2024年吉林省长春市中考数学三模试卷（附答案解析）

2024年吉林省长春市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行.如图，将5

（单位：时）在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是

纽约伦敦巴黎北京汉城

IIIII

-50189

A.纽约时间7月26日14时30分

B.伦敦时间7月26日18时30分

C.北京时间7月27日3时30分

D.汉城时间7月26日3时30分

,与“数”字相对的面上的字是（）

C.素D.养

3.（3分）估计画一1的值在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

4.（3分）下列运算中，结果正确的是（

A.3n3-/=2nB.x2,x3=x6

C.（/y）2=x4y5D.x3y2-^x2—xy2

5.（3分）在下列现象中，用基本事实“间线段最短”来解释的是（）

C.会场摆直茶杯D.弯河道改直

6.（3分）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为加米，坡度i=袅，则大厅两层

之间的距离为（）

A.——zn米B.——m米C.——m米D.——米

1312135

7.（3分）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC<BC,要求用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一

个45。的//各小组经过激烈讨论后给出了三种方案:①作/ACB的平分线;②构造等腰直角三角形；

③分别作两个锐角的平分线，图1、图2、图3分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序

正确的是（）

8.（3分）将四个边长均为1的小正方形拼成型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一

个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数y=*（左>0,x>0）的图象上，则发的值为（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）分解因式：8f-2x=.

10.（3分）若抛物线y=/-2x-aQ为常数）与x轴有两个公共点，则a的取值范围为.

11.（3分）一件衣服的进价为a元，商家按进价提高30%标价，再按九折销售，则商家的利润是

元.

12.（3分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则/I的度数为度.

13.（3分）将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形E尸GH如图摆放，使得C、E两点刚好重

合，且3、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为.

14.（3分）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上，其纵向截面如图①，左右轮廓线AC、8。都可以近

似看成是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为4V5on,水杯高度为12CM,杯口直径为以杯底

的中点。为原点、所在直线为x轴、A3的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，现将水杯

绕点A倾斜倒出部分水，如图②，使得杯中水面CE〃脑V,当倾斜角/BAN=30°时，水面宽度CE为

cm.

图1图2

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：[（x+2y）2-（x+2y）（x-2y）]:4y,其中x=l,y=底?L

16.（6分）在龙年的元旦联欢会上，9年1班进行游戏活动，活动规则如下：将3张正面标有龙、蛇、马

的纸牌（纸牌除正面文字不同外，其余均相同）洗匀后，背面朝上放在桌上，参与者每次随机从中抽取

两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，则需表演节目，其他情况做游戏，请用画树状图（或列表）的方法

说明小桐表演节目的概率.

17.（6分）从2007年到2024年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列.2024年某次

7

“G”等级列车行驶420切7的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等级列车的［倍，所用的时间比

2007年普通“Z”等级列车少2小时.求某次“G”等级列车2024年的平均速度.

18.（7分）如图，四边形ABC。是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点£是的中点，连结

OE,过点E作EfUBC于点F过点。作0G_L8C于点G.

（1）求证：四边形EFG。是矩形;

（2）若四边形A5CZ）是菱形，AB=10,BD=\6,则EF的长为

19.（7分）药物研发机构为对比研究某种药物对甲、乙两种流感（简称甲流、乙流）的疗效，需要检测患

者体内的药物浓度m和病毒载量n两个指标，该机构分别在服用该药物的甲流患者和乙流患者中，各

随机选取15人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图:

病毒载量n

5

4

★服用药物的甲流患者

3▲服用药物的乙流患者

2

1

0

1234567891011药物浓度m

根据以上信息，回答下列问题:

（1）在这30名被调查者中，药物浓度机不低于7的有人；

（2）将15名服用药物的甲流患者的病毒载量〃的方差记作贷，15名服用药物的乙流患者的病毒载量”

的方差记作羟，则S/Si（填“>”、"=”或“<”）；

（3）将“药物浓度IWmWZ,病毒载量作为该药物“有效”的依据，药物正式投入市场后，

请你估计服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数.

20.（7分）图①、图②、图③均是2X2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、。均在格

点上，点8在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

图②图③

(1)在图①中，作出点B关于点。的对称点C；

(2)在图②中，已知点。是线段上的任意一点，作出线段0G,使得0G=。。；

(3)在图③中，已知点M、N均在格点上，画出线段EF,使线段£尸与线段A8关于直线MN成轴对

称.

