考研数学三（填空题）专项练习试卷2（共180题）

考研数学三（填空题）专项练习试卷2（共9套）（共180题）考研数学三（填空题）专项练习试卷第1套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、已知，则X=_________．标准答案：知识点解析：事件的运算性质，可得2、=___________。标准答案：3知识点解析：3、设a＞0，a≠1，且=lna，则p=________。标准答案：2知识点解析：4、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1，则a=_________．标准答案：-2知识点解析：暂无解析5、设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=2，则=_______.标准答案：知识点解析：由ex2=1+x2+o(x2)，cosx=1-+o(x2)得ex2-cosx=x2+o(x2)～x2，又∫0xf(x-t)dt∫0xf(u)(-du)=∫0xf(u)du，于是6、已知f(χ)在(0，＋∞)上可导，f(χ)＞0，f(χ)＝1，且满足，求f(χ)＝_______．标准答案：f(χ)＝知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：8、设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．标准答案：－2dx知识点解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．9、y=，则y’=__________．标准答案：知识点解析：10、设y=，则yˊ=________．标准答案：知识点解析：11、设函数y=f(x)由方程y一x=ex(1-y)确定，则标准答案：1知识点解析：当x=0时，y=1．对方程两边求导得y’一1=ex(1-y)(1—y—xy’)，将x=0，y=1代入上式，可得y’(0)=1．所以12、已知随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y2=X2-，则Y1一Y2服从_______分布，参数为_______．标准答案：正态；知识点解析：Y1一Y2=X1一X2+，所以Y1一Y2为相互独立正态变量和，且服从正态分布．13、(Ⅰ)设f(xy，)=y2(x2一1)(xy≠0)，则df｜(1，1)=_________；(Ⅱ)设二元函数z=xex+y+(x+1)In(1+y)，则dz｜(1，0)=_________．标准答案：(Ⅰ)dx—dy；(Ⅱ)2edx+(e+2)dy知识点解析：(Ⅰ)求解本题的关键是确定函数f(x，y)的解析式．令u=xy，v=一1=u2一uv，即f(x，y)=x2一xy，求一阶全微分可得df(x，y)=(2x—y)dx—xdy．在上式中令x=1，y=1即得df｜(1，1)=dx—dy．(Ⅱ)利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得dz=ex+ydx+xd(ex+y)+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)d[ln(1+y)]=ex+ydx+xex+yd(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1)=ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+，于是dz｜(1，0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．14、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_________．标准答案：知识点解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．则有由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2｜A1)+15、设y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=______．标准答案：知识点解析：由得函数y=y(x)可微且因为y(1)=1，所以C=0，于是16、设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。标准答案：18知识点解析：由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（一1）X（一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。17、设y=2e-x+exsinx为y"+py"+qy′+ry=0的特解，则该方程为___________．标准答案：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为λ1=一1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程为y"一2y"+2y=0．知识点解析：暂无解析18、微分方程y"-4y=e2x的通解为y=________．标准答案：C1e-2x+(C2+)e2x，其中C1C2为任意常数知识点解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Ae2x代入y"一4y=e2x，可解得A=．所以y"—4y=e2x的通解为C1e-2x+(C2+)e2x,其中C1，C2为任意常数．19、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，而（0≤k≤n）=________。标准答案：知识点解析：因为X1～Xi是一次伯努利试验结果，Xi相互独立。所以X1+X2+…+Xn可以看成n次独立重复试验。即20、设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，|A|＞0，则|A-E|=________．标准答案：0知识点解析：|A—E|=|A—AAT|=|A(E一AT)|=|A||(E—A)T|=|A||E—A|．由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1，又由于|A|＞0，可知|A|=1．又由于A为奇数阶矩阵，故|E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|，故有|A-E|=-|A-E|，可知|A-E|=0．考研数学三（填空题）专项练习试卷第2套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A为三阶矩阵，且|A|=4，则=________．标准答案：知识点解析：由A*=|A|A一1=4A一1得2、若当x→0时，有，则a________．