3第三章(14)：钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算3.6

第3章混凝土结构设计原理第3章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力第3章混凝土结构设计原理本章重点了解配筋率对受弯构件破坏特征的影响和适筋受弯构件在各个阶段的受力特点；

掌握建筑工程中单筋矩形截面、双筋矩形截面和T形截面承载力的计算方法；

熟悉受弯构件正截面的构造要求。第3

章混凝土结构设计原理§3.1概述3.1.1受弯构件的类型

梁和板:截面上有弯矩和剪力，轴力可以忽略不计。

梁：h大于b；板：h远小于b第3章混凝土结构设计原理3.1.2受弯构件的主要破坏形态正截面破坏：当受弯构件沿弯矩最大的截面破坏时，破坏截面与构件轴线垂直。斜截面破坏：当受弯构件沿剪力最大或剪力和弯矩都较大的截面破坏时，破坏截面与构件轴线斜交。弯矩图剪力图第3章混凝土结构设计原理

正截面受弯承载力的计算目的：确定纵向钢筋；斜截面受剪承载力的计算目的：确定箍筋或弯起钢筋（第四章）。⑴纵筋：承受拉力或压力；⑵架立筋：承受压力、固定箍筋；⑶箍筋：承受剪力、形成骨架；⑷弯起钢筋：承受拉力和剪力。受弯构建钢筋种类：受力钢筋和构造钢筋。受力筋由承载力计算确定；构造钢筋是考虑在计算中未考虑到的影响（如温度，混凝土收缩应力等）以及施工中必须设置的钢筋。第3章混凝土结构设计原理板的配筋：分布钢筋作用：将荷载均匀地传递给受力钢筋；抵抗因混凝土收缩及温度变形；固定受力钢筋的设计位置。第3

章混凝土结构设计原理3.2.1适筋梁的正截面受力特性受弯构件正截面的受力特性

§3.2第3章混凝土结构设计原理第Ⅰ阶段:截面开裂前的未裂阶段

应力与应变成正比，截面的应力成直线。受拉区混凝土出现塑性变形，应力图形呈曲线。受拉区边缘的混凝土可达实际的抗拉强度和极限拉应变值εtu0，截面遂处于即将开裂状态，用Ia表示。

阶段Ia——

抗裂计算依据；第

3章混凝土结构设计原理第Ⅱ阶段：带裂缝工作阶段截面上应力发生重分布，钢筋的拉应力突然增大，受压区混凝土出现明显的塑性变形，应力图形呈曲线。当荷载增加到某一数值时，受拉区纵向受力钢筋开始屈服，应力达到屈服强度fy时，用Ⅱa表示。

阶段IIa——变形、裂缝宽度计算依据；第3章混凝土结构设计原理第Ⅲ阶段：破坏阶段截面的承载力无明显增加，但塑性变形极速发展，裂缝迅速开展，并向受压区延伸，混凝土压应力迅速增大。在荷载几乎保持不变的情况下，裂缝进一步开展，受压区混凝土出现纵向裂缝，混凝土被完全压碎，截面发生破坏，用Ⅲa表示。破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终结于受压区混凝土压碎。

阶段IIIa——承载力计算依据。中和轴不断上移，受压区混凝土面积不断减小。第3章混凝土结构设计原理3.2.2配筋率对正截面破坏形式的影响

bho——截面有效面积；as——从受拉区边缘至纵向受力钢筋重心的距离。

ρ＝As/bho(3-1)As——受拉钢筋截面面积。h0＝h－as

ho——截面有效高度；第4

章混凝土结构设计原理cc--混凝土保护层厚度：纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离。as

＝c+d/2

作用：（1）保护纵向钢筋不被锈蚀；（2）在火灾等情况下，使钢筋的温度上升缓慢；（3）使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结。一：室内正常环境。二a：室内潮湿环境、露天环境及无侵蚀性水或土壤环境；二b：严寒和寒冷地区的露天环境及与无侵蚀性水或土壤直接接触的环境；三：使用除冰盐环境、严寒和寒冷地区冬季水位变动环境、滨海室外环境。第4

