人教版七年级数学下学期二元一次方程组复习试题及解析

一、选择题

L小敏和小捷两人玩"打弹珠"游戏，小敏对小捷说："把你珠子的一半给我，我就有30颗

珠子”.小捷却说："只要把你的!给我，我就有30颗"，如果设小捷的弹珠数为x颗，小

敏的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是()

fx+2y=30+2y=30fx+2y=60[x+2y=60

A'J12x+y=60"DLz•।

*[2x+y=30C，12x+y=30[2x+y=60

[2ax+3y=184tfx=3

2.关于x,y的方程组口口(其中a,b是常数)的解为v」则方程组

-x+5by=17b=4

2a(x+y)+3(x-y)

一的解为()

(x+y)-5Z?(x-y)=—1/

fx=3fx=7[x=3.5fx=3.5

A.\

V=4[y=-l[y=-Q5[y=0.5

3.新运算〃△”定义为(a,b)A(c,d)=(ac+bd,ad+bc),如果对于任意数o,b都有(a,

&)△(x,y)=(a,b),则(x,y)=()

A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)

4.如图，长方形的宽为〃，长为b,a<b<2a,第一次分割出一个最大的正方形“]，第

二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形“2，依次下去恰好能把这个长方形分

成四个正方形“1，M2,%,M4,并且无剩余，则。与b应满足的关系是()

A.b=—aB.b=—a^b=­a

5.如图，周长为34的矩形ABC。被分成7个全等的矩形，则矩形A8C。的面积为()

6.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无

盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用

完，则m+n的值可能是（）

□□郎自

图①图②

A.200B.201C.202D.203

7.笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么最多购

买钢笔（）支.

A.28B.29C.30D.31

|X+V=—Cl+1*

8.己知关于x,y的方程组,给出下列说法：①当“=o时，方程组的解也

[冗一y=Q3。+5

是方程2x+y=4的一个解；②当x-2y>7时，。>0；③不论。取什么实数，2x+y的值

始终不变；④若。=1,则f+4y=0以上四种说法中正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

/、「5Q+2》=—9

9.已知点尸（。力）的坐标满足二元一次方程组。。，则点P所在的象限为（）

p«-4^=-8

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

fx=3{ax+by=1

10.如果c是方程组；u的解，则。2。。8+2按。。8的值为（）

[y=-2[ax-by=5

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知

银，七两分之多四两，九两分之少半斤."大意为:"一群人分银子，若每人分七两，则剩余四

两;若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”（注:当时1斤=16

两，故有“半斤八两”这个成语）设共有X人，所分银子共有y两，则所列方程组为

12.甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲

每次摸4个或（3-/（）个，乙每次摸5个或（5—k）个（k是常数，且0<k<3）；经统计，

甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总

个数恰好相等，那么箱子中至少有球个.

y=cx\x=\\CLx+y=c.-a,

13.若方程组的解是c，则方程组的解是______

a2x+y=c2[y=2\a2x+y=c2—a2

14.若2%+y+z=10,3x+y-Fz=12,则x+y+z=.

15.若实数。与b满足（4〃-by+|3〃-Z?+2]=0,则"的平方根为

[2a+b=2

16.已知o,b满足方程组，,则的值为.

\a+2b=4--------

17.某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%,

在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车

库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.今年元旦节，由于商

场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%,又因为车库改造，只能开放2个进口和

1个出口，则从早晨6点开始经过小时车库恰好停满.

18.若mi,mi,m2(m是从0,1,2,这三个数中取值的一列数，且

mi+m2+...+m202i=1530,(mi-l)2+(m2-l)2+...+(m202i-l)2=1525,则在mi,m2,01202:1中，取

值为2的个数为.

19.我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活

动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.

甲、丙两组到A植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树，植树结束后统计植树成果得

知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的

2.5倍，A、B两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量

为整数，则我校学生一共植树棵.

fx+2V_21n

20.关于X、y的方程组~'一的解也是方程x+y=5的解，则，〃的值为______.