21.(8分)某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，煮沸模式下将水加热至100°C后自动

进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于40°C,水壶不加热；若水温降至10°C,

水壶开始加热，水温达到100。C时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作，某数学小组对壶中水

量为工时水温与时间/(分)进行了观测和记录，以下为记录的部分数据.

煮沸模式保温模式

t(分)04m1012141618202224

T(℃)20601008067575044406080

对以上实验数据进行分析后，该小组发现：水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，

只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间/的一次函数.

(1)表中“2的值为；

(2)求在煮沸模式下壶中水量为1L时，水温T与时间f之间的函数关系式，并写出自变量/的取值范

围：

(3)某天西西距离从家出发去学校仅有20分钟时，往水壶中注入1L温度为10°C的水，当水加热至

100°C后水壶进入保温模式，他在出发前(填“能”或“不能”)喝到低于40°C的水.

22.(9分)【问题呈现】在数学活动课上，几位同学就“边边角”为什么不能证明两个三角形全等展开了

讨论，赵老师在黑板上给出了这样的例子：

如图①，在锐角△ABC和钝角△OEF中，AC=DF,AB=DE,ZC=ZF,显然这两个三角形不全等.

【问题解决】小夏通过度量，猜测此时N2与NE的数量关系为NB+NE=180°,在验证这一数量关系

时，他想到了构造三角形“边角边”的全等条件.如图②，他在△ABC的8c边上截取CG=ER连接

AG.请你结合上述思路，补全证明过程.

证明：在△ABC的8C边上截取CG=EF,连接AG.

【结论应用】在△ABC中，ZA=30°,AC=2®BC=2,则NB的大小为.

【拓展提升】如图③，在△ABC中，/A4c是钝角，点E、D分别在边AB、AC上，连接。E,延长

CA至点R使得DF=BE,连接8R延长DE交BF于点H,若NBHE=/FAB,BF=6,当H是BF

的三等分点时，m的长为.

23.(10分)如图，在正方形ABCZ)中，AB=6,动点尸从点A出发，沿折线AB-BC以每秒2个单位长

度的速度匀速运动，到达点C停止，连结DP交AC于点E,以DP为直径作。。交EC于点F,连接

DF、PF.设点尸的运动时间为f秒.

(1)当点P在边AB上运动时，△。尸尸的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由；

(2)当/=］时，挈丝&的值为____________________；

SAFPD

(3)在点P整个运动过程中，求圆心。运动轨迹的长度；

(4)作点尸关于。P所在直线的对称点〃，连结,当线段恰好与正方形ABC。的一边平

24.(12分)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点尸在抛物线丫=方/+3%上.设点尸的横坐标为

m,记抛物线对称轴与x轴的交点为D.

(1)求点D的坐标；

Q7

(2)若时，-^<y<2,则根的取值范围为；

(3)点M的横坐标为-3m,且PM//x轴,将线段PM的中点绕点P逆时针旋转90°得到点Q,以PM、

PQ为邻边作矩形PMNQ.

①当点N落在抛物线时，求PM的长；

②设矩形PMNQ的对称中心为点R,当点R位于抛物线的对称轴右侧时，连接DR,当。R垂直于矩形

PMNQ的一条对角线时，直接写出机的值.

2024年吉林省长春市中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行.如图，将5个城市的国际标准时间

（单位：时）在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（）

纽约伦敦巴黎北京汉城

_1_____________1_1__________________L_J_____>

-50189

A.纽约时间7月26日14时30分

B.伦敦时间7月26日18时30分

C.北京时间7月27日3时30分

D.汉城时间7月26日3时30分

【解答】解：A.由题给时间数轴可知，纽约比巴黎晚6小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对

应的纽约时间7月26日13时30分，故A错误；

B.由题给时间数轴可知，伦敦比巴黎晚1小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的伦敦时间7

月26日18时30分，故8正确；

C.由题给时间数轴可知，北京比巴黎早7小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的北京时间7

月27日2时30分，故C错误；

D.由题给时间数轴可知，汉城比巴黎早8小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的汉城时间7

月27日3时30分，故。错误；

故选：B.

2.（3分）如图，是正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“数”字相对的面上的字是（）

【解答】解:由正方体的展开图的特点可知“数”与“素”相对，“学”与“心”相对，“核”与“养”

相对，

故选：C.

3.（3分）估计画一1的值在（

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

［解答］解：•.•回

.1.6<746<7,

.,.5<V46-1<6,

即闻一1在5和6之间.

