三角形中的倒角模型、飞镖模型、风筝模型、角内翻模型-2025中考数学专项复习（含答案）

三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模

型2025中考数学专项复习含答案

三角形中的导角模型-飞镖模蛰、风筝模蛰、角内翻模爨

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型,该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定

理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理

及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1图2图3

条件:如图1,凹四边形ABCD；结论:①/3GD=乙4+/B+/。；②4B+AD>BC+C。。

条件:如图2,线段平分/ABC,线段OD平分/4DC；结论：ZO=^-（ZA+ZC）-

条件:如图3,线段AO平分/D4B,线段。。平分/BCD；结论：ZO=y（ZZ?-ZB）o

飞镖模型结论的常用证明方法：

血11（2023・重庆•八年级专题练习）请阅读下列材料,并完成相应的任务:

有趣的“飞镖图”:如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现，

它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边

形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有:凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角

之和.

（即如图1,/ADB=/A+/B+/C）理由如下：

方法一:如图2,连接AB,则在AABC中，/C+/CAB+/CRA=180°,即/1+/2+/3+/4+/C

=180°,又•在&ABD中，/I+/2+NADB=180°,ANADB=Z3+Z4+ZC,即AADB=ACAD

+ACBD+AC.

方法二:如图3,连接CD并延长至F,VZ1和23分别是△ACD和八丹。。的一个外角，........

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论,你有自己的方法吗？

任务：（1）填空:“方法一”主要依据的一个数学定理是;

（2）探索:根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

（3）应用:如图4,AE^ZCAD的平分线，是NCBD的平分线，AE与BF交于G,若/ADB

=150°,乙4GB=110°,请你直接写出ZC的大小.

吼2（2023•广东河源•八年级校考期末）⑴模型探究:如图1所示的“镖形”图中，请探究NADB与乙4、NB、

/C的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2,DE平分/ADB,CE平分/ACS,/A=24°,NB=

66°,请直接写出/E的度数.

四3（2022秋.广西八年级期中）如图,AABD,乙4CD的角平分线交于点P,若=48°,=10°,则ZF

的度数（）

A

BC

D

A.19°B.20°C.22°D.25°

四4（2023・广东•八年级期中）如图,在三角形中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点,连结AP,并延

长交于点D求证：（1）AB+AC>AD+BC；（2）AB+AC>AP+BP+CR

国］5（2023•福建三明•八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号一-箭号.我们不妨把这样图

形叫做“箭头四角形”.

图1图2图3

探究：⑴观察“箭头四角形"，试探究/BDC与41、/B、之间的关系,并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论,解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的两条直角边Xy、XZ恰好经过点B、。,若

ZA=60°,则ZABX+ZACX=:②如图。3,/ABE、NACE的2等分线（即角平分线）BF、CF相

交于点F,若ABAC=60°,4BEC=130°,求ABFC的度数；

拓展:⑶如图4,敢,CQ分别是N4B。、44co的2020等分线（i=l,2,3,•■•,2018,2019）,它们的交

点从上到下依次为Oi、5、。3、…、O20i9.已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,则/BOioooC=_度.

模型2、风筝模型（鹰爪模型）

1）风筝（鹰爪）模型:结论：/A+/O=/I+/2；•M

2）风筝（鹰爪）模型（变形）:结论：ZA+ZO=Z2-Z1»

吼色（2023・四川达州・八年级期末）如图，/I,Z2,23分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①

Zl+Z3=AABC+ND；②N1+Z3<ZABC+③/I+/2+/3=360°；④/I+Z2+Z3>360°.

其中正确的是.（填序号）

血］7（2023春.河南南阳.八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务.

在数学探究课上，老师出了这样一个题:如图L锐角ABAC内部有一点D,在其两边AB和AC上各取任

意一点E,F,连接_DE,DF.求证：ABED+ADFC=ABAC+AEDF.

AA

图1图2

小丽的证法小红的证法

证明：

证明：

如图2,连接AD并延长至点河，

/BED=80°,ADFC=60°,

ABED=ABAD+NEDA,

NBAC=51°,ZEDF^89°（量角器测量所得），

ZDFC=ADAC+NADF（依据）,

:"BED+ADFC=140°,

又ABAD+ADAC=ABAC,

ZBAC+/EDF=140°（计算所得）.