[x-y=m

三、解答题

21.在平面直角坐标系X0V中，把线段A3先向右平移八个单位，再向下平移1个单位得

到线段8(点A对应点C),其中A(a力),3(/〃,〃)分别是第三象限与第二象限内的点.

(1)若|a+3|+JFXT=0,/7=2,求C点的坐标；

(2)若6=”-1,连接AD,过点B作AD的垂线/

①判断直线/与x轴的位置关系，并说明理由；

②已知E是直线/上一点，连接DE,且QE的最小值为1,若点B,。及点(sj)都是关于

x,y的二元一次方程内+的解(x,y)为坐标的点，试判断+是

正数、负数还是0?并说明理由.

22.在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标满足x-2y+3=0,则我们称点P为"健康

点"：若点Q(x,y)的坐标满足x+y-6=0,则我们称点Q为"快乐点”.

(1)若点A既是"健康点"又是"快乐点"，则点A的坐标为；

(2)在(1)的条件下，若B是x轴上的"健康点"，C是y轴上的"快乐点"，求△ABC的面

积；

(3)在(2)的条件下，若P为x轴上一点，且△BPC与△48C面积相等，直接写出点P

的坐标.

6

5

4

3

2

1

।।।।।.

-6-5-4-323456x

-4

-5

-6

23.在平面直角坐标系工作中，点4（＜0）,点3（0,3）,点。（3,0）.

图I

（1）ABC的面积为

（2）已知点。（1,-2）,£（-2,-3）,那么四边形ACDE的面积为.

（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用

m表示格点多边形内的格点数，"表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S

和m与"之间满足一种数量关系.例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表

中信息：

形内格点数格点多边形面积

边界格点数n

mS

ABC611

四边形ACDE811

五边形ABCDE208

根据上述的例子，猜测皮克公式为5=（用m,"表示），试计算图②中六边形

FGHA/K的面积为（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）.

24.一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和,

都等于k,那么称这个四位正整数为"k类诚勤数"，例如：2534,因为2+5=3+4=7,所

以2534是"7类诚勤数”.

（1）请判断7441和5436是否为"诚勤数”并说明理由；

（2）若一个四位正整数A为"5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值.

25.学校计划为"我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共

需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

（1）求A,B两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的g.请

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

26.某企业用规格是170cmx40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一或裁法

二,裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：cm）.

向无盖行3

竖式横式

①②

（1）求图中。、b的值；

（2）若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪,裁剪后将得到的甲型

与乙型板材做侧面或底面,做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处

的长度忽略不计）.

①一共可裁剪出甲型板材张，乙型板材张；

②恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子多少个？

f2Z£Z+Z/?=230°

27.如图，Na和4的度数满足方程组°7，旦CDHEF,AC±AE.

[3Za-Zp=20

（1）用解方程的方法求和的度数；

（2）求NC的度数.

28.五一节前，某商店拟购进人B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台4种品牌

电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2

台B种品牌电风扇共需费用400元.

（1）求4B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？

（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/

台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电

风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

29.阅读以下内容：

f3/71+2〃=qk—4

已知有理数m,n满足m+n=3,且、。。求k的值.

[2m+3n=-2

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

f3?77+2vi=7左一4

甲同学：先解关于m,n的方程组c。一c，再求k的值;

[2m+3〃=一2

乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；

[m+n=3

丙同学：先解方程组c〜,再求k的值.

[2m+3n=—2

（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；

（2）在解关于x,y的方程组鲁时，可以用①*7-@x3消去未知数X,

也可以用①x2+②x5消去未知数y.求a和b的值.

30.学校美术组要去商店购买铅笔和橡皮，若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价

购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5

元.已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮的批发价比零售价低0.10元.

（1）求每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？

（2）小亮同学用4元钱在这家商店按零售价买同样的铅笔和橡皮（两样都要买，4元钱恰

好用完），共有哪几种购买方案？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题中的等量关系：①把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子；

②把小敏的;给小捷，小捷就有30颗.列出二元一次方程组即可.