标准答案：一3知识点解析：当x→0时，故a=-3．3、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析4、＝______．标准答案：extan＋C知识点解析：5、标准答案：知识点解析：6、设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.标准答案：-α/β知识点解析：暂无解析7、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=一1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=__________．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．8、设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为________．标准答案：知识点解析：A，B，C都不发生的概率为=1一P(A+B+C)，而ABCAB且P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(13C)+P(ABC)=，故A，B，C都不发生的概率为．9、=__________标准答案：知识点解析：因为对[一a，a]上连续的函数f(x)有∫—aaf(x)dx=∫0af(x)+f(—x)]dx，所以10、=________.标准答案：知识点解析：11、=____标准答案：知识点解析：12、设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=|X一a|，则E(XY)=________．标准答案：知识点解析：E(XY)=E[X|X一a)]=∫01x|x一a|f(x)dx=∫01x|x一a|dx=13、设η为非零向量，A=，为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为________．标准答案：3，k(一3，1，2)T知识点解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程组AX=0的通解为k(一3，1，2)T．14、微分方程y"一y’+=0的通解为________。标准答案：y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为λ2—λ+。因此齐次方程的通解为y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数。15、将函数展成x的幂级数为_________．标准答案：知识点解析：对已知函数从0到x求积分，有对上式两端求导，得16、微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为_______．标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为r2—2r+2=0．解得其特征根为r1,2=1±i由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex．17、标准答案：4一π．知识点解析：18、设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数f1(x，y)=______．标准答案：知识点解析：设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为F1(x，y)，则19、设X1，X2，X3是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，记U=X1+X2与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为________．标准答案：知识点解析：由(X1，X2，X3)服从三维正态分布知，X1，X2，X3的线性函数组成的二维随机变量(U，V)也服从二维正态分布，记为N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，其中μ1=EU=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0，σ12=DU=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2σ2，μ2=EV=E(X2—X3)=E(X2)一E(X3)=0，σ22=DV=D(X2一X3)=D(X2)+D(X3)=2σ2，20、矩阵的非零特征值是_________．标准答案：4知识点解析：由解得λ1=4，λ2=λ3=0，故应填4．考研数学三（填空题）专项练习试卷第3套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.标准答案：2/x知识点解析：暂无解析2、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，｜A｜＞0，则｜A－E｜=_________．标准答案：0知识点解析：｜A－E｜=｜A－AAT｜=｜A(E－AT)｜=｜A｜｜(E－A)T｜=｜A｜｜E－A｜．由于AAT=ATA=E，可知｜A｜2=1，又由于｜A｜＞0，可知｜A｜=1．又由于A为奇数阶矩阵，故｜E－A｜=｜－(A－E)｜=－｜A－E｜，故有｜A－E｜=－｜A－E｜，可知｜A－E｜=0．4、若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=标准答案：n-m知识点解析：暂无解析5、=__________.标准答案：知识点解析：6、标准答案：—4π知识点解析：7、一射手对一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________．标准答案：知识点解析：独立重复试验．至少命中一次的对立事件是四次都没有命中．四次都没有命中的概率是，所以该射手的命中率为8、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则对x＞0，fY｜X(y｜x)=_________．标准答案：知识点解析：由f(x，y)的表达式知X与Y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为由此可知，当x＞0时，由fX(x)＞0知fY｜X(y｜x)=fY(y)=9、=________．标准答案：知识点解析：10、微分方程yy"一2(y’)2=0的通解为________．标准答案：y=C知识点解析：11、若三阶实对称矩阵A的特征值是1，5，5，则秩r(5E—A)=__________．标准答案：1．知识点解析：实对称矩阵必可相似对角化，因而λ=5必有两个线性无关的特征向量，所以齐次方程组(5E一A)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量所构成，从而秩r(5E—A)=3—2=1．