/EDA+NADF=NEDF,

:"BED+ADFC=ZBAC+/即尸（等量代换）.

ABED+ADFC=ZBAC+AEDF.

任务：（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理:

（2）下列说法正确的是.

A.小丽的证法用严谨的推理证明了该定理

B.小丽的证法还需要改变/氏4C的大小，再进行证明，该定理的证明才完整

C.小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理

D.小红的证法只要将点。在/氏4。的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理

（3）如图，若点。在锐角乙民4。外部，即与AC相交于点G,其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成

立,请说明理由;若不成立,请探索ABED,4DFC,ABAC,/EOF之间的关系.

A

吼巨（2022秋・山东青岛•八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们:三角形三个内角的和等于180°如何证

明这个定理呢？我们知道,平角是180。,要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，

请根据如下条件，证明定理.

（1）【定理证明】

图①图②图③

已知：AABC如图①，求证：乙4+/B+/C=180°.

（2）【定理推论】如图②，在△AB。中，有乙4+180°,点。是BC延长线上一点，由平角的定义

可得ZAGD+ZACB=180°,所以4ACD=，从而得到三角形内角和定理的推论:三角形的外角

等于与它不相邻的两个内角的和.

【初步运用】如图③，点。、后分别是△ABC的边4B、力。延长线上一点.

（3）若/A=80°,4DBC=150°,则AACB=.（4）若/A=80°,则ADBC+ZECB=.

【拓展延伸】如图④，点。、后分别是四边形4BPC的边AB、AC延长线上一点.

（5）若/A=80°,ZP=150°,则ADBP+4ECP=.

（6）分别作ADBP和2ECP的平分线BM、CN,如图⑤，若BM//CN,则ZA和ZF的关系为.

⑺分别作2DBP和AECP的平分线,交于点O,如图⑥，求出/A,和/P的数量关系，说明理由.

图④图⑥

模型3、角内翻模型

•M

A

A

条件:如图1,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点。落在四边形ABFE内部时,结论：2ZC=Z1+Z2;

条件:如图2,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点。落在四边形ABFE外部时，结论：2/。=/2—/I。

的9（2023春・江苏镇江•七年级校考阶段练习）如图，中，/A=67°,将AAB。沿DE翻折后，点A落

在边上的点A处，如果/A'EC=74°,那么/ADE的度数为.

网］10（2022秋・辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，在△48。中，/B=30°,将△ABC沿直线m翻折，点B落在

点。的位置，则/I—/2的度数是（）

吼旦（2023春•重庆黔江•七年级统考期末）如图LA4B。中，乙4=64°,/B=90°,/C=26°.点。是AC

边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠△CDE,折叠后点。落在点F处.下面我们来研究折叠后

的有一边与原三角形△ABC的一边平行时AADF的值.

（1）首先我们来研究边DE.因为OE和△ABC的人。、3。相交，所以只有一种可能的情况（如图2）,DE

//AB,此时NADF=.

（2）其次，我们来研究边EF.因为点E在BC上，所以EF可能与△ABC的边AB、力。边分别平行.

当EF//AB时（如下图），则/ADF=.•M

当EF〃入。时（如下图），则AADF=.

⑶最后,我们来研究边FD.因为点。在AC上，所以FD可能与AABC的边AB、3。边分别平行.

当FDIIAB时，ZADF=.当FD〃BC时，ZADF=.

