2024年中考数学几何模型归纳相似三角形重要模型之母子型(学生版)

.相似三角形重要模型母子型（共边共角模型）

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入

理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型（共边角模型）

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

图1图2图3图4

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1,AC=AABD-,结论：AABDSAACB,AB^=ADAC.

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2,N/CB=90。，CDLAB-,

结论：AACDsAABCsACBD；CA^=ADAB,BC2=BDBA,CD^=DADB.

3）“母子”模型（变形）

条件:如图3,AD=/LCAE,AB=AC-,结论：LABDSAECA；

4）共边模型

条件:如图1,在四边形48CD中，对角线8。平分NZBC,AADB=ZDCB,结论：BD-BABC；

例1.（2022・贵州贵阳・中考真题）如图，在A/8C中，。是48边上的点，ZB=ZACD,AC-.AB=l-.2,

贝IJAADC与△/CB的周长比是（）

A.1：^/2B,1:2C,1:3D,1:4

ADAC

例2.（2022春•江苏•九年级专题练习）如图，在RtZUBC中，N/CB=90。，点。在48上，且芯=迈.

(1)求证△NCDS^/BC；(2)若40=3,BD=2,求CD的长.

例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C,。在线段上，APCD是等边三角形，且//尸8=120。，求

证：(1)△ACPs^PDB,(2)CD2=A&BD.

例4.（2023•湖南•统考中考真题）在RtaABC中，NA4c=90。，4D是斜边3C上的高.

⑴证明：△4BD-MB4;⑵若4B=6,SC=10,求AD的长.

例5.（2023.浙江中考模拟）如图，在AABC中，ZACB=90°,CD1AB.

(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为—(不需证明)：

(2)已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长：

(3)在(2)的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系(如图2),

若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿

线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,

使以点B、P、Q为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

例6.(2022•陕西汉中•九年级期末)如图，C0是等腰直角A4BC斜边45的中线，以点。为顶点的NEZ加绕

点。旋转，角的两边分别与/C、5c的延长线相交，交点分别为点E、F,DF与AE交于点、M,DE与BC

交于点N,且NED尸=45。.⑴如图1,若CE=C尸，求证：DE=DF；(2)如图2,若CE/C77,求证：CDi=CECF;

(3)如图2,过。作DG1BC于点G,右CD=2,CF=,求DN的长.

图I图2

例7.(2023•浙江•九年级期末)⑴如图1,在“8。中，。为A8上一点，•求证：/ACD=/B.

(2)如图2,在中，E是48上一点，连接NC,EC.已知/E=4,NC=6,CD=9.求证：2AD=3EC.

(3)如图3,四边形48。内接于O,AC、8。相交于点E.已知。的半径为2,AE=CE,4B="AE,

BD=2平,求四边形48co的面积.

例8.(2022春•广东深圳•九年级校考期中)【基础巩固】

(1)如图1,在四边形/BCD中，对角线3D平分N/BC,ZADB=ZDCB,求证：BDi=BABC-,

【尝试应用】(2)如图2,四边形/BCD为平行四边形，尸在边上，=/尸，点E在胡延长线上,

连结所，BF,CF,若4EFB=ZDFC,BE=4,BF=5,求4D的长；

【拓展提高】(3)如图3,在A4BC中，。是BC上一点，连结/。，点£,尸分别在4c上，连结3E,

CE3AF

CE,EF,若DE=DC,ABEC=AAEF,BE=16,EF=7,宓=彳，求定的值

课后专项训练

1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形/BCD中，尸是。。上一点，BFLAC,垂足为E,—=△。斯

的面积为S「AAEB的面积为S2,则」的值等于（）

2.（2022•浙江衢州•统考中考真题）如图，在“3C中，48=NC,N8=36。.分别以点/,C为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧相交于点AE,作直线。£分别交/C,BC于点、F,G.以G为圆心，GC长为半

径画弧，交BC于点、H,连结则下列说法错误的是（）

A.AG=CGB.NB=2ZHABC.ACAH2BAGD.BGi=CGCB

3.（2023・湖北恩施•校考模拟预测）如图，在RtZUBC中，44c8=90。，CD1/8于。点，下列关系中不

正确的是（）

A.BCi=BDABB.CDi=ADBDC.ACi=CD-ABD.AC1-BC1=ADi-BDi

4.（2023・山东济南・统考中考真题）如图，在“BC中，AB=AC,NA4c=36。，以点C为圆心，以BC为

半径作弧交NC于点D,再分别以8,。为圆心，以大于之BD的长为半径作弧，两弧相交于点尸，作射线CP

交48于点E,连接DE.以下结论不正确的是（)

A.ABCE=36°B.BC=AEC.BE=聿-\D=

AC2S2

△BEC

5.（2023•云南临沧・统考三模）如图，在AABC中，。是48上的点，NB=ZACD,AC=1,4B=2,贝UA/CD

与△BCD的面积比为（）

6.（2023•山东东营・统考中考真题）如图，在△"C中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交ZC,

8c于点D,E；分别以点。，E为圆心，大于;。£的长为半径作弧，两弧交于点尸；作射线CF交于

点G,若/C=9,BC=6,ABCG的面积为8,则A/CG的面积为.

7.（2020•山西•统考中考真题）如图，在RtAABC中,ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD1AB,垂足为

D,E为BC的中点，/E与CO交于点尸，则。尸的长为.

C

8.（2022•河北邢台•校考二模）如图1,在41BC中，AB=AC,8c=24,tanC=W，点?为BC边上一

点，则点尸与点A的最短距离为.如图2,连接力尸，作乙4尸。，使得人尸。=乙8,尸。交NC于。，

则当AP=11时，/。的长为.

