2024高考数学适应性模拟考试试题2（新高考解析版）

2024高考数学适应性模拟考试试题02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A={x|-1vxv4},B={Wy=ln（x—3）},则AB=（）

A.{x|3<x<4}B.{x|-l<x<4}

C.{x|-3<x<l}D.{x\x>-l}

【答案】A

【分析】由复合型对数函数定义域以及交集的概念即可求解.

【详解】由题意A={九|一1<%<4},5=卜|、=皿九一3）}={尤|力3},

所以Ac5={x|3vxv4}.

故选:A.

2.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单

位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为[H+]=2.5x10-2摩尔/升，则胃酸的pH约为（）（参考数据：

lg2ao.301）

A.0.398B.1.301C.1.398D.1.602

【答案】D

【分析】直接利用所给公式计算求解即可

【详解】由题意得胃酸的pH为

pH=-lg[H+]

=-lg(2.5xl0-2)

=-(lg2.5+lgl0-2)

=一吟+2

=-(lgl0-lg22)+2

=21g2+l®2x0.301+1=1.602,

故选：D

3.等比数列｛(｝满足q+/=1。,%+%=20,则$6=()

A.30B.62C.126D.254

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，即可.

【详解】设等比数列｛。“｝的公比为4,

出+见—

由％+%=10,%+%=20可得9=--------=2,

I

贝J)q+/=4+QU2=5。］=10,

所以4—2,

21-2

因此邑=()=126-

61-2

故选：C

4.1i+gj(i+xy展开式中y项的系数为()

A.42B.35C.7D.1

【答案】A

【分析】写出展开式通项，令x的指数为3,求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】(1+耳7的展开式通项为(+1=仁-/(厂=0,1,2,,,7),

因为—^(1+无)=(l+x)+x3(1+x),

在C；-f(r=0,l,2,,7)中，令厂=3,可得V项的系数为C；=35；

在尸(斗丁=&・亡3仕=0,1,2,,7)中,令"3=3,得左=6,可得V项的系数为C；=7.

所以，［l+g］(l+»展开式中/项的系数为35+7=42.

故选：A.

5.已知点P是ABC的重心，则AR=()

A.AP=-AB+-ACB.A尸+

6644

C.AP=-AC+-BCD.AP=-AB+-BC

3333

【答案】D

【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】设BC的中点为D,连接AD,点P是ABC的重心，则P在AD上,

r\011Q1

^AP=-AD=-><-(AB+AC］=-(2AB+BC\=-AB+-BC

332、J3、>33

=|(AC+CB)+1BC=|AC-|BC,

由此可知A,B,C错误，D正确，

故选：D

6.已知a=sinl,Z?=2sm\c=lMsinl）,则（）

A.a<c<bB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

sinl

【分析】由题意分析函数的单调性，可得Ov〃=sinl<l,Z?=2>2°=l,c=ln(sinl)<lnl=O,即可得答

案.

【详解】因为函数二sinx在xe［。4］上单调递增且0<1<p

71

所以sinO<sinl<sin,,所以Ova=sinlvl,

函数y=2、在R上单调递增，所以〃=2向1>2°=1,

函数y=InX在(0,+8)上单调递增，所以c=ln(sinl)<lnl=。,

所以c<a<b.

故选：B.

r22

7.已知双曲线C：7-}=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为月,吃过焦点4的直线与y轴交于点〃，与双

3

曲线的右支交于点则双曲线。的离心率为()

CP,§LFXP=-FXM,PF2PFX=Q,

A.@B.-C.2D.凤1

22

【答案】D

【分析】先由尸巴•尸耳=0,得到△与。M与相似，进而得到阳。口耳耳|=闺闾忖耳|，代入

FtP=^FtM,得出附|和附在直角△月仍中运用勾股定理得出a，c间的等式，齐次式求离心率即可.

【详解】因为桃•尸耳=0,所以尸耳,尸耳，且/必耳=90。，

所以△耳0M与△月尸月相似，

所以\F岗.O\=I炭PFI，即闺......°...|..M.......阊.......=...1..耳......间...../...耳.....|..,

又居P=得出0卜闺用=芈1|%,

即c2c=||P£『，即伊片「=3C2,\PF\=y[3c,

又|尸耳|一|尸矶=2a,得附卜其-2a,

又PF2LPFt,在△居时中归耳『+|尸司2=闺周2,

即3c2+(&■-2a)2=4c2,得(6c-2a)2=02,且|阳=辰-2a>0,

c2i~

所以&-c=2a,e=_=石，=J3+1.

