苏教版九年级上册数学第一章一元二次方程电子课件文档

1.1一元二次方程1.1一元二次方程【问题情境】正方形桌面的面积是2m2．问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝2．1.1一元二次方程【数学活动】问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m，可得：x(19－2x)＝24．1.1一元二次方程【数学活动】问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5（1＋x）2万册，可得：5（1＋x）2＝9.8．1.1一元二次方程【思考与探索】如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m．设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？5m(x－1)mx2＋（x－1）2＝25．xm1.1一元二次方程【尝试与交流】方程x2＝2、x(19－2x)＝24、5（1＋x）2＝9.8、x2＋（x－1）2＝25有哪些共同的特征？它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．1.1一元二次方程【概念】它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．为什么？任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的一般形式.其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数．1.1一元二次方程【练习】课本P7练习1、2．1.1一元二次方程【小结】①实际问题一元二次方程．②一元二次方程的概念．【课后作业】课本习题1.1.1.1一元二次方程1.2一元二次方程的解法（1）1.2一元二次方程的解法（1）【问题情境】如何解方程x2＝2呢？根据平方根的意义，x是2的平方根，即x＝

2.此一元二次方程有两个根，它们分别为x1＝2，x2=.21.2一元二次方程的解法（1）【概念】解方程x2＝2．解：x1＝2，x2=.2像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.1.2一元二次方程的解法（1）【例题精讲】例1解下列方程：（1）x2－4＝0；（2）4x2－1＝0．解：（1）移项，得x2＝4，（2）移项，得4x2＝1，∵x是4的平方根，∴x＝±2．两边都除以4，得21x＝4．即x＝2，x＝－2．112∵x是4的平方根，∴x＝1．121即x1＝，x2＝

．221.2一元二次方程的解法（1）【例题精讲】例2解方程：（x＋1）2＝2.分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：∵x＋1是2的平方根，∴x＋1＝

2，即x1＝－1＋2，x2＝－1－2.1.2一元二次方程的解法（1）【总结反思】1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.1.2【练习】一元二次方程的解法（1）课本练习P10练习1、2．1.2一元二次方程的解法（1）【小结】1．2．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；感受转化的数学思想．（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）．【课后作业】课本习题1.2，P19第1题．1.2一元二次方程的解法（1）1.2一元二次方程的解法（2）1.2一元二次方程的解法（2）【问题情境】解一元二次方程：x2＝5；(x＋3)2＝5.你用的是什么方法？这两个方程的解法有相似之处吗？你会解方程x2＋6x＋4＝0吗？1.2一元二次方程的解法（2）【数学活动1】比较：方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5．怎样解方程x2＋6x＋4＝0？解方程x2＋6x＋4＝0的关键是什么？1.2一元二次方程的解法（2）【数学活动2】填空：(1)x2＋2x＋＝(x＋)2；(2)x2－3x＋＝(x－)2．你发现了什么规律？1.2一元二次方程的解法（2）【概念】解方程x2＋6x＋4＝0的步骤是什么？把一个一元二次方程变形为（x＋h）2＝k(h、k为常数)的形式，当k≥0时，运用直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.1.2一元二次方程的解法（2）【例题精讲】解下列方程：（1）x2－4x＋3＝0；（2）x2＋3x－1＝0．1.2一元二次方程的解法（2）【数学实验室】1.2一元二次方程的解法（2）【练习】课本练习P13练习1、2．1.2一元二次方程的解法（2）【小结】①用配方法解一元二次方程；②感受转化的数学思想．【课后作业】课本习题1.2，P19第2题．1.2一元二次方程的解法（2）1.2一元二次方程的解法（3）1.2一元二次方程的解法（3）【问题情境】用配方法解下列方程：(1)x2－6x－16＝0；(2)x2＋3x－2＝0．1.2一元二次方程的解法（3）【例题精讲】例4解方程2x2－5x＋2＝0.25解：两边都除以2，得xx10．22522移项，得xx1．配方，得25525xx1，2416592x．41653441开方，得x．∴x12，x2