网］12（2023•湖北武汉•八年级校考阶段练习）（1）如图，将/BAC沿DE折叠，使点A落在乙民4。的内部的点

M处，当乙4=50°,/BDM=30°时，求/CEAf的度数；

（2）如图,将/94。沿DE折叠，使点A落在/BAG的外部的点M处.求图中乙4,4BDM,/CEW

之间的数量关系；（3）如图，将/A、乙8一起沿EF折叠，使点A、点B的对应点M、N分别落在射线

BD的左右两侧，/CW,/DFN,乙4、ZB的数量关系一（直接写结果，不需要过程）

课后专项训练

题目Q（2023•四川绵阳•八年级校考期中）如图，△ABC中，90°,将△ABC沿DE折叠,使得点B落在

力。边上的点F处，若/CFD=60°且则的度数为（）

题目区（2023•河南安阳•八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCED的外

部时，则乙4与/I和Z2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是

A.2ZA=Z1-Z2B.3ZA=2（Z1-Z2）C.3ZA=2Z1-Z2D.ZA=Z1-Z2

题目1（2023秋・重庆开州•八年级统考期末）如图，将△ABC沿BE翻折交AC于点D,又将相⑺沿BA

翻折，点。落在BE上的。'处，其中/a=18°,/C'DB=68°,则原三角形中/C的度数为（）

A

A.87°B.75°C.85°D.70°

（2023・广东八年级课时练习）如图，在4ABC中，=28°,将ZVlB。沿直线m翻折，点B落在点。

的位置，则Zl-Z2=°.

【题目可（2023洞南平顶山•八年级统考期末）如图，点43、。、。、H在同一平面内，连接AB,BC、CD、

DE、EA,若ABCD=80°,则/A++/。+/E=.

题目回（2023秋・浙江•八年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高,点E,F分别是AB,AC

边上的点,连接EF,将沿着EP翻折，使点A与边上的点G重合,若NEGB=90°,ADCB+

/.CFG=82°,则AACD的度数为

c

题目不（2023春・江苏镇江•七年级校考阶段练习）如图，ZVIB。中，乙4=67°,将△ABC沿DE翻折后，点A

落在BC边上的点A处，如果AAEC=74°，那么AADE的度数为.

题目回（2023•湖南永州•八年级统考期中）如图，若△O4D空△OBC,且ZO=60°,ZC=20°,则ZOAD=

O

I题目可（2023春・四川•七年级统考期末）在四边形4BCD中，/人=98°,40=140°.

图1图2图3

（1）如图1,若则NB=度；

⑵如图2,作/BCD的平分线CE交AB与点E,若CE〃AD,求的度数；

（3）如图3,作/ABO和ZDCB的平分线交于点E,求/BEC的度数.

题目jo］（2023•浙江杭州•八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在△ABC中，/人=60°,

（1）如图①，/ABC和/ACB的角平分线交于点。，则ZBOC=；

（2）如图②，/4BC和/ACB的三等分线分别对应交于点Q,。2,则/3。2。=；

⑶如图③，AABC和NACB的n等分线分别对应交于点Q,Q，…，O”T（内部有九—1个点），则

C=—；

⑷如图③，/ABC和/AC®的九等分线分别对应交于点Q,Q，…，O”T，若/BO“TC=90°,求九的值.

题目兀（2023•北京・一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形--燕尾四边形的性质.

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边

形（如图1）.

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）

。①，.②「③

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.

22

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验,对燕尾四边形的性质进行了探究.

下面是小洁的探究过程,请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动,写出两条对燕尾四边形性质的

猜想,并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2,在燕尾四边形ABCD中，AB=4D=6,

•（

4,4BCD=120°,求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）.

题目至］（2023.重庆.八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接我们把四边形ABCD叫

做“飞镖模型”.

（1）求证：乙4。C=/D4B+/。CB+/4B。；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与JBF交于点

D,若2EDF=120°,求/A+/B+ZC+ZG+NE+/F的度数.

题目包（2023・四川达州•中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1,延长交于点。，则4BOC=Z1

+ZB=ZA+ZC+ZB..因为凹四边形4BOC形似箭头，其四角具有“/BOC=ZA+ZB+这个

规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用：

⑴直接应用:①如图2,AA+ZB+AC+ZD+ZE+AF=.②如图3,NABE、乙4CE的2等分

线（即角平分线）BF、CF交于点F,已知ZBEC=120°,ZBAC=50°,则ZBFC=

③如图4,BQ、O（2分别为乙4BO、乙400的2019等分线（i=1,2,3,…，2017,2018）.它们的交点从上

到下依次为Q、。2、。3、…、C>2oi8.已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,则乙BOioooC=_度

题目亘（2022秋・浙江•八年级期末）如图⑴△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两

点，

图1图2图3

研究（1）：如果沿直线。E折叠，写出/BD4'与乙4的关系，并说明理由.