故选：D.

8.在四棱锥P-ABCD中，上4_L平面ABCD,AB_L3C,且二面角P-CD-A的大小为45。，AD+CD=4.若

点尸,A,3,C,。均在球。的表面上，则球。的体积的最小值为（）

.32口，6c64#„32^71

A.——JiB.413兀C.——KD.--—

32727

【答案】C

【分析】根据题意易得AC是四边形A5CD外接圆的直径，利用线面垂直的性质得到N7YM是二面角

P-CD-A的平面角，PC中点。为外接球球心，设AD=x,求得外接球半径关于》的表达式，求其最小

值，即可求球体最小体积.

【详解】由题意，4,反C,。在一个圆上，所以ZADC+NABC=180。，又ABLBC,

所以NADC=90。，即AD_LDC,即AC是四边形ABC。外接圆的直径，

由PA_L平面ABCD,BC,CD,ACu平面ABCD,

则PA_L3C,PA_LAC,PA_LC。，PA\AB=A,丛,ABu平面MB,

，BC_L平面上4B,PBu平面PAB,BCA.PB,同理可得CDJ_ED,则—PD4就是二面角P-CD-A的平

面角，

故NP£>A=45°,设AD=x,0cx<4,贝！J%=x,CD=4-x,

故AC=YAD^+CD1=A/2X2-8X+16，

且△上4C,PBC,△PDC都是以PC为斜边的直角三角形，

所以PC得中点。为四棱锥P-ABCD外接球的球心，

；.外接球半径RS/3,一3+会当尤=：时，心=半,

此时球。的体积的最小值为8=1*佗/6164A/6

一=-----71・

527

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者

满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组:

[50,60)、[60,70)........[90,100],统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X(单位：分)

近彳以地月艮从正态分布N(〃,cr2),且尸(“一b<X<〃+b)u0.6826,尸(〃-2cr<X<〃+2cr)Q0.9544,

P(〃-3b<X<〃+3b)u0.9974,其中〃近似为样本平均数，。近似为样本的标准差s,并已求得s=12.则

()

八频率

0.030-------------------——

0.025----------------------------------

0.020------------——

0.015—-1——

0.010-----------------------------------------

6Az506070839；)由0满意赢分

A.由直方图可估计样本的平均数约为74.5

B.由直方图可估计样本的中位数约为75

C.由正态分布可估计全县XN98.5的人数约为2.3万人

D.由正态分布可估计全县62.5<X<98.5的人数约为40.9万人

【答案】ABD

【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用正态分布3。原则可判

断CD选项.

【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为

x=(55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.025+95x0.01)x10=74.5,A对；

对于B选项，前两个矩形的面积为(0.015+0.02)x10=0.35<0.5,

前三个矩形的面积之和为(0.015+0.02+0.03)x10=0.65>0.5,

设样本的中位数为机，则〃?e(70,80),

由中位数的定义可得Q35+(〃L70)x0.03=0.5,解得根=75,B对；

对于C选项，因为〃=74.5,cr-12,98.5=〃+2cr,

所以，尸(X298.5)=P(XN〃+2b)=l-P("-2b<X<〃+2b)a0.0228,

所以，由正态分布可估计全县XN98.5的人数约为50x0.0228al.14万人，C错；

对于D选项，因为62.5=〃-cr,98.5=〃+2cr,

所以,尸(62.5VX<98.5)=P(〃—crWX<〃+2cr)

P(〃-b<X<〃+cr)+P(〃-2b<X<〃+2b)

=---------------------------------------------------------------x0.8185,

2

所以，由正态分布可估计全县62.5VX<98.5的人数约为50x0.8185~40.9万人，D对.

故选：ABD.

10.已知等差数列｛q｝的公差为d,前〃项和为S“，且%,4，%成等比数列，贝1J()

A.几=0B.«9=0

C.当d<0时，Sg是s”的最大值D.当d>0时，S］。是S"的最小值

【答案】ACD

【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到再根据等差数列的通项公式、求和公式及单

调性判断即可.