12、设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则标准答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)知识点解析：由题干可知，13、已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=__________．标准答案：a=0知识点解析：由A的特征多项式知矩阵A的特征值是λ=一1(三重根)，因为A只有2个线性无关的特征向量，故从而a=一1．14、点(2，1，0)到平面3x＋4y＋52＝0的距离d＝___________．标准答案：知识点解析：暂无解析15、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为________。标准答案：y=tan[（1+x）2+C，C为任意常数知识点解析：将已知微分方程变形整理得，16、三阶常系数线性齐次微分方程y"’一2y"+y’一2y=0的通解为y=________。标准答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx，C1，C2，C3为任意常数知识点解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinxC1，C2，C3为任意常数。17、设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=____________．标准答案：6知识点解析：暂无解析18、设n阶实对称矩阵A满足条件A2+6A+8E=O，且A+tE是正定矩阵，则t的取值范围为_______．标准答案：t>4知识点解析：暂无解析19、设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是__________。标准答案：a<0知识点解析：BT=(一aE+ATA)T=一aE+ATA=B，故B是一个对称矩阵。B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT(一aE+ATA)x=一axTx+xTATAx=一axTx+(Ax)TAx>0，其中(Ax)T(Ax)≥0，xTx>0，因此a的取值范围是一a>0，即a<0。20、设离散型随机变量X的分布律为P{X=i}=pi+1，i=0，1，则p=____________。标准答案：知识点解析：由于P{X=0}+P{X=1}=P+P2=1，所以P2+P一1=0，解得p=考研数学三（填空题）专项练习试卷第4套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=________．标准答案：2知识点解析：=|2A一1|=23|A一1|=2．2、设f(x)连续，且F(x)==__________标准答案：a2f(a)知识点解析：3、已知A2－2A+E=O，则(A+E)－1=_________．标准答案：(3E－A)知识点解析：A2－2A+E=O，(A+E)(A－3E)=－4E，(A+E)－1=(3E－A)．4、设A是3阶矩阵，已知｜A+E｜=0，｜A+2E｜=0，｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜=_________．标准答案：6知识点解析：由｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，知A有特征值λ=－1，－2，－3，A+4E有特征值λ=3，2，1，故｜A+4E｜=6．5、设标准答案：知识点解析：6、函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．标准答案：一2n(n一1)!知识点解析：将ln(1+t)按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=一2x代入第n项可得比较系数可得y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数为y(n)(0)=一2n(n一1)!(n=1，2，3，…)7、设fˊ(ex)=1+x，则f(x)=_________．标准答案：xlnx+C，其中C为任意常数知识点解析：设u=ex，则x=lnu，由fˊ(ex)=1+x，得fˊ(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+1nu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+C．8、D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则标准答案：知识点解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为9、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=______。标准答案：8π知识点解析：由t－ln(1+t)=由积分中值定理得f(x，y)dxdy=f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，于是2πf(0，0)=8π．10、设曲线y=f(x)与y=在原点处有相同切线，则=_________．标准答案：2知识点解析：由已知条件知f(0)0，fˊ(0)==1，故得11、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，而(0≤k≤n)标准答案：知识点解析：因为．Xi是一次伯努利试验结果，Xi相互独立．所以X1+X2+…+Xn可以看成n次独立重复试验．即所以12、设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z==__________．标准答案：知识点解析：13、设离散型随机变量X的分布函数则随机变量的分布函数为__________．标准答案：知识点解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量x与｜X｜的概率分布分别为14、微分方程y"一2y’+2y=ex的通解为________。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex，C1，C2为任意常数知识点解析：对应的特征方程为r2—2r+2=0，解得其特征根为r1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。15、(x2+xy一x)dxdy=__________，其中D由直线y=x，y=2x及x=1围成．标准答案：知识点解析：16、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为__________．