北师大版高中数学专项复习：空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何

1空间直角坐标系.......................................................-1-

1.1点在空间直角坐标系中的坐标....................................-1-

1.2空间两点间的距离公式...........................................-6-

2空间向量与向量运算..................................................-10-

2.1从平面向量到空间向量.........................................-10-

2.2空间向量的运算（一）............................................-10-

2.2空间向量的运算（二）............................................-14-

2.2空间向量的运算（三）............................................-18-

3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算...............................-23-

3.1空间向量基本定理..............................................-23-

3.2空间向量运算的坐标表示及应用.................................-26-

4向量在立体几何中的应用......................................-31-

4.1直线的方向向量与平面的法向量.................................-31-

4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系...........................-34-

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系...........................-42-

第1课时空间中的角..........................................-42-

第2课时空间中的距离问题....................................-47-

5数学探究活动（一）：正方体截面探究...................................-52-

1空间直角坐标系

1.1点在空间直角坐标系中的坐标

1.空间直角坐标系的建立

（1）空间直角坐标系：

过空间任意一点。，作三条两两垂直的直线，并以点。为原点，在三条直线

上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.

（2）空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：

①伸出右手，让四指与大拇指垂直.

②四指先指向工轴正方向.

③让四指沿握拳方向旋转90。指向y轴正方向.

④大拇指的指向即为z轴正方向.

（3）有关名称

如图所示,

%0z平面

yOz平面

%Oy平面

①0_叫作原点.

②x,y,z轴统称为坐标轴.

③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.x,y轴确定的平面记作xOy平面,y>

z轴确定的平面记作yOz平面，x,z轴确定的平面记作xOz平面.

2.空间直角坐标系中点的坐标

(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来

刻画.

(2)三元有序实数组Q,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x,

y,z).x叫作点P的横坐标，y叫作点P的级坐标，z叫作点尸的竖坐标.

(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应.

强考&如何确定空间中点P坐标？

［提示］过点尸分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、3、C,若点

A、B、C的坐标分别为(羽0,0)、(0,y,0)、(0,0,z),则点P的坐标为(x,y,

z).

疑难问题

类型1根据点的坐标确定点的位置

【例1】在空间直角坐标系中，作出点”(2，-6,4).

［思路点拨］可以先确定点(2,-6,0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定

在空间直角坐标系中的位置.

［解］法一：先确定点M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置，因为点”的竖坐

标为4,

贝力脑01=4,且点”和2轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M

的位置了(如图所示).

M(2,-6,4)

y

法二：以。为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方

体在点。处的三条棱分别在X轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，

则长方体中与顶点。相对的顶点即为所求的点(图略).

「.......•庆思领悟.............................

1.先确定点(xo,yo,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(xo,yo,zo)

在空间直角坐标系中的位置.

2.以原点。为一个顶点，构造棱长分别为|xo|、伙)|、|zo|的长方体(三条棱的位

置要与X0、加、Z0的符号一致)，则长方体中与。相对的顶点即为所求的点.

类型2已知点的位置写出点的坐标

【例2】已知棱长为1的正方体A5CD-4QC。，建立如图所示的不同空间

直角坐标系.试分别写出正方体各顶点的坐标.

［思路点拨］(1)可先写出A,B,C,。的坐标，再结合正方体的性质得出4,

B',C,。的坐标；

(2)可先写出B',C,。的坐标，再结合正方体的性质得出A,B,C,D

的坐标.

［解］(1)因为。是坐标原点，A,C,。分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，

正方体的棱长为1,

所以。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1).

因为3点在xDy平面上，所以3(1,1,0).

同理,4(1,0,1),C(0,1,1).

因为3方垂直于xDy平面且与z轴正半轴在平面同侧，且⑸=1,所以

B\\,1,1).

(2)因为。是坐标原点，C分别在x轴，y轴的正半轴上，。在z轴的负

半轴上，且正方体的棱长为1,

所以4(1,0,0),(7(0,1,0),£)(0,0,-1),D'(0,0,0).

同⑴得B'(l,1,0),A(l,0,-1),C(0,1,-1),B(l,1,-1).

1........•灰思领悟.............................

1.已知点切的位置，求其坐标的方法

作加VT垂直平面xOy,垂足为AT,求〃，的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x

轴坐标，y轴坐标，再求M点在z轴上射影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于

是得到Af点坐标(x,y,z).

2.在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下

表所示.其中x,y,zGR.