．21.2一元二次方程的解法（3）【例题精讲】例5解方程－3x2＋4x＋1＝0．241解：两边都除以－3，得xx0，33移项，得24133xx．421222xx2，配方，得3333

272x．392733开方，得x．∴2727．3333xx12，1.2一元二次方程的解法（3）【总结反思】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：（1）系数化为1．（2）移项．（3）配方．（4）开方．（5）求解．（6）定根．1.2一元二次方程的解法（3）【练习】课本练习P14练习．1.2一元二次方程的解法（3）【小结】1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？2．感受转化的数学思想．二次项系数不为1二次项系数化为1【课后作业】课本习题1.2，P20第3题．1.2一元二次方程的解法（3）1.2一元二次方程的解法（4）1.2一元二次方程的解法（4）【问题情境】用配方法解下列一元二次方程：x2＋2x－3＝0．你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)吗？1.2一元二次方程的解法（4）【思考与探索】axbxca20(0)．解：因为a≠0，所以方程两边都除以a，得2bcxx0．aa2bcaa移项，得xx．22配方，得2bbcbxx，aaaa2222即bbac424aax224aa．1.2一元二次方程的解法（4）【思考与探索】bbac224x24aa2．∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，2bbac4x2．24aabbac24即x．22aabbac24x．2a1.2一元二次方程的解法（4）【概念】一般地，对于一元二次方程，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法.1.2一元二次方程的解法（4）【反思】2当bac40时，方程有实数根吗？1.2一元二次方程的解法（4）【例题精讲】例6解下列方程：（1）x2＋3x＋2＝0；（2）2(x2－2)＝7x.【练习】课本练习P16练习．1.2一元二次方程的解法（4）【小结】用公式法解一元二次方程的一般步骤：1．把方程化成一般形式，并写出a、b、c2．求出bac24的值.的值，特别注意:当bac240时没有实数根．3．4．写出方程的解：xx12、．代入求根公式：．【课后作业】课本习题1.2，P20第4题．1.2一元二次方程的解法（4）1.2一元二次方程的解法（5）1.2一元二次方程的解法（5）【回顾复习】用公式法解一元二次方程的一般步骤：1．把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值.2．求出b2－4ac的值，特别注意：当b2－4ac＜0时没有实数根．3．代入求根公式：．4．写出方程的解：x1、x2．1.2一元二次方程的解法（5）【例题精讲】例7解下列方程：(1)x2＋x－1＝0；(2)xx22330；(3)2x2－2x＋1＝0．1.2一元二次方程的解法（5）【总结反思】一元二次方程根的情况：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.根的判别式1.2一元二次方程的解法（5）【例题精讲】1．不解方程，判别下列方程根的情况．(1)x2＋3x－1＝0；(2)2y2－3y＋4＝0．2．实数根，则k的取值范围是(B)．A．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有k≤－1；B．k≥－1；C．k＜－1；D．k＞－1．1.2一元二次方程的解法（5）【练习】课本练习P17练习1、2．1.2一元二次方程的解法（5）【小结】1．什么是一元二次方程根的判别式？2．一元二次方程根有几种情况？【课后作业】课本习题1.2，P20第7、9题．1.2一元二次方程的解法（6）1.2一元二次方程的解法（6）【问题情境】如何解方程x2－x=0．既可以用配方法解，也可以用公式法来解.解：左边分解因式，得x(x－1)＝0，此时x和x－1两个因式中必有一个为0，即x＝0或x－1＝0，x1＝0，x2＝1．∴1.2一元二次方程的解法（6）【概念】∵x(x－1)＝0，此时x和x－1两个因式中必有一个为0，即x＝0或x－1＝0，x1＝0，x2＝1.∴这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．如果一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积二次方程就可用因式分解法来求解．，那么这样的一元1.2一元二次方程的解法（6）【例题精讲】例8解下列方程：（1）x2＝4x；（2）x＋3－x(x＋3)＝0．1.2一元二次方程的解法（6）【例题精讲】例9解方程(2x－1)2－x2＝0.1.2一元二次方程的解法（6）【观察与思考】解方程(x＋2)2＝4（x＋2）.解法1：原方程可变为解法2：原方程两边都（x＋2）2－4(x＋2)＝0，除以（x＋2），得(x＋2)(x－2)＝0．x＋2＝4．x＋2＝0或x－2＝0．所以x＝2．所以x1＝－2,x2＝2．思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？1.2一元二次方程的解法（6）【练习】课本练习P19练习1、2．1.2一元二次方程的解法（6）【小结】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；（3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．1.2一元二次方程的解法（6）【课后作业】课本习题1.2，P20第5题．1.3一元二次方程的根与系数的关系1.3一元二次方程的根与系数的关系【探索发现】观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？axbxc20x1x2212两根的积与xx320常数项相等，2－1－2两根的和与一次项系数xx320223xx560xx2560互为相反数．－2－3xx230031.3一元二次方程的根与系数的关系【解释规律】你能解释刚才的发现吗？一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．则bbacbbac2244xx12，22aabbacbbac2244xx12．22aa1.3一元二次方程的根与系数的关系bbacbbac＋2244xx12＋＝＋22aabbacbbac2244＝2a2b＝2ab＝．a1.3一元二次方程的根与系数的关系22bbacbbac44xx12＝22aa22bbac4＝24a4ac＝24ac＝．a1.3一元二次方程的根与系数的关系【总结发现】如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），的两个根分别x1、x2，那么：bcx1x2

