50km/h，100km/h时该汽车的耗油量分别为_____L/km，_____L/km；（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数解析式；（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【分析】（1）和（2）先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所以将x＝50代入计算即可；速度为100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得．（3）先求线段BC所表示的函数解析式，再与线段AB所表示的函数解析式联立方程组，求出点B的坐标，从而解决问题．【答案】解：（1）两空分别填0.13，0.14．理由如下：设线段AB所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b．因为y＝kx＋b的图象过点(30，0.15)与(60，0.12)，所以解方程组，得所以y＝－0.001x＋0.18．所以当x＝50时，y＝－0.001×50＋0.18＝0.13(L/km）．当x＝100时，y＝0.12＋(100－90)×0.002＝0.14(L/km）．（2）由（1）可知，线段AB所表示的y与x之间的函数解析式为y＝－0.001x＋0.18．（3）根据题意，得线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝0.12＋0.002(x－90)＝0.002x－0.06．由图象可知，点B是折线ABC的最低点．解方程组得因此，速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1