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想2BDA'、ACEA'和乙4的关系，并说明理由.

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想ABDA'.ACEA'ZA的关系，并说明理由.

题目巨（2022秋•河北唐山•八年级校考阶段练习）已知，在四边形人38中，乙4=/。=90°.

•M

（1）求证：ZABC+AADC=180°.

（2）如图1,若DE平分AADC,平分2ABe的外角，写出DE与BF的位置关系,并证明.

（3）如图2,若BF、DE分别平分ZABC,2ADC的外角，写出与DE的位置关系，并证明.

题目足（2023春•江苏淮安•九年级校考阶段练习）我们知道:光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线

两侧,反射角等于入射角.如图为一镜面,A。为入射光线，入射点为点O,ON为法线（过入射点。

且垂直于镜面EF的直线），为反射光线，此时反射角/BON等于入射角AAON,由此可知2BOF等

于NAOE.

（1）两平面镜OP、OQ相交于点。，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B.

①如图2,当/POQ为多少度时，光线A河〃NB?请说明理由.

②如图3,若两条光线⑷NB所在的直线相交于点E,延长发现和NO分别为△MEN一个内角

和一个外角的平分线，则ZPOQ与ZMEN之间满足的等量关系是.（直接写出结果）

（2）三个平面镜PM、MN、NQ相交于点M、N,一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过

点E,请直接写出NM、4N、乙BCD与/BFD之间满足的等量关系.

题目立（2023•江西新余•八年级统考阶段练习）已知,P为第四象限一动点,Q为x轴负半轴上一动点，R

在PQ下方且为y轴负半轴上一动点.

（1）如图①，若F（2,-l）,Q（-3,0）,R（0,—5），求S^QR；⑵如图②，若用W、分别平分2PRO,

/PQO,P、Q、R在运动过程中，/P、/河是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论;若不存

12

在.请说明理由；（3）如图③，若将R点改为g轴正半轴上一动点，且在P、Q及（2）中的条件不变的前提

下，“、又有何数量关系？

题目逗（2023•山东•八年级假期作业）模型规律:如图1,延长交AB于点。，则ZBOC=Z1+ZB-

ZA+ZC+ZB.因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“乙80。=乙4+48+这个规律，所以

我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用：（1）直接应用:①如图2,/A=60°,ZB=20°,30°,则4BOC=°；

②如图3,ZA+ZB+ZC+AD+AE+°；

（2）拓展应用:①如图4,/ABO、AACO的2等分线（即角平分线）BQ、交于点O”已知NBOC=

120°,ABAC=50°,则/BOQ=°；

②如图5,BO、CO分别为AABO,AACO的10等分线（i=1,2,3,…,8,9）.它们的交点从上到下依次为

Oi、。2、。3、…、Oa.已知ZBG>C=120°,力。=50°,则NBOQ=°；

③如图6,乙4BO、乙民4。的角平分线BD、AD交于点。，已知ZBOC=120°,/。=44°,则ZADB=

④如图7,ABAC./BOC的角平分线AD、OD交于点。，则乙8、乙0之间的数量关系为.

题目电（2023春・山东•七年级校联考期中）实验探究：⑴动手操作：

①如图1,将一块直角三角板OEF放置在直角三角板AB。上，使三角板OEF的两条直角边DE、DF分别

经过点B、C,且BC〃EF,已知/A=30°,则NABD+AACD=；

②如图2,若直角三角板ABC不动,改变等腰直角三角板OEF的位置,使三角板DEF的两条直角边DE、

DF仍然分别经过点6、C,那么乙4BD+乙4CD=；

（2）猜想证明:如图3,ZBDC与/A、乙8、/。之间存在着什么关系，并说明理由；

（3）灵活应用:请你直接利用以上结论，解决下列问题:①如图4,BE平分AABD,CE平分/ACD,若

13

/BAC=40°,/BZX7=120°,求/BEC度数.②如图5,AABD,乙4。。的10等分线相交于点R、鸟、…、

国，若4BDC=120°,乙8网。=71°,则ZA的度数为

图4图5

:题目叵（2023•广东清远・七年级统考期末）（1）如图①，在四边形ABOC中，/BOC=130°,/B=29°,ZC

=28°.直接写出/BOC与乙8,/C,/A之间的关系.