，xx12

．aa1.3一元二次方程的根与系数的关系【例题精讲】例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1.需要解方程吗？1.3【尝试与交流】一元二次方程的根与系数的关系小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程x2－和23．x＝0的两根是23你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？1.3一元二次方程的根与系数的关系【练习】课本练习P23练习1、2．1.3一元二次方程的根与系数的关系【小结】1．一元二次方程根与系数的关系是什么?2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；3．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.1.3一元二次方程的根与系数的关系【课后作业】课本习题1.3．1.4用一元二次方解决问题(1)1.4【问题1】用一元二次方程解决问题（1）用一根长22cm的铁丝：(1)能否围成面积是30cm2的矩形？(2)能否围成面积是32cm2的矩形?解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是（11－x）cm．(1)根据题意，得xx(11)30，即xx211300．解这个方程，得x15，x26．当x15时，116x；当x26时，115x．答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形.1.4用一元二次方程解决问题（1）用一根长22cm的铁丝：(1)能否围成面积是30cm2的矩形？(2)能否围成面积是32cm2的矩形？(2)根据题意，得即因为bac224(11)413212112870，xx(11)32，xx211320．所以此方程没有实数解.答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形.1.4用一元二次方程解决问题（1）【问题2】某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？分析：如果设平均每个月增长的百分率为x，那么：7月份的利润是2500(1＋x)元，8月份的利润是2500(1＋x)2元．解：设平均每个月增长的百分率是x．根据题意得2500(1＋x)2＝3600．解这个方程，得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2．(不合题意,舍去)答：平均每个月增长的百分率是20％.1.4用一元二次方程解决问题（1）【练习】课本练习P25练习．1.4用一元二次方程解决问题（1）【小结】①用一元二次方程解决应用题的基本步骤；②怎样去分析问题？未知数未知量方程【课后作业】课本习题1.4第1、2、3、4、5、6题．1.4用一元二次方程解决问题(2)1.4用一元二次方程解决问题（2）【回顾】解应用题的一般步骤．第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．1.4用一元二次方程解决问题（2）【问题3】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2x件衬衫．根据“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利＝1250元”，列出方程．1.4用一元二次方程解决问题（2）【问题4】某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？1.4用一元二次方程解决问题（2）【练习】课本练习P27练习．1.4用一元二次方程解决问题（用一元二次方程解决问题2）【小结】①用一元二次方程解决应用题的基本步骤；②怎样去分析问题？未知数未知量方程【课后作业】课本习题1.4第7、8题．1.4用一元二次方程解决问题(3)1.4用一元二次方程解决问题（3）【回顾】解应用题的一般步骤．第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．1.4用一元二次方程解决问题（3）【问题5】如图，某海关缉私艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的