【详解】

解：根据把小捷的珠子的一半给小敏，小敏就有30颗珠子，可表示为y+]=30,化简得

1_V

2y+x=60；根据把小敏的5给小捷，小捷就有30颗.可表示为x+；=30,化简得2x+y=60.

x+2y=60

故方程组为:

2x+y=60

故选：D.

【点睛】

本题首先要能够根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数,

运用等式的性质进行整理化简.

2.C

解析：C

【详解】

分析：由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x-y分别相当于原方程组中的x、y,

据此列出方程组，解之可得.

x+y=300

详解：由题意知：［".z①+②，得：2X=7,X=3.5,①-②，得：2y=-1,y=

x-y=4②

x=3.5

-0.5,所以方程组的解为

y=-0.5

故选C.

点睛：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于

x、y的方程组.

3.D

解析：D

【分析】

根据新定义运算法则列出方程吸管1%，由①②解得关于"y的方程组，解方程组

即可.

【详解】

由新定义，知：(a,b)A(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b),

,rax+by=a®

则｛7…

ay+bx=b®

由①+②,得:(a+b)x+(a+b)y=a+b,

a,b是任意实数，「.x+y=l,③

由①-②,得

(a-b)x-(a-b)y=a-b,/.x-y=l,(4)

由③④解得，x=Ly=0,

(x,y)为(IQ);

故选D.

4.B

解析：B

【分析】

根据长方形的宽为。，长为b进行分割，第一次分割出边长a的正方形，第二次分割出边

长(fa-a)的正方形，并进行分类讨论，画出几何图形，利用边长的关系即可得出a、b的

关系.

【详解】

解：①如图：

ED=EI=IG=GF=b-a,

/.a=3(b-a),

/.4a=3b,

②如图:

EI=IC=2a-b,

b=a+2a-b+2a-b,

45

综上所述：b=-a^b=-a

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形和正方形边长的关系，准确的画出图形，进行分类讨论是解题的关键.

5.C

解析：C

【分析】

设小长方形的长、宽分别为x、y,根据周长为34的矩形ABCD,可以列出方程3x+y=

17；根据图示可以列出方程2x=5y,联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形

ABCD的面积.

【详解】

解：设小长方形的长、宽分别为x、y,

2x=5y

依题意得:

3x+y=17

x=5

解得:

y=2

则矩形ABCD的面积为7x2x5=70.

故选：C.

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量

关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题.

6.A

解析：A

【分析】

4x+3y=几

分别设做了竖式无盖纸盒X个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组{c.,把两

个方程的两边分别相加得"+"=5(x+y),易知的值一定是5的倍数，本题即解答.

【详解】

解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：

{4x+3y=n

x+2y=m

则两式相加得

m+n=5(x+y),

「X、y都是正整数

.•.〃?+〃一定是5的倍数；

200>201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，

，〃?+”的值可能是200.

故选A.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出

m+n=5(x+y),是解答本题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

设该同学购买钢笔x支，笔记本y本，根据总价=单价*数量，即可得出关于x,y的二元一

次方程，结合x,y均为正整数，即可得出各购买方案，取x的最大值即可得出结论.

【详解】

解：设该同学购买钢笔X支，笔记本y本,

依题意得：5x+4y=162.

.•.X,y均为正整数,

%y==330或［［'尤y==286或］x==2123或］lx=188或［］y尤=1243x=10x=6x=2

或…或

>=28或y=38；

•最多购买钢笔30支.

故选：C

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可.

【详解】

fx=

解：①当4=0时，方程组的解为：=

也是方程2x+y=4的一个解，符合题意;

\xy=—a+1x=a+3

②关于x,y的方程组-。4的解为:

'［x-y=3a+jy=—2a—2

当x-2y=a+3+4a+4>7时，a>0,符合题意；

③不论。取什么实数，2x+y=2(a+3)+(-2a-2)=4的值始终不变，符合题意;

(尤=4

④当。=1时，方程组的解为：[二_4，

则V+4y=0,符合题意.

