初中数学中考复习讲义练习：阿氏圆中的双线段模型与最值问题

阿氏圆中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

P动点

A

圆心

“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PABs/iCAP推出PA2=PB・PC,即：半径的平

方=原有线段x构造线段。

【模型展示】

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(k^l),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

BO

(1)角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是NBAC的角平分线，WJ—=—

ACDC

SABD_BDSABDABxDEAB即ABDB

，，

SAcn~CDSAcn-ACxDF~AC'~AC~^C

(2)外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则—=—.

ACDC

E

A/

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD也Z^AED(SAS),CD二ED且AD

平分皿艮则翳整gpAB=DB

ACDC

接下来开始证明步骤:

如图，PA：PB=k，作/APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，"=—=k,故M点为定

MBPB

点，即NAPB的角平分线交AB于定点；

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，—=—故N点为定点，即/APB

NBPB

外角平分线交直线AB于定点；

又NMPN=90。，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

【精典例题】

1、如图，抛物线y=G2+ZU+C与X轴交于A(JL0),3两点(点3在点A的左侧)，与y轴交于点C,

且=3OA=也OC，ZOAC的平分线AD交y轴于点。，过点A且垂直于AD的直线/交V轴于点E,

点尸是左轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作PNLx轴，垂足为F，交直线AD于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点尸的横坐标为〃，，当=时，求机的值；

(3)当直线尸E为抛物线的对称轴时，以点”为圆心，为半径作(H,点。为，”上的一个动点，

2

求^AQ+EQ的最小值.

4

【答案】(1)y=；x2+g6x-3；(2)—6；(3)47.

【详解】

(1)由题意A(73)0),B(-373,0),C(0,-3),设抛物线的解析式为尸。5+3出)(x—g),

把C(0,-3)代入得到a=§1,.••抛物线的解析式1为+§2百/-X-3.

(2)在RtAAOC中，tan/OAC=——=73,ZOAC=60°.

OA

平分NOAC,.../OA£>=30°,.*.O£)=OA・tan30°=l,二」(0,-1),.,.直线AD的解析式为y=

3

x-1,由题意P(m,—m2+/〃-3),H(m,-1),F(m,0).

333

,/FH=PH,=1-(-m2+^^m-3)

3333

解得〃仁一百或有(舍弃)，.,.当EF/=HP时，，〃的值为—

(3)如图，.”f是对称轴，.J(—JL0),H(-73，-2).

'：AH1AE,：.ZEAO^60°,:.EO=«OA=3,：.E(0,3).

VC(O,-3),；.HC=J(Q)2+F=2,AH=2FH=4,QH=JCH=1,在HA上取一点K,使得"=:,

此时K().

88

HQKH

"：HQ2=1,HK>HA=l,：.HQ2=HK>HA,：.

KQ=HQ=L_j_£

'：ZQHK=ZAHQ,：./\QHK^^AHQ,：.AQAH4,：.KQ4AQ,：.4AQ+QE=

KQ+EQ,：.当E、Q、K共线时，4AQ+QE的值最小，最小值

2、如图1所示，。0的半径为r,点A、B都在。0外，P为。0上的动点，已知r=k-OB.

连接PA、PB,则当“PA+k-PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；

2：计算连接线段OP、OB长度;

3：计算两线段长度的比值JOP=k

OB

ocOP

4：在OB上截取一点C,使得——=——构建母子型相似:

OPOB

5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值。

本题的关键在于如何确定“kPB，的划、（如图2）在线段0B上截取0C使3C=k-r,则可说明△BPO与

△PCO相似，BPk-PB=PCo

本题求“PA+k-PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图3）时AC线段

长即所求最小值。

3、如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接

AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3jgAr）+2D7

故求一AD+最小值即可.

3

7

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造条件已经足够明显.

3

当D点运动到AC边时，DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中，始终存在

DMDA.

3

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.

4、如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，则PD-’PC的最大

2

值为.

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2,根据题意要求构造LpC,在BC上取M使得此时PM=1,