坐标轴坐标平面

分类

X轴y轴Z轴xOy平面yOz平面xOz平面

坐标形

(X,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,»z)(x,0,z)

式

类型3空间中点的对称问题

［探究问题］

1.类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段

的中点坐标公式是什么？

［提示］若A(xi,yi,zi),Bgyi,22),

„(x\+xiyi+v2Zl+z2)

则线段AB的中点、坐标为L~2—，~2~;2),

2.类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三

角形的重心坐标公式是什么？

［提示］若A(xi,yi,Zl),3(X2,yi,Z2),C(X3,”，Z3),

—A,八„(xi+xi+x^iyi+y2+y321+22+23^

则△ABC的重心坐标为［---------，―=1匕----3----

命题角度1关于点对称

【例3】点M(xo，加，zo)关于点3,b,c)的对称点的坐标为.

［思路点拨］类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中

心是线段的中点.

(2«—xo,2b-yo,2c—zo)［由中点坐标公式得，点M(xo,yo,zo)关于点(a,

c)的对称点的坐标为W(2a—xo,2b-yo,2c—zo).］

命题角度2关于坐标轴对称

【例4】求点M(a,b,c)关于坐标轴的对称点的坐标.

［思路点拨］从分析对称点的性质入手.

［解］关于x轴的对称点Mo的坐标为(a,~b,—c),

关于y轴的对称点Mi的坐标为(一a,b,—c),

关于z轴的对称点Mz的坐标为(一兄~b,c).

命题角度3关于坐标平面对称

【例5】求点M(a,b,c)关于坐标平面的对称点的坐标.

［思路点拨］从分析对称点的性质入手.

［解］点M关于xOy平面的对称点Mi的坐标为(a,b,—c),

关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a,-b,c),

关于yOz平面的对称点般3的坐标为(一出b,c).

1....••••庆思领悟.......................

1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：

2.点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原

点对称，都变

归纳总结

1.确定空间定点M的坐标的步骤

(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于

P、Q和R.

(2)确定P、。和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x,y和z.

(3)得出点”的坐标为(x,y,2).

2.已知M点坐标为(x,y,z)确定点M位置的步骤

(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q、R.

⑵过P、Q、H分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面.

(3)三个平面的唯一交点就是M.

3.建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,

一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴

上.

1.2空间两点间的距离公式

空间两点间的距离公式

(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)与原点间的距离|0P|=

-\/x2+j2+z2.

(2)空间中P(xi,yi,zi),Q(X2,*,Z2)之间的距离\PQ\=

4(X2一X1)2+(>2一y1)2+(22—21)2.

思考r方程X2+y2+z2=l表示什么图形？

［提示］以坐标原点为圆心，1为半径的球面.

疑难问题

类型1求空间中两点间的距离

【例1】如图所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，\CxC\=\CB\=\CA\=2,

AC±CB,D,E分别是棱A3,31cl的中点，R是AC的中点，求DE,ER的长度.

［解］以点C为坐标原点，C4、CB、CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.

'：\CiC\=\CB\=\CA\=2,

/.C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,2,0),Ci(0,0,2),Bi(0,2,2),由中点

坐标公式，可得

D(l,1,0),E(0,1,2),F(l,0,0),

：.\DE\=^/(l-0)2+(l-l)2+(0-2)2=V5,

\EF\=^/(0-l)2+(l-0)2+(2-0)2=^/6.

「.....思领悟••••......................

利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:

类型2由距离公式求空间点的坐标

【例2】已知点A(4,5,6),3(—5,0,10),在z轴上有一点P,使|以尸

\PB\,则点尸的坐标为.

(0,0,6)［设P(0,0,z),

^\PA\=\PB\,

得、(4—Op+(5—0)2+(6—z)2=^(-5-0)2+(0-0)2+(10-Z)2,

解得z=6.

.•.点P的坐标为(0,0,6).]

［母题探究］

1.若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？

［解］设P(0,y,0),

^\PA\=\PB\,

得一(4—oy+(5—y>+(6—0>=^(-5-0)2+(0-y)2+(10-0)2,

24

解得y=一亍.

.,.点P的坐标为(0,—y1,0).

2.求到A,3两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

［解］因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等,

所以■(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2=N(x+5)2+(y-0)2+(z-10)2.

化简得9x+5y—4z+24=0,

因此，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是9x+5y

—4z+24=0.

1.....&思领悟.....................