【详解】因为％,%，6成等比数列，所以％g=4，即q(q+5d)=(q+3d)2,

整理得卬/=-9屋，因为所以％=-94,

所以%=4+9d=。，则兀=19(。；.)=­=0,故A正确、B错误；

当d<0时｛〃”｝单调递减，此时4>%>>a9>aw=0>an>,

所以当〃=9或H=10时S.取得最大值，即(S〃)111ax=89=，。，故C正确；

当d>0时｛%｝单调递增，此时2V<氏<%o=0<%<,

所以当"=9或”=10时S”取得最小值，即⑸)1n/59=50,故D正确；

故选：ACD

11.已知函数“力及其导函数g(x)的定义域均为R为(2x)=f(4-2x),/(%)+/(-%)=0,当”[2,4]时,

g'(x)<0,g(l)=l,则()

A.〃x)的图象关于x=l对称B.g(x)为偶函数

C.g(x)+g(x+4)=0D.不等式g(x)»l的解集为｛x|-l+8上<x<l+8左，左eZ｝

【答案】BCD

【分析】A.由〃2x)=〃4—2x)得到〃力=/(4一力判断；B.由〃x)+〃T)=。得到广⑴一尸(r)=0,

再结合尸(x)=g(x)判断;C.由/(x)=>(4—x)得至!|/'(x)=—((4—x)再结合尸(x)=g(x)判断;D.由g(x)

为偶函数且g(x)+g(x+4)=0得到g(x)是周期函数,且周期为8,再结合当无«2,4]时,g,(x)<0,可知

g(元)在xe[2,4]单调递减，画出g(x)的大致图象，利用数形结合法求解.

【详解】由/(2力=〃4-2力可得/(无)=/(4-力，故可知〃尤)的图象关于x=2对称，故A错误，

由/(x)+/(r)=0得尸(x)-F(f)=0,由尸(x)=g(x)得g(x)-g(T)=O,故g(x)为偶函数，故B正

确，

由〃X)=/(4T)可得/'(%)=—/'(4—X),所以g(x)=—g(4—x),又g(x)为偶函数，所以

g(x)=-g(4-x)=-g(x-4)ng(x)+g(x-4)=0,即g(x)+g(x+4)=0,故C正确，

由g(x)为偶函数且g(x)+g(x+4)=。可得g(x)=-g(x+4)=-[-g(x+8)]=g(x+8),所以g(x)是周期函

数，且周期为8,又当xe[2,4]时，g'(x)<0,可知g(x)在xe[2,4]单调递减

故结合g(x)的性质可画出符合条件的g(x)的大致图象：

由性质结合图可知：当一1+8左<%<1+8左，左eZ时，g(x)>l,故D正确,

故选：BCD

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设i为虚数单位，复数z=(a-2iXa+3i)(aeR)的实部与虚部的和为亍，贝1]。=.

【答案】-J/-0.5

【分析】由复数的运算和解一元二次方程得出结果.

【详解】z=(a-2i)(a+3i)=q2+<ji+6=a2+6+fli,

所以/+6+a=f,解得a=l

42

故答案为：-g.

13.今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在

上底边长为3m,下底边长为4m,高为1m的正四棱台冰雕底座上,那么冰雕底座需要____立方米水制成.(制

3333

作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，P*=1.0xl0kg/m,/7?zK=O.9xlOkg/m)

【答案】H.1

【分析】计算出正四棱台冰雕底座的体积，换算成冰的质量，再算得所用水的体积即可.

【详解】由题意，该正四棱台冰雕底座的体积为：|xlx(32+V32x42+42)=ym3,即冰的质量为：

37

yXPa£=11100kg,

故需要的水的质量也是11100kg,其体积为：八'1.1m.

故答案为：11.1.

14.已知抛物线£炉=2刀(0>0)的焦点为尸，圆尸以尸为圆心，且过坐标原点.过尸作斜率为1的直线

I,与E交于点A,B,与圆产交于点C,D,其中点B,。均在第一象限，|四一卜4=4,贝l]P=.

【答案】6

【分析】设A(和％),3(尤2，%)，圆尸的半径为「，求出直线/的方程，联立方程，利用韦达定理求出

%+%，%%，再根据怛=忸典-恒厂|结合焦半径公式求解即可.

【详解】由题意心，£|,则直线）的方程为V=x+],

_P_2

联立（'-'+2,消X得/-3py+2=0,

x2=2py4

贝必=9。2-。2=8。2>0恒成立，

设A&,%）,3a2，%），圆厂的半径为r，

pi

贝U%+%=3。,％%=—>

因为M=_|+如即/+%,

所以忸力一|AC|=（|加|+r）-（|AC|+r）=忸/1AF|=%-％=4,

即+=49P2-p2=2y/2p=4,

所以P=应.