（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算/4+/人3。+/。+/。£加的度数.

（3）如图③，在△ABC中，设/A=0,/ABC和AACB的平分线BD,CE交于点。，过B作EC的平行线

BG交AC的延长线于点G,试用含6的代数式表示/OBG的度数.

题目叵（2023•安徽淮北•八年级统考期末）如图，在△ABC中，乙4=/ABO,直线EF分别交△ABO的边

AB、AC和CB的延长线于点D、E、F.（1）若乙4=70°,则/F+.⑵2F、4FEC、

/A有什么数量关系？请说明理由.

题目组（2023•江苏•八年级专题练习）①△ABC中，90°,点。，E分别是边AC,BC上的点，点P是一

动点，令/PDA=Zl,NPEB=Z2，2DPE=Na.

⑴若点P在线段AB上，如图1所示，且/a=50°,则/1+/2=°；

（2）若点P在边4B上运动，如图2所示，则/I、N2之间的关系为；

⑶如图3,若点P在斜边历1的延长线上运动（您〈。。）,请写出/*/1、/2之间的关系式，并说明理

由.

15

三角形中的导角模蛰-飞镖模蛰、风筝模蛰、角内翻模爨

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型,该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定

理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理

及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞绿”模型（“燕尾”模型）

图1图2图3

条件:如图1,凹四边形ABCD；结论:①ZBGD=/A++/。；②4B+AD>BC+GD。

条件:如图2,线段B。平分/4BC,线段OD平分NADC；结论，ZO=j-（ZA+ZC）。

条件:如图3,线段AO平分/D4B,线段。。平分/BCD；结论：ZO=^-（ZD-ZB）.

飞集模型结论的常用证明方法：

血11（2023・重庆•八年级专题练习）请阅读下列材料,并完成相应的任务：

有趣的“飞镖图”:如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现，

它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究:凹四边

形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有:凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角

之和.

（即如图1,乙4OB=/A+/B+/C）理由如下：

方法一:如图2,连接AB,则在△ABC中，/。+/。48+/。&4=180°,即/1+/2+/3+/4+/。

=180°,又•在AABD中，/I+/2+AADB=180°,ANADB=Z3+Z4+ZC,即AADB=ACAD

+ACBD+AC.

方法二:如图3,连接CD并延长至F,VZ1和23分别是△ACD和ABCD的一个外角.........

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论,你有自己的方法吗？

任务：（1）填空:“方法一”主要依据的一个数学定理是;

（2）探索:根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

⑶应用：如图4,AE是/G4。的平分线，是2CBD的平分线，AE与BF交于G,若/ADB

=150°,/4GB=110°,请你直接写出ZC的大小.

【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）;（2）见解析；（3）70°

【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得Z1=Z2+ZA,Z3=Z4

+/B,从而得到/1+/3=/2+乙4+/4+乙8,即可求证；（3）由（2）可得：AADB=ACAD+ACBD

+ZC,ZAGB=/CAB+/CBF+/C,从而得到ZCAE+110°-ZC,4CAD+4CBD=

再由AB是/CAD的平分线，BF是4CBD的平分线，可得150°—/。=2（110°—/C）,即

可求解.

【详解】（1）解:三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）

（2）证明：连接CD并延长至F,

VZ1和22分别是△ACD和△BCD的一个外角，二/1=/2+乙4,/3=/4+/B,

A/I+/3=/2+/A+/4+即NADB=/A++NACB;

⑶解：由（2）得：AADB=ACAD+ACBD+ZC,NAGB=ACAE+NCBF+AC,

•：/ADB=150°,ZAGB=110°,AACAD+ACBD+150°,ACAE+ACBF+ZC=110°,

AACAE+ZCBF^110°-ZC,ACAD+ACBD=150°-ZC,

•：AE是/CAD的平分线，BF是乙CBD的平分线，；./CAD=2NCAE,NCBD=2ZCBF,

：.ACAD+ACBD=2（ACAE+ACBF）,：.150°-ZC=2（110°-Z。）,解得：ZC=70°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形

MS

内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

吼2（2023•广东河源•八年级校考期末）⑴模型探究:如图1所示的“镖形”图中，请探究4LDB与乙4、/B、

的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2,DE平分。£平分/ACS,/A=24°,=

66°,请直接写出/E的度数.