1.空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点

间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.

2.到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段A5的中垂面，

P是线段A3的中垂面与z轴的交点.

类型3距离公式的应用

【例3】如图所示，正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在

的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点尸在正方体的体对角线A3上，点Q

在正方体的棱CD上.当点P为体对角线A3的中点，点。在棱CD上运动时，求

IPQ的最小值.

[解]由题图可知，pfl,I

：Q点在CD上,

，设。(0,1,z),zG[0,1],

「....思领悟..........................

本题首先设出Q点的坐标，然后利用距离公式表示|PQ,从而将其转化为函

数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思

路.

归纳总结

1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直

角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.

2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数

或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.

2空间向量与向量运算

2.1从平面向量到空间向量

2.2空间向量的运算(一)

1.空间向量

⑴定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.

(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模.

(3)表示法

B

用有向线段获表示，4叫作向量获的起点，£叫作向量获的终点，也可记作

a,其模记为|蕊|或⑷.

(4)特殊向量

1~~|零向量：模为。的向量叫作零向量，记为o|

方向相同且模相等的向量称为相

:空间，同向且等长的有向线段表示

戈相等向量

相反向量：与向量。长度相等而方向相反的

向量，称为4的相反向量，记为-a

(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两

个向量互为共线向量或平行向量.

规定：零向量与任意向量平行.

思考1.向量获与向量茂的长度和方向之间有什么关系？

［提示］向量获与向量应长度相等，但方向相反，即应=一获.

2.共面向量

⑴共面向量的概念

平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.

(2)三个向量共面的充要条件

如果两个向量a,不共线，那么向量p与向量a,8共面的充要条件是存在

惟一的有序实数对(x,y),使。=刈+〉瓦

3.空间向量的加减法与运算律

空间向

加法OB=OA+AB=a+bc

量的运

减法

算CA=OA-OC=a-b0aA

(1)交换律：a+b=b+a；

空间向量的加法的运算律(2)结合律：

(a+b)+c=a+(Z>+c)

思考2.空间向量的减法是否也有交换律与结合律？

［提示］没有.

疑难问题

类型1空间向量的有关概念

【例1】如图所示，在正六棱柱ABCDERAECDEE中,

(1)与获相等的向量有哪些？

(2)而与目力是相反向量吗？

(3)与ib平行的向量有多少个？

［思路点拨］根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向

量之间的关系.

［解］(1)ED,A'B',E'D'.

⑵是.

(3)11个.

厂....••,•庆思领悟................、........

特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不

仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量.

类型2空间向量的加减运算

【例2】如图所示，已知长方体A3CD-AEC。.化简下列向量表达式，并

在图中标出化简结果.

(1)A4，一C&

(2)AA'+AB+RC'.

［解］(1)AA,-CB=AA'-DA=AA'+AD=AA'+A'D'=AD'.

(2)A4'+A3+3'C'=(AA'+A3)+3'C'=A3'+3'C'=AC.

向量A/y,AC如图所示.

[■母题探究1

1.在例2的条件下，下列各式运算结果为3。的是()

®A'D'-A'A-AB；②BC+BB'—D'C；©AD-AB-DD'；@B'D'-A'A+DD'.

A.①②B.②③

C.③④D.①④

A［⑴府，一春一获=启一获=击；

(2)BC+BB'~DiC,=BC'+cb'=Bb,;

(3)Ab-^-Db'=Bb-Db'=Bb-BB'=BT>^Bb';

(4)诟，一花+而，=ib+看，+而，=访，+看，/由，，故选A.］

2.在例2的条件下，用向量看，，AB,病表示向量战".

［解］在平行四边形ACC4中，由平行四边形法则可得

在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得元=获+而，

故前=蕊+石+启.

「......•QJS思领悟........................

1.向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法

则：”起点重合，指向被减向量”.

2.灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法.

类型3空间向量加、减运算的应用

【例3】在四棱锥。-A3CD中，底面A3CD是平行四边形，求证：OA+OC

=OB+OD.

［证明］法一：因为底面ABCD是平行四边形，所以，BA=CD,

又前—而，cb=OD-OC,

所以晶一防=5b一元，

所以示+女=而+亦.

法二：设点E是平行四边形ABCD对角线的交点(图略)，则点E分别是对角

线AC,3。的中点，

所以示+女=2宓，0B+0D=20E,

所以04+0C=03+00.

「......思领悟••••.......................

求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的

起点和终点.