故答案为：72.

【点睛】关键点点睛：推出|叫TAC卜怛司-|A同是解决本题的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD为矩形，4。=刊？=2,。=1,△7=百，点£为棱「。上的

点，且BC1.OE.

⑴证明：ADVPD-,

PF

(2)若m=2,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵丁

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可得8CJ_面PCD,再由线面垂直的性质定理即可得到线线垂直；

(2)根据题意，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

【详解】(1)由ABCD为矩形可知：BC1CD,

又因为3C_L£)E,DEcCD=D,CRDEu平面PCD,所以5C1面PCD,

又AD〃3C,所以AD_L面PCD,

又尸Du面PCD,故AD'PD.

(2)在PCD中，PC?=PD?+CD?,所以PmCD；

又PD_LAD,8cAD=D,CD,ADu面ABC。，所以PD_L面ABCD；

故如图以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则C(0,0,0),8(0,2,0),A(l,2,0),D(l,0,0),P(l,0,2),

PF12

又在PCD中，-=2,则石(彳,0,奉,

CE33

22

D£=(--,0,-),CP=(l,0,2),CB=(0,2,0),

设面P3C法向量为〃=(%,y,z),贝!!

CBn=02y=0

即故1=(-2,0,1),

CP・n=U%+2z=0

设直线DE与面PBC所成角为0,

42

—l—3710

则sin0=cos(DE,n33

-72x7510

3

16.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为“,b,c,S为ABC的面积，且/=2S+(b-c)2.

⑴求tanA的值；

(2)若a=8,证明：16<Z>+c<8\/5.

4

【答案】(l)tanA=§

(2)证明见解析

【分析】(1)已知。2=2S+(6-c)2,利用面积公式和余弦定理化简，结合同角三角函数的平方关系，解出sinA

与cosA,可求tanA的值；

(2)由正弦定理和三角变换可得"c=8岔sin(B+°),根据角3的范围，转化为求三角函数值域问题.

【详解】(1)在锐角ABC中，S=^bcsinA,

已知a==2S+(Z?-c)2,BP2S=a2-(b-cf,bcsinA=a2—b2—c2+2bc,

!2

在ABC中，由余弦定理得6；-c=-2Z?ccosA9贝！|有〃csinA=2Z7c-2Z?ccosA,

由人。。0,得sinA+2cosA=2,

又Aw[。,,)，in2A+cos2A=43

s1,解得sinA=j,cosA=-,

-AsinA4

所以tanA==.

cosA3

3_L__£__£_i

4====10

(2)3=8,sinA=—,cosA=­,由正弦定理sin3sinCsinA4,

55

贝(j有〃=10sin3,c=10sinC,

A+B+C=TI,sinC二sin[兀一(A+B)]=sin(A+B),

Z?+c=10sinB+10sinC=10[sinB+sin(A+5)]=10[sinB+sinAcosB+cosAsinB]

=10sinB+—cosB+—sinB=16sinB+8cosB=8v5---sinB+——8cosBj=8v5sin(B+(p),

L55JI5

其中cos。=sincp-,0

.OO'o2^/^4.o2/0=曰一用=|…A,

sin2^=2sin^cos^?=2x-^-x——=sinA,cosZ(p=cos(p—si

则有We/3,2(p=A,即夕=g

A+B>-

2,所以“一贝！）'-A+"<5+0<工+。,

锐角ABC中,

712222

0n<Bn<—

2

BP---<B+^7<—+—,cos—<sin（B+^7）<1,

22222

又COS2=COS9=35,贝!I述

<sin（B+^?）<1,

255

所以16<8Asin（3+0）«86,BP16<Z?+C<8A/5.

22

17.已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）的左右顶点分别为48,长轴长为2后，点尸在椭圆C上（不与48重

ab

合），且怎A-幻B=-g，左右焦点分别为片，

（1）求C的标准方程；

（2）设过右焦点弱的直线,与椭圆C交于M,N两点，当△GMN的面积最大时，求直线/的方程.

【答案】（1）1+/=1

⑵%=1

【分析】（1）由椭圆的性质得到a=&,设点P（毛,%）,表示出原屋原B=¥}=-4，再代入椭圆方程,

22

求出廿=1,得到椭圆方程；

2m

（2）设直线/的方程：x=my+\,直曲联立，韦达定理表示出%+%=-T\，x%=一一三1，再用其表

m+2m+2

示出三角形面积，最后结合基本不等式求出结果.