图1图2

【答案】（1）/4DB=/4+/B+/C,理由见详解；（2）21°

（分析】（1）连接CD并延长到点E,利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：AADB-=

ZA+48=90°,从而得/EDO-ABCO=}X90°=45°,结合/EDO+/E=ABCO+乙8,即可求解.

【详解】解：（1）/ADB=/A+乙B+/C,理由如下:

连接CD并延长到点E,

NADE+NBDE=ZACD+ZA+/.BCD+4B,：.2ADB=/A+/B+AACB.

（2）由第（1）题可得：ZADB=ZA+ZB+ZACB,：.AADB-AACB=ZA+ZB=66°+24°=90°,

•/DE平分ZADB,CE平分ZACB,：.ZEDO-ZBCO=^-（ZADB-ZC）=:x90°=45°,

•/ZDOE=ABOC,：.ZEDO+/E=ZBCO+ZB,

/B-NE=ZEDO-ABCO=45°，,NE=2B—45°=66°-45°=21°.

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是

解题的关键.

网］3（2022秋•广西八年级期中）如图,/ABD,乙4c。的角平分线交于点P,若/A=48°,/D=10°,则/P

的度数（）•M

A

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延长PC爻BD于E,设AC.PB交于F,根据三角形的内角和定理得到ZA+AABF+

NAFB=ZF+APCF+APFC=180°推出/P+ZPCF=ZA+AABF，根据三角形的外角性质得到

NP+"BE=NPED,推出NP+NPBE=NPCD—ND,根寺忠PB、PC是角平分线得到4PCF=

/PCD,/4BF=/PBE,推出2/。=乙4一/。,代入即可求出ZF.法二:延长。。，与交于点E.

设AC与BP相交于O,则AAOB=/POC,可得/P+-j-ZACD=/A+-j-ZABD，代入计算即可.

【详解】解：法一:延长PC交BD于E,设AC.PB交于F,

•/乙4+AABF+AAFB=AP+APCF+4PFC=180°,

•/NAFB=NPFC,：.ZF+ZPCF=ZA+/ABF,

ZF+4PBE=APED,APED=4PCD-ND,：.ZP+ZPBE=ZPCD-AD,

2ZF+APCF+APBE=AA-AD+/ABF+ZFCD,

是角平分线2PCF=4PCD,NABF="BE,；.2NP=NA-ND

ZA=48°,ZD=10°,ZP=19°.

法二:延长。。，与AB交于点E.

AACD是LACE的外角，/A=48°,/ACD=/A+ZAEC=48°+AAEC.

•：NAEC是ABDE的外角，；.NAEC=NABD+/D=NABD+10°,

AACD=48°+/AEU=48°+AABD+10°,整理得AACD-AABD=58°.

设AC与BP相交于O,则AAOB=4PoC,

：.ZF+-j-ZACD=ZA+-j-ZABD,即ZF=48°-^（ZACD-/ABD）=19°.故选A.

【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识

点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

吼士（2023・广东•八年级期中）如图，在三角形4BC中，AB>BC,为三角形内任意一点，连结AP,并延

长交BC于点D求证：（1）AB+力。>AD+BC；（2）AB+AC>AP+BP+CP.

•M

【详解】(1)：AABD<AACD

•：NADB>AACD,ZADB>NABD,：.AB>AD

•：AOBC,：.AB+AC>AD+BC

(2)过点P作EF〃BC，交AB、AC于E、F,则AAEF=AABC,NAFE=ZACB

由(1)知AE+AFAAP+EF

•：BE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AOAP+AP+CP

(几何证明中后一问常常要用到前一问的结论)

也回（2023•福建三明•八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号.我们不妨把这样图

形叫做“箭头四角形”.