章混凝土结构设计原理cd--钢筋直径,（12、14、16、18、20、22、25、28)mm。as

＝c+d/2

室内正常环境中，板和梁的保护层厚度：（P36表3-4）梁：

≤C20时，c=30mm≥

C25时，c=25mm

梁内一排钢筋时as=35~40mm；梁内两排钢筋时as=50~60mm；第4章混凝土结构设计原理hh0cas=20mm。板：

≤C20时，c=20mm≥

C25时，c=15mmas

＝c+d/2

h0＝h－20

梁正截面的三种破坏形态（c）超筋梁（ρmin≤ρ≤ρb

）有一定的承载力，受拉钢筋先屈服，混凝土后压碎，有预兆(ρ＜ρmin)承载力很小，一裂即断，没有预兆，脆性，应避免。（ρ＞ρb）受压混凝土突然被压碎，受拉钢筋不屈服，脆性，应避免。（a）少筋梁；（b）适筋梁；设计中要避免发生少筋破坏和超筋破坏。第4章混凝土结构设计原理作业：P113思考题1、6第3

章混凝土结构设计原理§3.3受弯构件正截面承载力计算3.3.1基本假设1.平截面假定：定义：截面上任意一点的应变与该点到中和轴的距离成正比，即截面上的应变为直线分布。平截面假定是建立承载力计算公式的依据。

对具有明显屈服点的热轧钢筋，假定它为理想的弹塑性材料。2.钢筋的本构关系第3章混凝土结构设计原理3.混凝土的本构关系。4.不考虑受拉区混凝土的作用。第3

章混凝土结构设计原理3.3.2单筋矩形截面正截面承载力计算单筋：只在受拉区配有受力钢筋。受压区配有架立钢筋的截面不属于双筋截面。箍筋架立纵筋第3

章混凝土结构设计原理双筋：不但在受拉区，而且在受压区同时配有受力钢筋。架立钢筋和受力钢筋的区别：架立钢筋根据构造要求设置，通常直径较细，根数较少；而受力钢筋则根据计算设置，直径较粗，根数较多。第3章混凝土结构设计原理3.3.2计算简图等效：指两个图形不但压应力合力的大小相等，而且合力的作用位置完全相同。x=β1x0C——受压区合力；T——受拉区合力第3章混凝土结构设计原理α1ƒcbx＝ƒyAs

（3-2）M≤Mu＝α1ƒcbx(h0－x/2)（3-3a）

或M≤Mu＝ƒyAs(h0－x/2)(3-3b)第3章混凝土结构设计原理α1ƒcbx＝ƒyAs

M≤Mu＝α1ƒcbx(h0－x/2)

或M≤Mu＝ƒyAs(h0－x/2)ƒc——混凝土轴心抗压强度设计值；P172附表1

b——截面宽度；x——混凝土受压区高度；α1——系数，取值同前所述；

ƒy——钢筋抗拉强度设计值；P173附表3

As——纵向受拉钢筋截面面积；

ho——截面有效高度；Mu——截面破坏时的极限弯矩；M

——作用在截面上的弯矩设计值。

第3章混凝土结构设计原理由α1ƒcbx＝ƒyAs可得x＝ƒyAs/α1ƒcb

(3-4)令ξ=x/h0；则有ξ=x/h0＝ƒyAs/α1ƒcbh0=ρƒy/α1ƒc

(3-5)可得ρ=ξα1ƒc

/ƒy

(3-6)ξ——相对受压区高度（/

ksi/

）；

第3章混凝土结构设计原理基本公式适用条件ρmin——最小配筋率，按腹板全截面计算，此值取0.2%和

45ƒt/ƒy%中的较大值;见表3-6。（1）为了防止少筋，要求：（2）为了防止超筋，要求：

ξ≤0.85ξb(3-8)或x≤0.85ξbho(3-9)或

ρ≤ρmax=0.85ξbα1ƒc/ƒy(3-10)As≥As,min=ρminbh（3-7）

ξb——相对界限受压区高度，是适筋构件与超筋构件相对界限受压区高度的界限值。与ξb对应的最大配筋率第3

章混凝土结构设计原理

当混凝土的强度等级≤C50

时：用HPB300钢筋时——ξb=0.576

用HRB335钢筋时——ξb=0.550

用HRB400或RRB400钢筋时——ξb=0.518第3章混凝土结构设计原理（1）截面设计1已知：弯矩设计值M，截面尺寸b，h(h0)、材料强度fy、fc求：截面配筋As。基本公式：3.3.4基本公式的应用