所以以上四种说法中正确的有4个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程

都成立的未知数的值.

9.B

解析：B

【分析】

解方程组求出。、6的值，再根据各象限内点的坐标特征即可得到答案.

【详解】

H[5。+26=-9①

轧\3a-^b=-%@，

①x2得：10。+46=-18③，

②+③)得：13。=-26,

a=-2,

把〃=—2代入①得：-10+%=-9,

2

a——2

.•.方程组的解为，1,

b=—

I2

•・•点P的坐标为（-2,1，

•••点尸在第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，各象限内点的坐标特征，正确求出方程组的解是解决

本题的关键.

10.C

解析：C

【分析】

3。-26=1

将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组%+26=5,再求解方程组即

可求解.

【详解】

ax+by=l

解:是方程组的解,

ax-by=5

3。-26=1①

3。+26=5②’

①+②得，a=l,

将a=l代入①得，b=L

。2。。8+2按°°8=1+2=3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是

解题的关键.

二、填空题

11.【解析】

【分析】

题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七

两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.

【详解】

两组条件：每人分七两，则剩余四两;

7x+4=y

解析:

9x-S=y

【解析】

【分析】

题中涉及两个未知数：共有X人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四

两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.

【详解】

两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；

7x+4=y

解:

9x-8=y

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键.

12.110

【详解】

设甲取了x次4个球，取了(16-x)次(3-k)个球，乙取了y次5个球，取了

(17-y)次(5-k)个球，依题意k=l,2,

当k=l时，甲总共取球的个数为4x+2(16-x)=2

解析：110

【详解】

设甲取了x次4个球，取了(16-x)次(3«)个球，乙取了y次5个球，取了(17-y)次

(5-k)个球，依题意k=l,2,

当k=l时，甲总共取球的个数为4x+2(16-x)=2x+32,乙总共取球的个数为5y+4(17-y)

=y+68,

当k=2时，甲总共取球的个数为4x+(16-x)=3x+16,乙总共取球的个数为5y+3(17-y)

=2y+51,根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：

①2x+32=y+68,即片2x-34,由蟀16,2斗417且x、y为正整数，不合题意，舍去；

②2x+32=2y+5L即2x+2y=19,因x416,24ysl7且x、y为正整数，不合题意，舍去；

③3x+16=y+68,即y=3x-52,因xS16,24yW17且x、y为正整数，不合题意，舍去；

④3x+16=2y+51,即》=型1至，因X416,2斗417且x、y为正整数，可得x=13,y=2或

x=15,y=5；所以当x=13,y=2,球的个数为3x13+16+2x2+51=110个；当x=15,y=5,球的

个数为3x15+16+2x5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k的值，然后表示出

甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等列出二元

一次方程，求整数解即可，注意分4种情况.

13.【分析】

先将方程组的解代入方程组得到cl-al=2,c2-a2=2,再将所求方程组用加减

消元法求解即可.

【详解】

解：,方程组的解是，

cl-al=2,c2-a2=2,

可化为,

x=0

解析:

)=2

【分析】

先将方程组的解代入方程组得到ci-ai=2,c2-a2=2,再将所求方程组用加减消元法求解即

可.

【详解】

a.x+y=c,X=1

解：•.•方程组11的解是

J=2，

a2x+y=c2

q+2=q

a2+2=c2

ci-ai=2,C2-Q2=2,

i可化为彳g,

[a2x+y=c2-a2[a2x+y=2②

①-②，得（0LO2）X=0,

/.x=0,

将x=0代入①中，得y=2,

[x=0

・,.方程组的解为

[y=2

fx=O

故答案为

[y=2

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，会用加减消元法解方程组，并能灵活将方程组变形是解题

的关键.

14.8

【分析】

首先用减法消元，将两式相减，得出，再将代入第一个方程，即可求出的值.