标准答案：(±x+C)｜cosx｜知识点解析：通解为．17、任意一个三维向量都可以由α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表示，则a的取值为__________。标准答案：a≠3知识点解析：任意一个三维向量都可以用α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表示，则α1，α2，α3必线性无关。又α1，α2，α3为3个三维向量，故可考虑其行列式，即|α1，α2，α3|==2(a一3)≠0即a≠3。18、微分方程yˊˊ=的通解为_________．标准答案：y=xln(x++C1x+C2，其中C1，C2为任意常数知识点解析：由yˊˊ=积分一次得yˊ=ln(x+)+C1，再积分得19、若A-1=，则(3A)*=_______．标准答案：知识点解析：因为(kA)*=kn-1A*，故(3A)*=32A*，又A*=｜A｜A-1，而从而(3A)*=9A*=20、设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数f1(x，y)=______．标准答案：知识点解析：设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为F1(x，y)，则考研数学三（填空题）专项练习试卷第5套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A=，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=___________.标准答案：2E知识点解析：虽可以南A先求出(E+A)-1，再作矩阵乘法求出B，最后通过求逆得到(E+B)-1．但这种方法计算量太大．若用单位矩阵恒等变形的技巧，我们有B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1[(E-A)+(E十A)]=2(E+A)-1，(E+B)-1=[2(E+A)-1]-12、设A为三阶矩阵，且|A|=4，则=________．标准答案：知识点解析：由A*=|A|A一1=4A一1得3、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)：1，则f"’(2)=_________.标准答案：2e3知识点解析：暂无解析4、设二维随机变量(X，Y)在xOy平面上由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域上服从均匀分布，则标准答案：知识点解析：由直线y=x与曲线y=x2所围成的区域面积为A=∫01(x一x2)dx=所以(X，Y)的概率密度函数为5、设总体X的密度函数f(x)=，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则；ES2=________．标准答案：知识点解析：由于，ES2=DX，由题设有EX=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－11x｜x｜dx=0．DX=EX2－(EX)2=∫－∞＋∞x2f(x)dx=∫－11x2｜x｜dx=2∫01x3dx=，所以．6、差分方程2yt+1+10yt一5t=0的通解为_________．标准答案：y=．知识点解析：yt+1+5yt=t．对应的齐次差分方程为tt+1+5yt=0，则其通解为=c(—5)t，其中c为任意常数．因为非齐次项f(t)=t是t的一次多项式，且a=5(≠一1)，故设原差分方程的特解为yt*=At+B，代入到原差分方程中，．7、一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为(k=1，2，3)，以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=________．标准答案：知识点解析：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，8、若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_______标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以βαTβ=β(αTβ)=2×β，故βαT的非零特征值为2．9、＝______．标准答案：ln3知识点解析：10、设，则a＝______．标准答案：ln2知识点解析：11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、设在3次独立试验中，事件A出现的概率均相等且A至少出现一次的概率为，则在1次试验中，A出现的概率为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析13、在x=—1处的泰勒展开式为_________。标准答案：（—1）n（x+1）n，（—2＜x＜0）知识点解析：14、=__________．标准答案：知识点解析：15、设A=（α1，α2，α3）是三阶矩阵，且|A|=4。若B=（α1—3α2+2α3，α2—2α3，2α2+α3），则|B|=________。标准答案：20知识点解析：利用行列式的性质|B|=|α1一3α2+2α3，α2一2α3，5α3|=5|α1一3α2+2α3，α2一2α3，α3|=5|α1一3α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=5|A|=20。16、∫01dy∫0y2ycos(1一x)2dx=________．标准答案：知识点解析：17、设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=_________．标准答案：63知识点解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=6318、特征根为r1=0，r2,3=±i的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_________．标准答案：yˊˊˊ－yˊˊ+yˊ=0知识点解析：特征方程为即r3－r2+r=0．其相应的微分方程即所答方程．19、设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+αα2，且B为A的逆矩阵，则a=________．标准答案：-1知识点解析：由AB=(E-ααT)(E+-ααT)=E+ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠O，得-1-2a=0，解得a=-1．20、设随机变量X和Y均服从且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=_____．