故选：B.

4.（3分）下列运算中，结果正确的是（）

A.3TT3-f=2TtB.x2,x3=x6

C.（X2J）2=%4yD.白2+/=孙2

【解答】解：：3常和/不是同类项,

选项A不符合题意；

.*x2,x3=x5,

,.选项B不符合题意;

.*（$y）2=x4y2,

•.选项C不符合题意;

x3y2jrx2=xy2,

,.选项D符合题意，

故选：D.

5.（3分）在下列现象中，用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（）

平板弹墨线

C.

【解答】解：A、是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意;

B,是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意;

C、是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意;

D.是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项符合题意.

故选：D.

6.（3分）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为加米，坡度2=金，则大厅两层

之间的距离为（）

551212

A.-m米B.—米C.-m米D.一zn米

1312135

【解答】解：设大厅两层之间的距离为5x米，

:扶梯的坡度i=5：12,

扶梯的水平宽度为12x米，

由勾股定理得：（5无）2+（12x）2=汴，

解得：彳=瑞（负值舍去）,

大厅两层之间的距离为总根米，

13

故选：A.

7.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC<BC,要求用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一

个45。的/a.各小组经过激烈讨论后给出了三种方案:①作/AC8的平分线；②构造等腰直角三角形；

③分别作两个锐角的平分线，图1、图2、图3分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序

正确的是（）

【解答】解：①作NAC8的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两

边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和此点,

沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线.

故对应图2所示.

②构造等腰直角三角形：以点C为圆心，以AC为半径画圆，交BC于点。，故△AC。为等腰直角三角

形，故对应图3所示.

③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图1所示.

故选：D.

8.（3分）将四个边长均为1的小正方形拼成“厂’型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一

个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数y=*（左>0,x>0）的图象上，则左的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：过点P作轴于点E,

依题意得：PD=3,AD=lfAC=2,BC=1,

在RdABC中，AC=2,BC=1,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=V5,

9：ZDAC=ZAOD=90°,

：.ZOAD+ZADO=90°,ZOAD-^-ZBAC=90°,

・•・ZADO=ZBAC,

又•・・NAO0=NAC8=9O°,

：.ADAO^AABC,

：.OD：AC=OA,BC=AD：AB,

即0。：2=OA：1=1：V5,

・二八2/5CA/5

..OD=-g-,OA=-y,

同理可证：△DAOsXPDE,

：.OD：PE=OA：DE=AD：PD,

JmV5

即---:PE——:DE=1：3,

55

.口口6西3店

..PE=—g—,DE=—g—,

OE=OD+DE=竽+嚓=巡，

，点尸的坐标为，Vs）,

・・,点P在反比例函数产］的图象上,

k=xV5=6.

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）分解因式：8x2-2x=2A-（4X-1）.

【解答】解：原式=2x（4尤-1）,

故答案为：2x（4x-1）.

10.（3分）若抛物线y=d-2x-a（a为常数）与x轴有两个公共点，则a的取值范围为a〉-1

【解答】解：由题意，•••抛物线y=/-2x-a与无轴有两个公共点，

A=4+4a>0.

・.a-1.

故答案为：a>~1.

n.（3分）一件衣服的进价为〃元，商家按进价提高30%标价，再按九折销售，则商家的利润是一0.17〃

元.

9

【解答】解：根据题意知商家的利润是（1+30%）・〃・一-a=0Ala（兀），

10

故答案为：0.17a.

12.（3分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则N（的度数为75度.

【解答】解：•.♦/2=60°,Z3=45°,

：./4=180°-60°-45°=75°,

'：a//b,

.•.Z1=Z4=75°,

13.（3分）将边长为2的小正方形ABC。和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重

合，且3、C、X三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为

【解答】解：由题意可知，AB=BC=2,CF=CH=HG=4,

取CH的中点。，则OC=OH=2,。2=4,

连接。4,OF,OG,

由勾股定理可得：。4=^JAB2+OB2=2V5,OF=OG=26,

：.OA=OF=OG,

即：点。为A、F、G三点所作圆的圆心,

则该圆的半径为2遍，

故答案为：2花.

