2025版八年级数学下册训练：勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

一课一练•基础闯关

题组互逆命题、互逆定理

1.下面定理中，没有逆定理的是()

A.内错角相等,两直线平行

B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C.同旁内角互补,两直线平行

D.对顶角相等

【解析】选D.由定理与逆定理的含义可得选项A,B,C均有逆定理,而D中可先假设其有逆定理且逆定理成

立,即其逆定理为:若两个角相等,则其为对顶角，明显不成立，故D错.

2.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是世纪金榜导学号42684040()

1

A.a=-2B.a=-

C.a=lD.a=^/2

【解析】选A.说明命题“对于任何实数a,|a|〉-a”是假命题的一个反例可以是a=-2.

【变式训练】已知下列命题：

①若aWO,则|a|=-a;

②若ma2>na2,则m>n;

③互为相反数的两个数的和为零；

④假如a>b,那么(a+b)(a-b)>0.

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】选B.原命题正确的有①②③,②的逆命题不成立.

3.(2024•常德中考)命题：“假如m是整数,那么它是有理数”，则它的逆命题为:.

【解析】两个命题，假如第一个命题的条件是其次个命题的结论,而第一个的结论又是其次个的条件,那么

这两个命题叫做互逆命题.

答案:假如m是有理数,则它是整数

4.写出命题“假如a=b,那么3a=3b”的逆命题.

【解析】命题“假如a=b,那么3a=3b”的逆命题是：“假如3a=3b,那么a=b”.

答案:假如3a=3b,那么a=b

5.把命题“假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么一+9飞2”的逆命题改写成“假如……,

那么……”的形式:.世纪金榜导学号42684041

【解析】逆命题为:三角形三边长a,b,c,满意a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“假如……，

222

那么……”的形式:假如三角形三边长a,b,c,满意a+b=C,那么这个三角形是直角三角形

答案:假如三角形三边长a,b,c,满意a+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

6.说出下列命题的逆命题,并分别指出它是真命题还是假命题：

⑴全等三角形的对应角相等.

（2）假如两个角是直角，那么这两个角相等.

【解析】（1）假如两个三角形的角分别相等,那么这两个三角形全等.假命题.

⑵假如两个角相等,那么这两个角是直角.假命题.

题组口〉勾股数

1.（2024•滨海县月考）下列各组数中是勾股数的是（）

A.12,15,18B.11,60,61

C.15,16,17D.12,35,36

【解析】选B.A.122+15V182,此选项错误；B.11%。%了,此选项正确；C.帝+刊#17；此选项错

误;D.122+352/36；此选项错误.

2.分别有下列几组数据:①6,8,10;②12,13,5;③7,8,15;

④40,41,9.其中是勾股数的有（）

世纪金榜导学号42684042

A.4组B.3组C.2组D.1组

【解析】选B.062+8=100=102,是勾股数;②52+122=1*是勾股数;③F+UWE,不是勾股数;④92+402=41：

是勾股数.故选B.

题组匡>勾股定理逆定理的应用

L（2024•秦淮区一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）

A.2,3,3B.2,3,4C.2,3,5D.3,4,5

【解析】选A.A.+32=、/13>3,2+3>3,能组成锐角三角形；

B.+32=V13<4,2+3>4,...不能组成锐角三角形；

C.V2+3=5,二不能组成三角形;

D.D3+42=5,是直角三角形，...不能组成锐角三角形.

【变式训练】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（）

A.y/Q,^/8,B.1,->y2>y/3

C.6,7,8D.9,10,11

【解题指南】知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，假如相等,则三角形为

直角三角形;否则不是.

【解析】选B.A.（\&）2+（代）2片（、/10）；不能构成直角三角形,故错误；

B.12+（^/2）=（^/3）2,能构成直角三角形,故正确;c.62+7V82,不能构成直角三角形,故错误;D.92+102#112,

不能构成直角三角形,故错误.

2.（2024•益阳中考）如图，AABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线，则CD=.

世纪金榜导学号42684043

【解析】•.•在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,

.,.AC2+BC2=52+122=13=AB2,

•*.AABC为直角三角形,且ZACB=90°,

：CD是AB边上的中线,

.*.CD=6.5.

答案：6.5

3.已知a,b,c是4ABC的三边长,且满意关系式Jc2一a2-b2+1a-b|=0,则4ABC的形态为.

世纪金榜导学号42684044

［解析11/^/c2-a2-b2+1a-b1=o,

/.c2-a2-b2=0,且a-b=0,

/.c2=a2+b2,且a=b,

则AABC为等腰直角三角形.

答案:等腰直角三角形

【变式训练】三角形的三边长为a,b,c,且满意(a+b)2=c、2ab,则这个三角形是

()

A.等边三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

222

【解析】选C.化简(a+b)Jc2+2ab,得a+b=c,所以三角形是直角三角形.

4.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.

⑴求证:BM=MN.世纪金榜导学号42684045

⑵ZBAD=60°,AC平分NBAD,AC=2,求BN的长.

1

【解析】(1)在ACAD中，N分别是AC,CD的中点，；.MN〃AD且MN=-AD.

在Rt^ABC中，：点M是AC的中点,

1

.*.BM=-AC,

又：AC=AD,；.BM=MN.

(2)VZBAD=60°,且AC平分/BAD,

/.ZBAC=ZDAC=30°,

由⑴知，BM=|AC=AM=MC,

.\ZBMC=ZBAM+ZABM=2ZBAM=60°,

VMN/7AD,.,.ZNMC=ZDAC=30°,

.\ZBMN=ZBMC+ZNMC=90°,

；.BN汩而由(1)知，

11

MN=BM=-AC=-X2=1,

，BN=也.

【变式训练】如图，在AABC中，已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.

⑴证明：4BCD是直角三角形.

⑵求4ABC的面积.

【解析】(1)VCD=9,BD=12,

,,.CD2+BD2=81+144=225.

VBC=15,.\BC2=225.

.*.CD2+BD2=BC2.

/.△BCD是直角三角形,且/BDC=90°(勾股定理逆定理).

(2)设AD=x,则AC=x+9.

,/AB=AC,-•.AB=x+9.

VZBDC=90°,

AZADB=90°.

.,.AB?=AD?+BD2（勾股定理）.

7

即（x+9）2=x2+12；解得x=].

725

AC=~+9=-^-.

1

SAABC=2AC,BD=75.

素养养成,

►■如图，四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3m,BC=4m,DC=12m,AD=13m,

/B=90°,求这块草坪的面积.

世纪金榜导学号42684046

【解析】连接AC,在RtAABC中，AB=3m,BC=4m,ZB=90°,由勾股定理得AB'+BCJAC；.•.AC=5m.

在4ACD中，AC=5m,DC=12m,AD=13m,

.".AC2+DC2=169,AD=169,Z.AC2+DC2=AD2,

AACD为直角三角形，即ZACD=90°.

所以四边形ABCD的面积=S3+S3=%BXBC+-ACXDC=-X3X4+^X5X12=36（m2）.

即这块草坪的面积是36m2.

【母题变式】一个零件的形态如图所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块

钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?

【解析】V32+42=52,52+12=132,

即AB2+BC2=AC2,

故NB=90°,

同理，ZACD=90°,

S四边形ABCD—SAABC-*"SAACD

11

=-X3X4+-X5X12

=6+30

二36.

I教师I

后甬I［