(1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平

行四边形法则.

(2)求两向量的差时，常考虑：

①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点

相同，再使用减法的三角形法则.

归纳总结

1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向

量等都可以结合平面向量理解.

2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法

运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.

2.2空间向量的运算(二)

1.向量的数乘运算

与平面向量类似，实数丸与空间向量a的乘积痴仍然是一个囱量，

定义

称为向量的数乘

A>0%与向量a方向相同

几何痴的长度是a的长度的回

A<0筋与向量a方向相反

定义倍

2=0%=0,其方向是任意的

运算结合律

律分配律(丸+〃)a=/la+〃a；A(a+Z>)=/la+AZ>

2.共线向量基本定理

空间两个向量a,b(b中0),共线的充要条件是存在唯一的实数九使得a=74

思考(1)若a〃4b//c,那么一定有a〃c吗？

(2)在空间向量中，与非零向量。共线的单位向量有几个，分别是什么？

［提示］(1)不一定，若〃=0,此时必有a〃乩Z>〃c成立，但a与c不一定共

线.

(2)有2个，分别是解瑞.

疑难问题

类型1空间向量的数乘运算

【例1】如图，在长方体ABCD-ALBCLDI中，。为AC的中点.

—>11

⑴化简：AiO—/AB—1AD；

——►—►,—►—►—►

(2)设E是棱DDi上的点，^.DE=^DDi,试用A3,AD,A41表示EO.

［解］［\y：AB+AD=AC,

—>1—>1—>—>1—>—>—>1—>—>—>—>

**.AiO——~^AD=A\O—1(AB+AZ))=AiO—~^AC=AiO—AO=A\A.

(2)*：EO=ED+DO

2121

=/。+手用=押。+］。4+明

=|AIA+|DA+|AB

2—

一^AAi.

「......七反思领悟...........................

1.在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算.

2.对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的几何性质.

类型2向量共线问题

【例2】如图，在平行六面体ABCD-AIBCLDI中，M,N分别是CLDI,AB

1—>

的中点，E在AA1上且AE=2E4i,R在CCi上且CR=/Ci,判断ME与NE是否共

线.

［解］由已知可得,

—A—►—►—A1—A—►1—►—A—►1—A—A—A

ME=MDI+DIAI+AIE=^BA+CB+^AIA=-NB+CB+^CIC=CN+FC=

FN=-NF.

所以ME=-NF,

故症与赤共线.

「......思领悟••••••......................

向量共线的判定方法

判定向量a,8共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数人使万

=加(</#0)成立.

类型3点共线问题

【例3】如图所示，在正方体ABCD-ALBCLDI中,E在ALDI上，且与k=2诟1,

—2-

R在对角线A1C上，且求证：E,F,3三点共线.

［证明］设AB=a,AD=b,AA\=c.

-~>—>2-

因为AiE=2EDi,AiF=^FC,

—>2—>2

所以Ai£=pi£)i,AiF=2AiC.

一2一2一2一一2f一一222

所以4£=养。=予，AiF=^AC—AAi)=^AB+AD—AA\)=-^a+-^b—^c.

———2422r2、

所以EF=Ai尸一AiE=§a一石力-5c=耳0—求—cj.

—>—>—>—>22

入EB=EAi+AiA+AB=~~^b—c~\~a=a—~^b—c,

一2一

所以EF=^EB,

所以E,F,5三点共线.

「......思领悟............................

证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P,A,5可通过证明下列结论来证明三点共线.

⑴存在实数九使6=7法成立；

⑵对空间任一点。，有近=而+蕊QGR)；

⑶对空间任一点。，有晶=工的+'而，其中x+y=l.

归纳总结

1.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同.

2.证明(或判断)三点A,B,C共线时，只需证明存在实数九使获=2/(或

获=汴即可；也可用“对空间任意一点。，有次一扇+(1—/)而”来证明三

点共线.

2.2空间向量的运算(三)

1.空间向量的夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作d=a,OB=b,则

定义

ZAOB叫作向量。与8的夹角

记法〈〃，〉〉

范围OW〈a,〉〉W兀

向量当〈a,b〉=鄂寸，a.Lb；a-b=O

垂直

规定：零向量与任意向量垂直

思考1.{a,b)={b,a)吗？〈a,b)与〈一a,b),{a,—b},{—a,

-b)有什么关系？

［提示］〈a,b〉=〈。，a〉，<—a,b)=〈a,-b)=兀一〈a,b),<—a,

―b)=〈a,b).