α1ƒcbx＝ƒyAs

（3-2）M≤α1ƒcbx(h0－x/2)（3-3a）

或M≤ƒyAs(h0－x/2)(3-3b)未知数：受压区高度x、As；解题思路：（1）由公式（3-3a）求解x，并验算是否超筋；（2）若满足则将X带入（3-2）求解As:第3章混凝土结构设计原理

梁内一排钢筋时，as=35~40mm；梁内两排钢筋时as=50~60mm；第3章混凝土结构设计原理P31

例题3-1（P45）第3章混凝土结构设计原理作业：P115计算题1,2,3第3章混凝土结构设计原理

梁内一排钢筋时，as=35~40mm；梁内两排钢筋时as=50~60mm；

例题3-3（P47）第3章混凝土结构设计原理★截面设计（2）已知：弯矩设计值M求：截面尺寸b，h(h0)、以及材料强度fy、fc，截面配筋As未知数：受压区高度x、As、b，h(h0)、fy、fc基本公式：α1ƒcbx＝ƒyAs

（3-2）M≤α1ƒcbx(h0－x/2)（3-3a）

或M≤ƒyAs(h0－x/2)(3-3b)第3

章混凝土结构设计原理◆材料选用：

●

适筋梁的Mu主要取决于fyAs，因此受弯构件的fc

不宜较高。

现浇梁板：常用C15~C25级混凝土预制梁板：常用C20~C30级混凝土●另一方面，受弯构件是带裂缝工作的，由于裂缝宽度和挠度变形的限制，高强钢筋的强度也不能得到充分利用。

梁常用Ⅱ~Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ~Ⅱ级钢筋。第3

章混凝土结构设计原理

矩形截面梁和T形梁高度一般为250mm，300mm，350mm…，750mm，800mm，900mm…为了统一模板尺寸和便于施工，当梁高h

≤800mm时，以50mm为模数递增；当h

＞

800mm时，以100mm为模数递增。◆梁截面尺寸的确定

梁的截面尺寸与梁的跨度相关，梁的最小高度按表3-1取用。第3

章混凝土结构设计原理矩形截面梁的高宽比—般取2-3.5；T形截面梁的高宽比—般取2.5~4.0。矩形截面的宽度或T形截面的梁肋宽b

一般取100mm，120mm，150mm(180mm)，200mm(220mm)，250mm，300mm，350mm，…，300mm以上每级级差为50mm。◆宽度尺寸确定第3章混凝土结构设计原理板的宽度一般较大，计算时取单位宽度（b=1000mm）进行计算；厚度应满足①单跨简支板的最小厚度不小于l0/35;②多跨连续板的最小厚度不小于l0/40

；③悬臂板的最小厚度（指的是悬臂板的根部厚度）不小于l0/12。同时，应满足表3-3的规定，并以10mm为模数。板的截面尺寸确定第3章混凝土结构设计原理没有唯一解设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用要求等因素综合分析，确定较为经济合理的设计。选定材料强度fy、fc，截面尺寸b、h(h0)后，未知数就只有x，As，基本公式可解。若超筋则增加截面尺寸或fc第4

章混凝土结构设计原理给定M时

●截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少，r

越小，但混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度；

●反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大，r

增大。经济配筋率梁：（0.6~1.5）%板：（0.4~0.8）%衡量截面尺寸是否合理的标准是：实际配筋率是否处于常用配筋率范围内。第4

章混凝土结构设计原理简支梁计算跨度为l0=6m，弯矩M=151.65kN·m,环境类别为一类，设计截面？（1）确定截面尺寸：h=（l0/8~l0/14）=（750~430）mm表3-1可知：h≥l0/12=6/12=0.5m=500mm,取h=500mm。h/b=(2-3.5),取b=200mm.故梁的截面尺寸为200mm×500mm；（2）选用材料：混凝土的强度等级选用C30，钢筋选用HRB335钢筋。第3