14.(3分)一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上，其纵向截面如图①，左右轮廓线AC、8。都可以近

似看成是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为4次"1,水杯高度为12on,杯口直径为8Wcm,以杯底

AB的中点。为原点、MN所在直线为x轴、AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，现将水杯

绕点A倾斜倒出部分水，如图②，使得杯中水面CE〃MN,当倾斜角/BAN=30°时，水面宽度CE为

【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为：y=ax2+b,

把点8(2V3,0),D(4V3,12)代入y=a?+c中，

彳日112a+c=0

Wl48a+c=12'

解得k=可.

lc=-4

.".y—^.v2-4,

由题意，NDCE=NBAN=3Q°,设BE与y轴的交点坐标P,CO与y轴交于点。,

在RtZXCPQ中，

CQ=4V5,NPCQ=30°,

二产。=4,

：.PO=S,

：.P(0,8),

，直线CE的解析式为：y=kx+m,

将C(-4b，12),P(0,8),代入,

得j—4次人+m=12,

=8

・・・直线CE的解析式为：尸一生+8.

又令=-4=一号x+8,

.\x=-或％=3V5.

・••点E的横坐标为3V3.

当%=38时，y=一模X3V5+8=5,

：.E(3V3,5).

CE=J(3V3+4V3)2+(5-12)2=14(cm).

故答案为：14.

三、解答题(本大题共10小题，共78分)

15.(6分)先化简，再求值：[(x+2y)2-(x+2y)(x-2y)]+4y,其中x=l,y=弓

【解答】解：[(x+2y)2-(x+2y)(x-2y)4y

=[x2+4xy+4y2-(x2-4y2)]^-4y

=(W+4盯+4/-/+4y2)

=(4孙+8/)+4y

=x+2y,

当x=l,y=与i时，原式=1+2X与i=l+岔-1=飓.

16.(6分)在龙年的元旦联欢会上，9年1班进行游戏活动，活动规则如下：将3张正面标有龙、蛇、马

的纸牌(纸牌除正面文字不同外，其余均相同)洗匀后，背面朝上放在桌上，参与者每次随机从中抽取

两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，则需表演节目，其他情况做游戏，请用画树状图(或列表)的方法

说明小桐表演节目的概率.

【解答】解:列表如下:

龙蛇马

龙(龙，蛇)(龙，马)

蛇(蛇，龙)(蛇,马)

马(马，龙)(马，蛇)

共有6种等可能的结果，其中小桐抽到“龙”和“马”的结果有2种,

21

・・・小桐表演节目的概率为二=

63

故答案为：

17.（6分）从2007年到2024年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列.2024年某次

一7

“G”等级列车行驶420批的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等级列车的］倍，所用的时间比

2007年普通等级列车少2小时.求某次“G”等级列车2024年的平均速度.

7

【解答】解:设2007年普通Z等级列车的平均速度为xkm/h,则2024年G等级列车平均速度为不km/h,

根据题意得，

420420

-—+2=-----,

/x

.180420

即---+2=------，

xx

解得x=120,

经检验，I=120是原方程的解，且符合题意，

77

=-X120=280,

33

答：某次G等级列车2024年的平均速度为280kmlh.

18.（7分）如图，四边形A3CD是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E是AB的中点，连结

OE,过点E作EFLBC于点尸，过点。作0GL5C于点G.

（1）求证：四边形EFGO是矩形；

（2）若四边形A8CD是菱形，AB=10,BD=T6,则跖的长为4.8

【解答】（1）证明：・・•四边形A8CD是平行四边形,

：.OA=OC,

・・,点七是A5的中点,

：.AE^BE.

：.OE//BC,

：.OE//FG,

•・・Eb_LBC于点R0G_L8C于点G,

J.EF//OG,

・・・四边形EFGO是平行四边形，

VEFXBC,

：.ZEFG=90°,

・•・四边形EFGO是矩形；

(2)解：,・•四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AB=BC,OC=|AC,OB=%D,

VAB=10,50=16,

・・・0B=8,BC=10f

在RtABOC中，0C=yjBC2-OB2=V102-82=6,

11

：.-BC-OG=-0C-OB,

22

11

即一xlOXOG=Wx6X8,

22

・•・OG=4.8,

丁四边形MGO是矩形，

：.EF=OG=4.8f

故答案为：4.8.