【详解】

解：将两式相减得，

,即，

即，

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查加减消元法，解题关键是熟练

解析：8

【分析】

首先用减法消元，将两式相减，得出x=2,再将x=2代入第一个方程，即可求出x+y+z

的值.

【详解】

解：将两式相减得，

—x=-2,即x=2,

2x+y+z=x+y+z+x=x+y+z+2=10,

即x+y+z=8,

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法和整体思想的应用.

15.±4

【分析】

根据题意，结合乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到a

和b；再根据平方根的性质计算，即可得到答案.

【详解】

①②，得

•••的平方根为±4

故

解析：±4

【分析】

根据题意，结合乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到a和b；再根

据平方根的性质计算，即可得到答案.

【详解】

•••（4a-/7）2+|3a-Z?+2|=0

（4a-/?）2=0

一（\3a-b+2\=0

,J4。-6=0①

一[3a-b+2^0@

①一②，得a=2

：b=4a=8

/.ab=16

，他的平方根为±4

故答案为：±4.

【点睛】

本题考查了乘方、绝对值、二元一次方程组、平方根的知识；解题的关键是熟练掌握乘

方、绝对值、二元一次方程组、平方根的性质，从而完成求解.

16.-2

【分析】

把方程组中的两个方程相减即可得解；

【详解】

•,

①-②得：；

故答案是：.

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键.

解析：-2

【分析】

把方程组中的两个方程相减即可得解；

【详解】

,J2a+b=2①

,[a+2b=4@，

.,.①-（2）得：a—b=-2；

故答案是：-2.

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键.

17.【分析】

设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据题意：如果开

放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出

口，2小时车库恰好停满.列出方程组求得x、y,进一步

解析：§

【分析】

设1个进口1小时开进X辆车，1个出口1小时开出y辆，根据题意：如果开放2个进口

和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停

满.列出方程组求得x、y,进一步代入求得答案即可.

【详解】

解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出>辆，车位总数为4，

8(2尤一3y)=75%a

由题意得:

2(3x-2y)=75%”

解得：,

,早晨6点时的车位空置率变为60%,

3332

.•.60%a+(2x—a——〃)=——(小时)，

163215

答：从早晨6点开始经过小时车库恰好停满.

故答案为：三.

【点睛】

此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的等量关系关系，列出方程组是解决

问题的关键.

18.517

【分析】

设0有a个，1有b个,2有c个，由(1-1)2=0,(0-1)2=1,(2-1)2=1,

可得，由ml+m2+...+m2021=1530,可得，再由数字总个数为2021,即可列出

方程求

解析：517

【分析】

设0有a个，1有b个，2有c个，由(1-1)2=0,(0-1)2=1,(2-1)2=1,可得

a+c=1525,由颂+颂+...+)2021=1530,可得/?+2c=1530,再由数字总个数为2021,即可

列出方程求解.

【详解】

解：设0有a个，1有b个，2有c个，

222

---(mi-1)+(m2-l)+...+(m202i-l)=1525,

22

Vmi,m2,n?202i是从0,1,2这三个数中取值的一列数,(1-1)=0,(0-1)=1,

(2-1)2=1,

a+c=1525

/7)1+/7)2+...+m2021=1530,

:Z?+2c=1530,

a+b+c=2021

<Z?+2c=1530,

a+c=1525

a=1008

解得b=496,

c=517

故取值为2的个数为517个，

故答案为：517.

【点睛】

此题考查了三元一次方程的应用，有理数的乘方和有理数的加法运算，解题的关键在于能

够找到等量关系列出方程求解.

19.320

【分析】

设甲组分得a人，则乙组为(50-a)人，丙组为b人，则丁组为(36-b)人；

再设全部人均种树x棵，则甲组人均种x+(1+25%)=0.8x棵，乙组人均种

(0.8X-2)棵，丙、丁两

解析：320

【分析】

设甲组分得a人，则乙组为(50-a)人，丙组为b人，则丁组为(36-b)人；再设全部人

均种树x棵，则甲组人均种x+(1+25%)=0.8x棵，乙组人均种(0.8X-2)棵，丙、丁两组

人均植树2.5(0.8x-2)=(2x-5)棵，根据题意列出方程，整理后可得a=140-13x,再根据a

和x的取值范围确定a和x的值，从而得到植树的数量.