标准答案：1知识点解析：由题设DX=DY=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=+2Coy(X，Y)=1，于是有考研数学三（填空题）专项练习试卷第6套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设在点x=0处连续，则a=_______，b=________．标准答案：1，-1知识点解析：因为f(x)在x=0连续，所以f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，故a=1，b=-1．2、=__________．标准答案：0知识点解析：3、若α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式丨α1，α2，α3，β1丨=m，丨α1，α2，β2，α3丨=n，则4阶行列式丨α3，α2，α1，β1+β2丨=__________.标准答案：n-m知识点解析：利用行列式的性质，有丨α3，α2，α1，β1+β2丨=丨α3，α2，α1，β1丨+丨α3，α2，α1，β2丨=-丨α1，α2，α3，β1丨-丨α1，α2，α3，β2丨=-m+丨α1，α2，β2,α3丨=n-m4、设X为总体，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2＝，则E(S2)＝______．标准答案：σ2知识点解析：5、设f"(x0)=2，则标准答案：1知识点解析：6、已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。标准答案：知识点解析：f(x)=，故X～N(一1，2)，所以7、＝_______．标准答案：(1－e-4)知识点解析：暂无解析8、曲线2x2一xy+4y2=1的名称是________。标准答案：椭圆知识点解析：二次型2x2一xy+4y2的矩阵是正定的。用旋转变换(适当的正交变换)可化曲线方程为标准方程λ1x’2+λ2y’2一1(其中λ1，λ2为A的特征值，均为正数)，故曲线为椭圆。9、设f(x)=(x一1)dx=__________。。标准答案：一知识点解析：令x一l=t，则10、∫0xsin2xtdt=______．标准答案：知识点解析：由∫01sin2xtdt=∫01sin2xtd(xt)=得11、∫xln(1+x2)dx=_____．标准答案：(1+x2)ln(1+x2)-x2+C知识点解析：xln(1+x2)dx=∫ln(1+x2)d(x2)=x2ln(1+x2)-dx=x2ln(1+x2)-∫(x-)dx=(1+x2)ln(1+x2)-x2+C．12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、∫02dy∫y2x2ex2dx=_________．标准答案：知识点解析：改变积分次序得∫02dy∫y2x2ex2dx=∫02x2ex2dx∫0xdy=∫02x3ex2dx=∫02x2ex2d(x3)∫04tetdt=(t-1)et｜=14、设A=，则A-1=______．标准答案：知识点解析：设A1=，A2=，于是A-1=而A-1=，A-1=，故A-1=15、设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈_______．标准答案：知识点解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1-t2＞0，△3=｜A｜=-5t2-4t＞0，所以t∈16、设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一2)，则f’(0)=_______，f(n+1)(x)=_______．标准答案：(一1)nn!，(n+1)!知识点解析：暂无解析17、设随机变量X的概率密度为若k使得P(X≥k)=2／3，则k的取值范围是__________．标准答案：1≤k≤3知识点解析：解一由P(X≥k)=1－P(X＜k)=2／3得到P(X＜k)=1／3．这样就与分布函数完全对应起来了．再利用概率密度f(x)的定义就可算出有关结果．当k＜1时，当1≤k≤3时，当3＜k≤6时，于是欲使P(X≥k)=2／3，即使P(X＜k)=1／3，k的取值范围为[1，3]．解二作出f(x)的图形，如图3．2．4．1所示．因概率P(X≥k)在几何意义上表示x≥k时f(x)与x轴所围成的面积，而当1≤k≤3时，概率密度曲线与X轴围成的面积为即P(X≥k)=2／3，故1≤k≤3．18、设A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，且A相似于B，A的特征值为1，2，3．则B的伴随矩阵B*的迹trB*=___________．标准答案：11知识点解析：由于A相似于B，所以B的特征值为1，2，3．从而|B|=1×2×3=6，于是得B*的特征值为故trB*=6+3+2=11．故应填11．19、设u＝u(x，y)二阶连续可偏导，且＝，若u(x,3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，则u”xy(x，3x)＝_____________．标准答案：知识点解析：u(x，3x)＝x两边对x求导，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再对x求导，得u”xx(x，3x)＋6u”xy(x，3x)＋9u”yy(x，3x)＝0．由，得10u”xx(x，3x)＋6u”xy(x，3x)＝0，u’x(x，3x)＝x3两边对x求导，得u”xx(x，3x)＋3u”xy(x，3x)＝3x2，解得u”xy(x，3x)＝．20、微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解为＝_____________．标准答案：lnx＋C知识点解析：xy’＝＋y，令＝u＝u＋x，所以xarcsinu＝lnx＋Carcsin＝lnx＋C(C为任意常数)．考研数学三（填空题）专项练习试卷第7套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、当x→0时，3x－4sinx＋sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n＝______．标准答案：5知识点解析：2、当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．标准答案：-8知识点解析：暂无解析3、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________标准答案：2知识点解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．4、设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是_________．标准答案：0(n－1重根)，n(单根)知识点解析：故λ=0(n－1重特征值)，λ=n(单根)．