图1图2图3

探究：（1）观察“箭头四角形"，试探究与乙4、ZB、/。之间的关系,并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的两条直角边Xy、XZ恰好经过点B、。,若

ZA=60°,则乙4BX+乙4cx=:②如图。3,AABE,2ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF相

交于点F,若ABAC=60°,ABEC=130°,求ABFC的度数；

拓展：⑶如图4,BQ,以2分别是乙4BO、乙4。。的2020等分线（i=1,2,3,…，2018,2019）,它们的交

点从上到下依次为Q、5、。3、…、So必已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,则乙80KxMc=_度.

【答案】（1）=/A++/C,理由见详解；（2）①30;②95°;（3）50r^+51n

【分析】（1）连接AD并延长至点E,利用三角形外角的性质得出4BDE=ABAD+ZB.ZCDS=ACAD

+/C,左右两边相加即可得出结论：

•••

⑵①直接利用（1）中的结论有ABXC=乙4+/4BX+/ASX,再把已知的角度代入即可求出答案；

②先根据4BEC=ABAC+NABE+/ACE求出2ABE+NACE，然后结合角平分线的定义再利用

4BFC=ABAC+AABF+/ACF=ZBAC+y（ZAB£；+ZACE）即可求解；

（3）先根据ZBOC=ABAC+NABO+NACO求出AABO+/ACO,再求出^ABOl000+ZACOW00的度

数，最后利用ZBOW00C=ABAC+ZABO1000+ZACOW00求解即可.

【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

,:4BDE=ABAD+NBZCDE=ACAD+ZC,

又­.-4BDC=ABDE+ACDE,ABAD+ACAD,：.乙BDC=ZBAC+ZB+ZC

(2)①由(1)可知NBXC=乙4+AABX+乙4cx

ZA=60°,2BXC=90°/.AABX+/ACX=ABXC-ZA=90°-60°=30°

②由(1)可知2BEC=ABAC+AABE+4ACE

•/ABAC=60°,ABEC=130°NABE+NACE=NBEC—ABAC=130°-60°=70°

•/BF平分/ABE,CF平分/ACEABF=：ABE,ACF=-j-ACE

ZBFC=ABAC+ZABF+Z.ACF=ZBAC+：(/力BE+/ACE)=95°

(3)由(1)可知ZBOC=ABAC+AABO+NACO

•/ZBOC=m,ABAC=n：.zLABO+AACO=ABOC-ABAC=m-n

•：BOi,CO,分别是/ABO、乙48的2020等分线(i=l,2,3,­••,2018,2019)

/48。1顿+/人。5M产得需x1000=5。M；有50九。

ZU/U_LU_L

•••ZBO1000C=ABAC+ZABO1000+ZACO1000=5叫『九。

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是

解题的关键.

模型2、风筝模型（鹰爪模型）

A

2

O

CE

图1图2

1）风筝（鹰爪）模型:结论：+/。=/I+/2；

2）风筝（鹰爪）模型（变形）:结论：ZA+ZO=Z2-Z1„

回色（2023・四川达州・八年级期末）如图，Zl,Z2,23分别是四边形ABCD的外角，判定下列大小关系：①

Zl+Z3=/AB。+/D；②N1+Z3<AABC+/D；③/I+/2+/3=360°；④/I+Z2+Z3>360°.

其中正确的是.（填序号）

【答案】①

【分析】根据多边形（三角形）的外角和为360°即可求解.

【详解】解:如图，连接

Zl=AABD+NADB,Z3=ZDBC+ABDC,

Zl+Z3=/ABD+/LADB+ZDBC+2BDC=ZABC+/ADC,故①正确，②不正确；

•.•多边形的外角和是360°,：.Zl+Z2+Z3<360°,故③④不正确，故答案为：①.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是

解题的关键.

四工（2023春・河南南阳•八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务.

在数学探究课上，老师出了这样一个题:如图1,锐角ABAC内部有一点。，在其两边AB和AC上各取任

意一点E,连接DE,DF.求证：4BED+4DFC=ABAC+NEDF.

小丽的证法小红的证法

证明：证明：

如图2,连接AD并延长至点M,...ABED=80°,ADFC=60°,

ABED=ABAD+NEDA,NBAC=51°,N