【详解】

解：设甲组分得a人，则乙组为(50-a)人，丙组为b人，则丁组为(36-b)人；再设全

部人均种树x棵，则甲组人均种x+(1+25%)=0.8x棵，乙组人均种(0.8X-2)棵，丙、丁

两组人均植树2.5(0.8x-2)=(2x-5)棵.根据题意得：

0.8xa+(0.8x-2)(50-a)+36(2x-5)=(50+36)x

整理得：13x+a=140

a=140-13x

因为x,0.8x都是正整数，可得x是5的倍数，又因为0<a<50,a是正整数，

经试算可得x=10,a=10,

所以我校学生一共植树：0.8xa+(0.8x-2)(50-a)

=0.8x10x10+(0.8x10-2)(50-10)

=320棵

故答案为320.

【点睛】

本题考查了代数式，多元一次方程，和求二元一次方程的特殊解.题中数量关系比较复

杂，难度较大.

20.3

【分析】

将m看做已知数，求出方程组的解得到x与y的值，将求出x与y的值代入方

程中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.

【详解】

解：解方程组，得，

把代入得：，

解得：，

故答案为

解析：3

【分析】

将m看做已知数，求出方程组的解得到x与y的值，将求出x与y的值代入方程无+丫=5

中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.

【详解】

4m

x=--

x+2得3

解：解方程组

x-y=m

4m

x---

把3代入尤+y=5得：号+?=5,

m33

y=一

3

解得：m=3,

故答案为：3.

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两

边相等的未知数的值.

三、解答题

21.(1)(-1,-2)；(2)①结论：直线/，x轴.证明见解析；②结论：(5-m)+Ct­

rl)=0.证明见解析

【分析】

(1)利用非负数的性质求出a,b的值，可得结论.

(2)①求出A,D的纵坐标，证明ADIIx轴，可得结论.

②判断出。(m+1,n-1),利用待定系数法，构建方程组解决问题即可.

【详解】

解：(1)|^^+3|+^/F+T=o,

又|a+3|..0,Jb+L.O，

..ci——3，b=-1j

•，-4-3,—1),

点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点C,

(2)①结论：直线轴.

理由：b=n-l,

/.A(a,n-I),

B(nn),向右平移0个单位，再向下平移1个单位得到点。，

二D(m+h,n—I),

A,。的纵坐标相同，

A£>//%轴，

直线/LAD,

二直线/_Lx轴.

②结论：(s-m)+(t-n)=O.

理由：石是直线/上一点，连接且的最小值为1,

/.r)(m+l,H-l)，点、B,。及点(取)都是关于冗，y的二元一次方程px+“y=左(04"。)的解

(%,y)为坐标的点，

++=k①

〈pm+qn=k®,

ps+qt=k®

①-②得到p-q=o,

：-p=q,

③一②得至lj,p{s-ni)+q(t-n)=O,

pqw°,

p=q^O,

(5—m)4-(?-«)=0.

【点睛】

本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌

握平移变换的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

27315

22.(1)(3,3)；(2)—；(3)(—,0)或(---,0)

222

【分析】

(1)点A既是“健康点"又是"快乐点"，则A坐标应该满足x-2y+3=0和x+y-6=0,解

K-n即可得答案；

[x+y-6=0

(2)设直线AB交y轴于0,求出B、C、。的坐标，根据SMBC=SABCD+SAACD即可求出答

案；

27

(3)设点P的坐标为("，0),根据APBC的面积等于AABC的面积，即受，列出方

程，解之即可.