依题意可得，|四=2°=2及，所以°=血.

设尸（品,%）,（%心扬则%3=武方/^=卷=」'

又因为五+聋=1所以％2=a工）=（］_%b2f

2b222

因为41,0)在直线/上，设直线/的方程：x=my+l,A(xpyj,B(x2,y2),

联立整理得(疗+2)V+2冲-1=0,

2m1

△>0,%+%=-中川二一中'

由题可知：

SgMN=；x2x|x一%|=4％+为)2-4%%=2点

=2>/2]——-——<y/2

Vm2+1+.

yjm2+1

当且仅当,疗+1=/1,

7nl+1

即〃2=0时，面积最大为0,此时直线/的方程是：尤=1.

4a

18.已知函数/(x)=21nx----------2,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间;

(2)若函数/(X)有唯一的极值点％,

①求实数。取值范围；

②证明：端/(%)+2%.广布+h0.

【答案】(1)答案见详解

⑵①(—8,0);②证明见详解

【分析】(1)求导，分类讨论判断原函数单调性；

(2)①根据(1)中的单调性，分析判断极值点；②根据①可知%>0,。=-卜；+2x0),整理分析可得原不等

式等价于ln/_：+止+e—gzO,构建新函数尸(无)=inx__+J_+ei

利用导数证明不等式.

【详解】（1）由题意可知：“X）的定义域为（。,+8）,且广⑺=+巴+过=2（/+欧+力

v7XXXX

当。20时，则尸（力=2（、+:+”）>（）在定义域内恒成立,

故函数〃x）的递增区间为（0,+”）,无递减区间；

当“<0时，令1（x）=。，解得％,=-!_&_『〈O,%=_l+Jl_a>0,

令广（x）<0,解得0<x<-l+&F令制X）>0,解得X>T+&^；

故函数〃x）的递增区间为卜1+6^,+可，递减区间为（0,-1+A/?F）;

综上所述：当。20时，函数/（X）的递增区间为（0,+8）,无递减区间；

当。<o时，函数的递增区间为卜1+75工,+可，递减区间为（0,-1+VT0.

（2）①由（1）可知：当时，函数/（X）的递增区间为（0,+"）,无极值点；

当a<0时，函数“X）的递增区间为卜1+75二%,+可，递减区间为（。,-1+>/1三）

函数“X）有唯一的极值点-I+Vik；

综上所述：若函数〃无）有唯一的极值点％,则实数。取值范围为（-8,0）.

②•.•函数”X）有唯一的极值点%=_l+G>0,则/'（与）=0,

BpXQ+2毛+4=0,"ofa=—(尤;+2x()),

+1=^-|21nx---4-2|+2xj-6^+1=2x^-flnx-—+^|^-l+e1^+

故片"（%）+2端金』00

Ix0x-)I%2x-

即2%Q,[ln%------1-+e''V|1——j>0,且2x：>0,

若媪4%)+/.e』+120,0

I%2%2J

等价于!

构建/(x)=lnx—』+；^y+ej—J,贝!)F\x)=—+\y-eI-x,

当0<x<l时，构建研x)=F(x),则0(切=」_4+导+八(1)尸+广，,

XXXX

V0<x<1,贝！11一%>0,%+3>0,犬>0,91>o,

故“⑴=(1-??+3)+8->o对也e(0,1)恒成立，

则夕⑺在(0,1)上单调递增，可得e(无)<咐=0,

即，(龙)<0对Vxe(0,1)恒成立，

故尸(彳)在(0,1)上单调递减，可得b(x)>尸⑴=。，

即b(x)>0对X/xe(O,l)恒成立；

当X21时，贝1]a(幻=1+4—1-8一'=^^+'，

xxxxex

构建g(x)=eA-ex,x>l,贝!)g'(x)=e'-e,

•••g'(x)在[1，H内单调递增，则g，(x)Ng，⑴=0,

g(x)在[1,+8)内单调递增,则g(x)>g(l)=0,

即当工21时，可得e"-ex20,xex>0,x-1>0,x3>0,

故9(司=三二+*20对Vxe[l*)恒成立，

则尸⑺在[!,+«)上单调递增，可得F(x)>F(l)=0,

即b(x)20对Vxe[1,+w)恒成立；

综上所述：尸(x)20对Vxe(0,y)恒成立.

故4+-|>0,即君"(Xo)+24力』+1>0.

19.2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”,

求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于

0态或1态，量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态

是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋

与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将