章混凝土结构设计原理◆材料选用：适筋梁的Mu主要取决于fyAs，因此受弯构件的fc

不宜较高。

现浇梁板：常用C15~C25级混凝土预制梁板：常用C20~C30级混凝土另一方面，受弯构件是带裂缝工作的，由于裂缝宽度和挠度变形的限制，高强钢筋的强度也不能得到充分利用。

梁常用Ⅱ~Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ~Ⅱ级钢筋。第4

章混凝土结构设计原理（2）承载能力校核问题已知：最大设计值M,截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度

fy、fc求：截面的受弯承载力Mu>M？未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu基本公式：α1ƒcbx＝ƒyAs

（3-2）M≤Mu=α1ƒcbx(h0－x/2)（3-3a）

或M≤Mu=(h0－x/2)(3-3b)第4

章混凝土结构设计原理

例题3-2（P46）

作业：P115计算题4第3

章混凝土结构设计原理

作业：P115计算题4第3

章混凝土结构设计原理将x=ξh0

代入式（3-3a）可写成：αs——

截面抵抗弯矩系数Mu=α1ƒcbx(h0－x/2)=α1ƒcbh02ξ(1－0.5ξ)令αs=ξ(1－0.5ξ)则M=αs·α1ƒcbh02

同理，由式〔3-3b〕可得

Mu＝ƒy

As(h0－x/2)＝ƒyAsh0(1－0.5ξ)〔3-2〕可改写为：第4章混凝土结构设计原理3.4双筋矩形截面正截面承载力1．适用情况双筋截面不经济，尽量少用。(1)当按单筋截面设计时，出现

ξ>0.85ξb时，说明截面尺寸偏小或混凝土强度等级偏低，解决办法：

①加大截面尺寸；②提高混凝土强度等级但在某些情况下，梁截面尺寸受到限制不能加大，混凝土强度等级不能提高；(2)在不同荷载组合下，梁截面承受异号弯距；(3)受压区由于某种原因已布置受力钢筋时候。第4

章混凝土结构设计原理2．计算公式及使用条件…3－11…3－12

受压钢筋一排布置时，一般取a′s=35mm；第4

章混凝土结构设计原理公式的适用条件(1)为防止超筋梁破坏，应满足

ξ≤0.85ξb或x≤0.85ξbh0

(2)为保证受压钢筋的强度充分利用，应满足

x≥2a's

当x＜2a′s时，说明受压钢筋A's的应力达不到抗压强度f'y，应取x＝2a′s进行计算：

(3)对于双筋截面梁，配筋率>最小配筋率，可不必验算。第4

章混凝土结构设计原理3．计算公式的应用（1）截面设计

1）已知：b×h

、α1ƒc、ƒy、ƒ'y、M;求：As和A's。未知数：x，As和A's

为使钢筋总用量（A's+As）最小，此时取x=0.85ξbh0第3

章混凝土结构设计原理(3)将x=0.85ξbh0代入公式（3-12）可得：

(4)将x=0.85ξbh0代入公式（3-11）可得：

计算步骤如下：(1)取定as,计算h0=h-as；(2)验算是否采用双筋矩形截面，即是否满足M>Mu=0.85α1ƒcbξbh02(1-0.85ξb/2)？若满足则按双筋梁设计；否则按单筋截面设计。(5)配筋画图。

例题3-5第4章混凝土结构设计原理作业：P114计算题5（1）第4

章混凝土结构设计原理2）已知：b×h

、α1ƒc、ƒy、ƒy'、M、A's，求As。第4

章混凝土结构设计原理例题3-6第4章混凝土结构设计原理作业：P114计算题5（2）第4

章混凝土结构设计原理第4

章混凝土结构设计原理2.截面复核已知：b×h

、α1ƒc、ƒy、ƒ'y、M、As和A's;求Mu≥M?②若x≤0.85ξbho，且x≥2a's，则将x值代入第二个基本公式求Mu；①求x，第4

章混凝土结构设计原理Mu=0.85α1ƒcbξbh02(1－0.85ξb/2)例题3-7第4章混凝土结构设计原理P114计算题6第3

章混凝土结构设计原理3.5T形截面正截面承载力

1.T形截面的形成：

(1)受弯构件破坏时，拉区混凝土大部分开裂退出工作；

(2)在承载力计算中未考虑拉区混凝土的作用。因此，可将受拉区混凝土挖去，形成“T”形截面。优点：减轻构建自重、节约材料。（bf′－b）×hf′部分称为挑出翼缘，翼缘宽度为bf′，厚度为hf′。第3