19.(7分)药物研发机构为对比研究某种药物对甲、乙两种流感(简称甲流、乙流)的疗效，需要检测患

者体内的药物浓度机和病毒载量〃两个指标，该机构分别在服用该药物的甲流患者和乙流患者中，各

随机选取15人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图:

5

4

★服用药物的甲流患者

3▲服用药物的乙流患者

2

1

0

1234567891011药物浓度m

根据以上信息，回答下列问题:

(1)在这30名被调查者中，药物浓度加不低于7的有4人;

(2)将15名服用药物的甲流患者的病毒载量〃的方差记作贷，15名服用药物的乙流患者的病毒载量〃

的方差记作受，则*<S?(填”或“<”)；

(3)将“药物浓度lWmW7,病毒载量1W“W2”作为该药物“有效”的依据，药物正式投入市场后，

请你估计服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数.

【解答】解：(1)由统计图可得在30名被调查者中，药物浓度机不低于7的有4人；

故答案为：4；

(2)从统计图中可以看出，甲流感患者的病毒载量比乙流感患者的病毒载量波动性要小，所以*VS/；

故答案为：V;

(3)通过统计图可以得到“药物浓度\WmW7,病毒载量1W〃W2”的甲流患者占被调查甲流患者人

数的比率为7+15=

7

.•.有600=280(人)，

答：服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数为280人.

20.(7分)图①、图②、图③均是2X2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、。均在格

点上，点2在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)在图①中，作出点8关于点。的对称点C；

(2)在图②中，已知点O是线段AB上的任意一点，作出线段OG,使得OG=。。；

(3)在图③中，已知点M、N均在格点上，画出线段£尸，使线段EF与线段A2关于直线跖V成轴对

称.

【解答】解：(1)如图①所示，连接30并延长，与网格的交点即为点C,连接BC,

点C即为所求作的点.

(2)如图②所示，分别连接AO,BO,并延长，与网格分别交于点A'和点夕，连接A'B',连接

。。并延长与交A'B'于点G,

0G即为所求作的线段.

(3)如图③，

如图所示，线段跖即为所求作的线段.

21.(8分)某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，煮沸模式下将水加热至100°C后自动

进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于40°C,水壶不加热；若水温降至10°C,

水壶开始加热，水温达到100°C时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作，某数学小组对壶中水

只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数.

(1)表中7〃的值为8；

(2)求在煮沸模式下壶中水量为1L时，水温T与时间r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范

围：

(3)某天西西距离从家出发去学校仅有20分钟时，往水壶中注入1L温度为10°C的水，当水加热至

100°C后水壶进入保温模式，他在出发前不能(填“能”或“不能”)喝到低于40°C的水.

【解答】解：(1)解：租=(100—20)一与手=8.

故答案为：8；

(2)设函数解析式为T=k+b,则有：

C20=b

160=4k+b'

解得:C：20>

水温T与时间f之间的函数关系式T=10r+20,

由(1)可得根=8,即0W/W8；

(3)由图表可知：

在煮沸模式下，水升温10°C需要1分钟，则温度为10°C的水，当水加热至100°C需要9分钟，

在保温模式下，水温从100°C下降到40°C需用时20-8=12分钟，

所以，从往水壶中注入温度为10°C的水，到下降到40°C共需9+12=21分钟，超过了20分钟，

即他在出发前不能喝到低于40°C的水.

故答案为：不能.

22.(9分)【问题呈现】在数学活动课上，几位同学就“边边角”为什么不能证明两个三角形全等展开了

讨论，赵老师在黑板上给出了这样的例子：

如图①，在锐角△ABC和钝角中，AC=DF,AB=DE,NC=/F,显然这两个三角形不全等.

【问题解决】小夏通过度量，猜测此时与/E的数量关系为N2+NE=180°,在验证这一数量关系

时，他想到了构造三角形“边角边”的全等条件.如图②，他在△ABC的8c边上截取CG=EF,连接

AG.请你结合上述思路，补全证明过程.

证明：在△ABC的8C边上截取CG=ER连接AG.

【结论应用】在△ABC中，ZA=30°,AC=2V3,BC=2,则NB的大小为60°或120°.

【拓展提升】如图③，在△A8C中，/8AC是钝角，点E、。分别在边AB、AC上，连接。E,延长

CA至点R使得DF=BE,连接2R延长。£交2P于点"若NBHE=NFAB,BF=6,当H是BF

的三等分点时，的长为4.

【解答】解：【问题解决】

证明：在△ABC的BC边上截取CG=ER连接AG.

VZC=ZF,AC^DF,

：.ACAG^/\FDE(SAS).

：.AG=DE,ZAGC=ZE.

9：AB=DE,贝！MB=AG=QE,

：.ZB=ZAGB,

VZAGB+ZAGC=180°,

ZB+ZE=180°.