【详解】

解：（1）点4既是“健康点"又是"快乐点"，则A坐标应该满足x-2y+3=0和x+y-6=0,

%—2y+3=0x=3

解

x+y-6=0行:.y=3，

.'.A的坐标为（3,3）；

故答案为：（3,3）；

（2）设直线AB交y轴于D,如图:

令y=0得x=-3,

B(-3,0),

•••CMy轴上的"快乐点”，在x+y-6=0中，令x=0得y=6,

C(0,6),

3

在x-2y+3=0中，令x=0得*],

3

D(0,—),

2

9

..CD=—,

2

•••SAABC=S^BCD+SAACD

=1-CD*|XB|+1-CD*|X/\|

19019c

=—x—x3+—x—x3

2222

27

——.

2，

(3)设点P的坐标为(n,0),

则BP=\n+3\,

•••△BPC与△ABC面积相等，

27

SABPC=；X»+3|X6

T

9

一5，

3—15

2

315

.,.点P的坐标为(二，0)或(-彳，0).

22

【点睛】

本题考查三角形面积，涉及新定义、坐标轴上点坐标特征等知识，解题的关键是理解"健康

点"、"快乐点”含义.

fl

23.(1)10.5；(2)12.5；(3)10.5,12.5,23；m+——1；30

2

【分析】

(1)画出图形，根据三角形的面积公式求解；

(2)画出图形，利用割补法求解；

(3)设$=口77+切+的其中a,b,c为常数，根据表中数据列方程组求出a,b,c,然后根

据公式即可求出六边形FGHIJK的面积.

【详解】

(1)如图LABC的底为7,高为3,所以面积为0.5x7*3=10.5,

故答案为：10.5；

(2)如图2,

5=0,5x2x3+3x2+0.5x3x1+0.5x2x2=3+6+1.5+2=12.5,

故答案为：12.5；

(3)由(1)、(2)可填表格如下：

形内格点数格点多边形面积

边界格点数n

m5

ABC61110.5

四边形ACDE81112.5

五边形ABCDE20823

设$=。0?+丽+(;,其中a,b为常数，由题意得

6a+116+c=10.5

<8a+HZ?+c=12.5,

20a+86+c=23

解得

a=l

Yl

■■皮克公式为5=777+5-1,

,:六边形FGHUK中,m=27,n=8,

Q

六边形尸GH7JK的面积为S=27+5-1=30.

【点睛】

本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

24.（1）7441不是"诚勤数"；5463是"诚勤数"；（2）满足条件的A为：2314或5005或

3250.

【分析】

（1）直接利用定义进行验证，即可得到答案；

（2）由题意，设这个四位数的十位数是a,千位数是b,则个位数为（5-a）,百位数为

（5-b）,然后根据13的倍数关系，以及"5类诚勤数”的定义，利用分类讨论的进行分

析，即可得到答案.

【详解】

解：（1）在7441中，7+4=11,4+1=5,

/11*5,

.7441不是"诚勤数"；

在5436中,

5+4=6+3=9,

5463是"诚勤数"；

（2）根据题意，设这个四位数的十位数是a,千位数是b,则个位数为（5-a）,百位数

为（5-b）,5.0<a<5,l<b<5,

这个四位数为：

10006+100（5-b）+10a+（5-a）=900b+9a+505,

900=13x693,505=13x3811,

9006+9a+505=（13x69+3）6+9a+13x38+ll

=13x（696+38）+36+9a+ll,

•••这个四位数是13的倍数，

36+9。+11必须是13的倍数；

0<a<5,1<Z?<5,

,36+9。在。=6=5时，取到最大值60,

36+9。可以为：2、15、28、41、54,

「36+9。=3（6+3。），贝!136+9。是3的倍数，

/.3b+9a=15或3b+9。=54,

/.b+3〃=5或b+3a=18；

5—/7

①当b+3a=5时，a=§,

\<b<5,且a为非负整数，

5-。=0或5-6=3,

人=5或6=2,

若人=5,贝!j。=0,

此时9006+9a+505=5005；

若b=2,贝!J。=1,

止匕时900b+9a+505=2314；