列结论：①CF平分N/CD；②A尸=2DF；③四边形/3CF是菱形；@ABi=AD-EF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

10.（2020•广东广州•统考中考真题）如图，正方形48co中，AA8C绕点A逆时针旋转到A4B'C',AB',AC

11.（2021・四川南充・中考真题）如图，在A4BC中，D为BC上一点、,BC=^3AB=3BD,则的值

为.

12.（2022•四川宜宾•九年级期末）如图，在AABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,

/DEC=ZB.(1)求证：AAEDc^AADC；(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.

13.（2022•江苏盐城•中考真题）如图，在A/8C与中，点。、。吩别在边8C、8c上,且

DF）RI"AD）R1

AACDM4CD,若,则•请从①谑=9；②谑=“；

③NR4O=48）。这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明.

14.（2023・湖南•统考中考真题）在中，ABAC=90°,ND是斜边3c上的高.

⑴证明：△4BD-;⑵若4B=6,BC=10,求8。的长.

15.（2023•宁夏•统考中考真题）综合与实践

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣

并展开探究.

探究发现：如图1,在zU8c中，44=36。，AB=AC.

（1）操作发现：将折叠，使边8。落在边A4上，点C的对应点是点£,折痕交/C于点。，连接DE,

DB,则乙。,设，C=1,BC=x,那么4E=（用含》的式子表示）；

（2）进一步探究发现：黔=军，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：骞=£二；

0C2^AC2

拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的是

黄金三角形.如图2,在菱形/BCD中，ABAD=72°,AB=\.求这个菱形较长对角线的长.

16.（2023•广东•九年级专题练习）定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足/1=/2,则称点尸

为这个三角形的“理想点”.⑴如图①，若点。是23C的边48的中点，AC=2*,48=4,试判断点。

是不是“3C的“理想点”，并说明理由；（2）如图②，在朋A4BC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点。

是^ABC的“理想点”，求CD的长.

17.（2022•江西・统考中考真题）如图，四边形48co为菱形，点E在NC的延长线上，ZACD=AABE.

⑴求证：“BCSA4EB；（2）当48=6,NC=4时，求/E的长.

18.（2022•湖北武汉•校考模拟预测）已知，点。在“3c的边5c上,连接AD.⑴如图1,若NR4D=NC.求

证：BAi=BDBC-,（2）如图2,ADVBC,BD=5,CD=3,tanABAC=i.求线段4D的长；（3）如图3,

必N分别是NC、上的两点，连接AGV交ND于点尸，当”=/C,BD：BA：BC=2:5:6时，若N//W=NC,

MP

直接写出诬的值______.

19.(2022・湖南长沙•校考三模)约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角

形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”.例如，如图1,在中，/。为边

上的中线，△48。与AABC相似，那么称“3C为关于边8C的“华益美三角”.

⑴如图2,在AABC中,

(2)如图3,已知“8C为关于边8C的“华益美三角"，点。是边的中点，以8。为直径的。。恰好

经过点A.①求证：直线C4与。。相切；②若。。的直径为2而，求线段的长;

⑶已知AABC为关于边BC的“华益美三角"，BC=4,ZB=30°,求AABC的面积.

2d(2022•浙江台州•统考一模)已知在nABC。，AB=2@6C=10,ZB=60°,E是边BC上的动点,

以AE为一边作。入EFG,且使得直线FG经过点D.

(1)如图1,EF与49相交于若H是EF的中点.①求证：GF=DF-,②若GFLCD,求GD的长;

(2)如图2,设AE=x,AG=y,当点E在边BC上移动时，始终保持NAEF=45。,

①求y关于X的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED,当△AE。是直角三角形时，求。尸的值.

图1图2

21.（2023•山西临汾•统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务.

规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的"倍，则称三角形为“〃倍角三角形”.当，=1时,

称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形"；当〃=2时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索

后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系.

如图，在“BC中，ABAC,/B,/C所对的边分别为a,b,c,若NBAC=2NB,则b-岳=6c.

下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：

证法1：如图1,作NB4c的平分线=/加O==

图1

.,/,////ACDCAD

.2BAC=2/B,ZBAD=ZCAD=^B.ZACD=^BCA,:.AACD”BCA'——=一=一

BCACAB

bxa-x

==

设。。=x,贝==q—x.\'AC=b,BC=a,AB=c

bi=ax,ai-ax=be42-62=be

证法2：如图2,延长◎到点。，使得4D=NB=c,连接AD,

图2

任务:⑴上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）.

（2）请补全证法2剩余的部分.

22.（2022・安徽•校联考三模）在“3C中，N4BC=2ZACB,BD平分N4BC.

（1）如图1,若4B=3,AC=5,求4。的长.（2）如图2,过A分别作/£工ZC交于£,N尸18。于

23.（2023春・山东淄博•八年级统考期末）如图，已知白48尸，点C,。在边上，连接尸C,PD,使

AADP=60°,且△/CPSAPQB.⑴请判定△尸CD的形状，并说明理由；⑵若NC=2,BD=3,求“8P的

面积.

24.（2023・湖南娄底•统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国

旗上的每颗星都是标准五角星.为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等.数学老师组织学生对五角星

进行了较深入的研究.延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星.如图，正五边形

/8CDE的边84DE的延长线相交于点£/及4厂的平分线交EF于点

…S

⑴求证：AEi=EF-EM.（2）^^=1,求/E的长.（3）求的值.