【结论应用】过点C作SLAB,

当NB是锐角时，如图1,

1__________

：.CD=江=a,则BD=VBC2-CD2=1,

Dn-1

cosZ-B=-2»则NB=60°；

当N5是钝角时，如图2,

图2

VZA=30°,CD.LABf

i__________

ACD=^AC=V3,贝ijB。=VBC2-CD2=1,

:.cos/JJBD=瓦=夕则NC3O=60°,

：.ZABC=120°,

综上，ZB=60°或120°,

故答案为：60°或120°；

【拓展提升】如图3,在上截取EG=fW,连接8G.

F

H

A

图3

:/BHE=/FAB,ZBHE=ZADE+ZF,ZFAB=ZADE+ZAED,

：./F=NAED=ZBEH,

又；BE=DF,EG=FH,

.MBEG沿ADFH(SAS)

：.BG=DH,ZBGE=ZDHF,

'：ZBHE+ZDHF=1SO°,ZBGH+ZBGE=l?,Qa,

:./BHE=NBGH,

:.BG=BH=DH,即。

:点〃是8尸的三等分点，BF=6,

：.HF=jBF=2或HF=^BF=4,

当狼=2时，DH=BH=4,

当HF=4时，DH=BH=2,此时BG=DH=2,EG=FH=4,DH<GE,此时点G不在线段上，而在

EH的延长线上，如图4,

图4

,:BG=BH=DH=2,则△BHG为等腰三角形，

...N3HG为锐角，则为钝角，则此时N8AC为锐角，不符合题意；

故答案为：4.

23.（10分）如图，在正方形ABC。中，48=6,动点尸从点A出发，沿折线AB-BC以每秒2个单位长

度的速度匀速运动，到达点C停止，连结DP交AC于点E,以DP为直径作。。交EC于点F,连接

DF、PF.设点P的运动时间为f秒.

(1)当点尸在边AB上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由；

(2)当f=l时，22的值为|；

S"PD一5一

(3)在点P整个运动过程中，求圆心。运动轨迹的长度；

(4)作点尸关于。尸所在直线的对称点F,连结EF,当线段EF恰好与正方形ABC。的一边平

【解答】(1)证明：•••四边形A8C。是正方形，AC是对角线,

4c=45°,

在O。中，价所对的圆周角是和NOPR

/DAF=ZDPF,

：.ZDPF^45°,

又：。尸是。。的直径，

:./DFP=90°,

；./FDP=/DPF=45°,

ADFP是等腰直角三角形；

(2)解:当/=1时，AP=2,

:四边形ABC。是正方形，AB=6,

：.AD=AB=6,PD=V22+62=2^10,

•••△QPP是等腰直角三角形，

：.PF=DF=PD-s讥45°=2V5,

1

.S“PD=/MD=2X6=3

,,SAFPD|PFxDF2V5X2V55'

3

故答案为：

(3)解：连接3D交AC于点/,取A。、CD的中点反、J,

APB

图1

当点尸与点A重合时，点。与点”重合；

当点尸与点3重合时，点。与点/重合；

:点。是。尸的中点，

：.H0是ADAP的中位线，

...当点尸在边A8上运动时，圆心。运动轨迹是印，

同理，当点P在边BC上运动时，圆心。运动轨迹是〃，

1

・・・圆心0运动轨迹是H/+〃=打48+8C)=6,

・・・圆心O运动轨迹的长度为6；

(4)解：如图2,当点尸在边A8上运动时，EF'//AB,

APB

图2

：.ZGEA=ZPAE=45°,

VZZ)AP=90°,

：.ZEGA=90°,ZGEA=ZGAE=45°,

:・GE=GA,

设GE=GA=〃，

'.AE=y/2a,

i

由对称的性质知乙FED=乙GED=J(180°-45°)=67.5°,

：・NAEP=NFED=67.5°,ZAPE=180°-45°-67.5°=67.5°,

/.ZAEP=ZAPE=61.5a，

•\AP—AE—y]2a,

9

：EG//APf

:ADGEsADAP,

GEDG…a6-CL

—=，即-;。=---，

APADV2a6

解得=6A/2—6,

•'•AP=6V2—6,

.•.C=6A/1-6=3V2-3；

如图3,当点尸在边BC上运动时，EF'//BC,

同理，CP=6V2-6,

：.AB+BP=12-(6V2-6)=18-6V2,

：.t=18-6^=9