5、函数y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数y（n）（0）=________。标准答案：—2n（n—1）!知识点解析：将ln（1+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=—2x代入第n项可得比较系数可得y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数为y（n）（0）=一2n（n—1）!。6、设f(x)为偶函数，且f’(一1)=2，则=__________．标准答案：—8知识点解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)=一2，7、已知(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=～______。标准答案：F(1，1)知识点解析：根据题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，22)，Y～N(1，32)，X与Y的相关系数ρ=0，所以X与Y独立，N(0，1)，根据F分布典型模式知8、广义积分=__________。标准答案：知识点解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。9、函数在区间上的平均值为_____________．标准答案：1undefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined知识点解析：【分析一】由于[*]于是[*]从而[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．【分析二】由于[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．【分析三】[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．10、标准答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数知识点解析：11、一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为(k=1，2，3)，以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=________．标准答案：知识点解析：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，12、已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是_________标准答案：2，2，2知识点解析：因为如果矩阵A有n个不同的特征值，则对应的n个特征向量是线性无关的．已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量．由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知1+2+3=3λ，进一步可知λ1=λ2=λ3=2．13、设f(x)＝D为xOy面，则f(y)f(x＋y)dxdy＝______．标准答案：知识点解析：在D1{(x，y)｜－∞＜x＜＋∞，0≤y≤1)上，f(y)＝y；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，则在D0＝D1D2＝{(x，y)｜－y≤x≤1－y，0≤y≤1}上，f(y)f(x＋y)＝y(x＋y)，所以f(y)f(x＋y)dxdy＝∫01dy∫－y1－yy(x＋y)dx＝．14、行列式标准答案：120知识点解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10（2—1）（3—1）（4—1）（3—2）（4—2）（4—3）=120。15、幂级数的收敛域为_________．标准答案：(-2，2)知识点解析：令x-2=t，对级数，所以收敛半径为R=2，当t=±2时，的收敛域为(-2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．16、设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1=1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=________．标准答案：18知识点解析：由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=一2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1=1，λ2=一1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=一1，1+2×(-2)=-3，从而E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18．17、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置矩阵，则矩阵βαT的非零特征值为__________．标准答案：2知识点解析：因A=βαT的秩为1，由命题2．5．1．8知，A非零的特征值为αTβ=2．注：命题2．5．1．8设α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，A=αβT，则秩(A)=秩(αβT)=1，A的n个特征值为18、设则行列式第1列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=___________．标准答案：0知识点解析：根据行列式按1行(列)展开定理得19、设随机变量X的概率密度为以Y表示对X独立的三次观察中事件出现的次数，则P{Y=2}=_________标准答案：知识点解析：由已知，Y服从二项分布B(3，p)，故20、设y＝y(x)由yexy＋xcosx－1＝0确定，则＝_____________．标准答案：－2dx知识点解析：当x＝0时，y＝1，将yexy＋xcosx－1＝0两边对x求导得exy＋yexy(y＋x)＋cosx－xsinx＝0，将x＝0，y＝1代入上式得＝－2，故dy｜x＝0＝－2dx．考研数学三（填空题）专项练习试卷第8套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f(x)==_________．标准答案：1．知识点解析：2、设f(x)二阶连续可导，且f(0)＝1，f(2)＝3，f’(2)＝5，则∫01xf"(2x)dx＝______．标准答案：2知识点解析：3、设A=，则(A*)－1=_________．标准答案：知识点解析：4、已知方程组无解，则a=_______．