章混凝土结构设计原理

2.T形截面梁的翼缘计算宽度试验和理论分析均表明：荷载作用下，受压翼缘上的压应力不是均匀分布的，靠近梁肋处的压应力较高，离梁肋越远压应力越小。翼缘计算宽度bf′取下表所列各项中的最小值。第4章混凝土结构设计原理第4

章混凝土结构设计原理

3．两类T形截面及其判别方法

中和轴在梁肋内中和轴在翼缘内第4

章混凝土结构设计原理

3．两类T形截面及其判别方法

当中和轴通过翼缘底面时即x=h'f，为两类T形截面的分界线。此时：因此，当满足:…3－22或…3－23时中和轴在翼缘内，即x≤h'f，为第一类T形截面；否则为第二类截面。界限情况第二类T形截面或第一类T形截面或第3章混凝土结构设计原理3．第一类T形截面承载力计算按的单筋矩形截面计算

…3－26…3－27（d）第3

章混凝土结构设计原理适用条件：（1）为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足：x≤0.85ξbh0

对第一类T形截面，该适用条件一般能满足,可不验算。（2）为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足:b

为T形截面的腹板宽度，而不是bf′。4．第二类T形截面承载力计算第3

章混凝土结构设计原理适用条件：（1）为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足：

x≤0.85ξbh0

（2）为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足:对第二类T形截面，该适用条件一般能满足,可不验算。第3章混凝土结构设计原理（f）由平衡条件得：1）第一部分（图f）

第二类T形截面分为Mu=Mu1+Mu2和相应的

As＝As1＋As2两部分：第3章混凝土结构设计原理2）第二部分（图g）(g)由平衡条件得：第3

章混凝土结构设计原理适用条件：（1）为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足：

x≤0.85ξbh0

（2）为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足:对第二类T形截面，该适用条件一般能满足,可不验算。第3章混凝土结构设计原理已知：b、h、bf’、hf’、α1ƒc、ƒy、M；求As？1.判别截面类型第一类T形截面计算方法与bfˊ×h的单筋矩形截面完全相同。第二类T形截面①计算As2和相应的弯矩Mu25、截面设计第3章混凝土结构设计原理②计算③计算As1④计算总钢筋截面面积As

第3章混凝土结构设计原理第3章混凝土结构设计原理第3章混凝土结构设计原理

首先判别T形截面的类型。如为第一类T形面，按宽度为bfˊ的单筋矩形截面计算Mu；如为第二类T形截面，则由其第一个基本公式求得x，当x≤0.85ξbh0时，将x值代入其第二个基本公式求得Mu。2.截面复核已知：b、h、bf’、hf’、α1ƒc、ƒy、M、As;求Mu≥M?第3章混凝土结构设计原理[例4-5]已知一T形截面梁截面尺寸b'f=600mm、h'f=120mm、b=250mm、h=650mm，混凝土强度等级C20，采用HRB335钢筋，梁所承受的弯矩设计值M=426kN·m。试求所需受拉钢筋截面面积As。1.分析已知条件2.判别截面类型3.计算x4.计算As5.选用钢筋及绘配筋图或X，As未知第一类第二类[解](1)已知条件

由附表1-2和表4-2查得当混凝土的强度等级为C20时，fc=9.6N/mm2,α1=1.0；查附表2-3得HRB335钢筋的ƒy=300N/mm2,ξb=0.550

考虑布置两排钢筋，as=80mm,h0=h-as=650mm-80mm=570mm。(2)判别截面类型

属第二类T形截面。(3)计算x

(4)计算As

(5)选用钢筋及绘配筋图选用625（As=2945mm2）配筋见图。[例4-6]已知一T形截面梁的截面尺寸h=700mm、

b=250mm、h'f=100mm、b'f=600mm，截面配有受拉钢筋822（As=3041mm2），混凝土强度等级C30，梁截面