标准答案：－1．知识点解析：可见，Ax=b无解a=－1．5、随机变量X在上服从均匀分布，令Y=sinX，则随机变量Y的概率密度函数fY(y)=________．标准答案：知识点解析：首先求出Y的分布函数FY(y)．由于X在上服从均匀分布，因此X的概率密度函数fX(x)与分布函数FX(x)分别为FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}．当一1＜y＜1时，FY(y)=P{X≤arcsiny}=FX(arcsiny)=当y≤一1时，FY(y)=0；当y≥1时，FY(y)=1．因此Y的概率密度函数fY(y)为6、设函数f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又记φ(x)=f{x，f[x，f(x，x)]}，则φ1(1)=_____________________。标准答案：a(1+b+b2)+b3知识点解析：由题设f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’x(1，1)=b。又φ’(x)=f’x{x，f[x，f(x，x)]}+f’y{x，f[x，f(x，x)]}﹒{f’x{x，f[x，f(x，x)]+f’y{x，f[x，f(x，x)][f’x{x，f[x，f(x，x)]+f’y{x，f[x，f(x，x)]}，所以φ’(1)=f’x(1，1)+f’y(1，1){f’x(1，1)+f’y(1，1)[f’x(1，1)+f’y(1，1)}=a+b[a+b(a+b)]=a(1+b+b2)+b3。7、设f（x）=则f（x）的极值为________，f（x）的拐点坐标为________。标准答案：知识点解析：对f（x）求导，并令f’（x）=．2x=0，得x=0，且当x＜0时，f’（x）＜0；当x＞0时，f’（x）＞0，所以极小值点为x=0，极小值为f（0）=0。又因f"（x）=（1—4x4）=0，可得x=8、曲线的凹区间是________．标准答案：(0，+∞)知识点解析：当x＞0时，y"＞0，曲线是凹的；当x＜0时，y"＜0，曲线是凸的．9、设y=y(x)由方程y=1+xexy，确定，则dy｜x=0=______，y’’｜x=0=______．标准答案：exydx+xexy(ydx+xdy)，2知识点解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(x+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．10、已知∫f’(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=________.标准答案：知识点解析：对等式∫f’(x3)dx=x3+C两边求导，得f’(x3)=3x2．11、=________．标准答案：知识点解析：12、若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c(a，b，c均为常数)在点(一2，3)处取得极小值一3，则abc=______．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(一2，3)处，zx’=0，zy’=0，又z(-2，3)=一3，从而可求出a，b，c分别为一1，一6，5，故abc=30．13、函数f(x，y，z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________．标准答案：一4知识点解析：由拉格朗日乘数法即得．14、标准答案：知识点解析：15、级数的和为_________．标准答案：知识点解析：因级数为等比级数，其公比q满足｜q｜==1．故收敛且和为16、函数f(x)=cosx展开成(x+)的幂级数为_________．标准答案：，－∞＜x＜+∞知识点解析：f(x)=cosx=因cosx=，－∞＜x＜+∞，sinx=，－∞＜x＜+∞．有f(x)17、与α1=（1，2，3，一1）T，α2=（0，1，1，2）T，α3=（2，1，3，0）T都正交的单位向量是________。标准答案：知识点解析：设β=（x1，x2，x3，x4）T与α1，α2，α3均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是（一1，一1，1，0）T，将这个向量单位化得（1，1，一1，0）T，即为所求向量。18、已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=________。标准答案：—1知识点解析：A的特征多项式为所以矩阵A的特征值是—1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故r（—E—A）=1，因此a=—1。19、微分方程y"-4y=e2x的通解为y=________．标准答案：C1e-2x+(C2+)e2x，其中C1C2为任意常数知识点解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Ae2x代入y"一4y=e2x，可解得A=．所以y"—4y=e2x的通解为C1e-2x+(C2+)e2x,其中C1，C2为任意常数．20、设每次射击命中概率为0．3，连续进行4次射击，如果4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2次，则目标被摧毁的概率分别为0．4与0．6；如果击中2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率p=________。标准答案：0．4071知识点解析：设事件Ak=“射击4次命中k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据4重伯努利试验概型公式，可知P（Ai）=C4i0．3i0．74—i，i=0，1，2，3，4，则P（A0）=0．74=0．2401，P（A1）=0．4116，P（A2）=0．2646，P（A3）=0．0756，P（A4）=0．0081。由于A0，A1，A2，A3，A4是一完备事件组，且根据题意得P（B|A0）=0，P（B|A1）=0．4，P（B|A2）=0．6，P（B|A3）=P（B|A4）=1。应用全概率公式，有P（B）=P（Ai）P（B|Ai）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）+P（A4）=0．4071。考研数学三（填空题）专项练习试卷第9套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n的收敛域为______.标准答案：(1,5]知识点解析：暂无解析2、函数f(x)=的连续区间是______．标准答案：(-∞，1)∪(1，+∞)．知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．3、设y=aretanx，则y(4)(0)=________