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个空间向量a,b,则|a||Z>|cos(a,b)叫作a与的数量积,

记作a-b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律(2a)协=2(。协)«£R)

交换律a-b=b-a

分配律。・(办+c)=a・A+a・c

(3)数量积的性质

若a,8是非零向量，则a_L〃台a协=0

若a与b同向，则a协=|@悯；

两个向量

若反向，则a仍=一|旬悯.

数量积的

特别地：a-a=\a\2^\a\=\[a^a

性质

a，b

cos〈a,b〉一bWO)

|a协|W］a卜回

3.投影向量与投影数量

①如图，已知两个非零向量a,b,作d=a,OB=b,过A向直线作垂线,

垂足为点4,称向量晶，为向量a在向量方方向上的投影向量，其长度等于11aleos

〈a,b)|.

②如图，lalcos〈a,b〉称为向量a在向量〃方向上的投影数量,可以表示为

b

~\b[-

|a|cos04bB

③数量积的几何意义:数量积a协等于a的长度⑷与〃在a方向上投影数量|A|cos

〈a,b〉的乘积，或8的长度|四与a在方向上投影数量|a|cos〈a,b)的乘积.

思考k、2.空间向量的数量积运算满足结合律吗？

［提示］数量积运算不满足结合律.

疑难问题

类型1空间向量的数量积运算

［例1］已知长方体ABCD-ABCbDi中，AB=AAi=2,AD=4,E为侧面

AALBLB的中心，R为ALDI的中点.

求⑴病而1；(2)BFABi.

［解］如图所示，设AB=a,AD=b,AAi=c,

则|a|=|c|=2,|Z>|=4,a-b=b-c=c-a=O.

-------------------►-►]

(y)BCED\=BC-(EAi+A\D\)=b-1(c—a)+/>=|Z>|2=42=16.

(2)BF-ABi=(BAi+AUD-(AB+AAi)=^-a+|z>J(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.

[.....•思领悟...................................

求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向

量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.

类型2利用数量积求夹角

［探究问题］

1.若向量获与己的夹角为a,直线A3与CD所成的角为人则a=A一定成

立吗？

［提示］不一定.a=£或。+夕=兀.

2.怎样利用数量积求两直线的夹角a?

［提示］先求cosa=|cos〈a,b)|再结合a的范围确定其值.

\U\'\D\

3.如何利用数量积证明两个非零向量a和8互相垂直？

［提示］a山=0台a_LZ>.

【例2】已知空间四边形0ABe各边及对角线长都相等，E,R分别为A3,

0c的中点，

(1)求向量器与赤'所成角的余弦值；

(2)求直线OE与所成角的余弦值.

［解］(1)设屈=a,OB=b,OC=c,且同=|四=|c|=l,

0

7T

易知NAOB=ZBOC=ZA0C=2,

贝a-b=b-c=c-a=^.

—A]—A—A]—A—A—A]—A—A]—A—A

因为OE=](Q4+OB)=](a+3,BF=OF-OB=^OC~OB=^c~b,\OE\=\BF

V3

2，

一—1111111

所以0E3尸=5(a+力(5。-A)=za・c+9・c-5。协―5办2=-

--

乙乙iI乙乙乙

*2

->->OE,BF-

遇iOE与BF所成的角为e,则cos0=f一二23

V3

\OE\\BF\2

——2

所以向量OE与向量3R所成角的余弦值是一7

,,2

(2)直线0E与3R所成角的余弦值为|cos61|=-.

「.......•国思领悟.............................

求两个向量的夹角的两种方法

(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角

的范围.

(2)先求a山，再利用公式cos(a,b)=而而求cos〈a,b),最后确定〈a,b).

类型3利用数量积求两点间的距离

【例3】如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a,M,N分别

是棱A3,CD上的点，且MB=2AM,CN=^ND,求MN的长.

A

-~~>—>2~—>—>1—>—>1—>I

[解]因为阿=也+3。+3=养3+（4。-45）+3（4。一4。）=-145+8

2

AD+^AC,

所以“产=1—%3+京£>+|/102

1—>2——4——4——1—>4—

=gAB2-gAD-AB-gABAC+gACAD+gAD2+gAC2

一\[5\[5

所以|MN|=+-a,即MN的长为3-a.

,….••£>S思领悟........................

求两点间的距离或线段长度的方法

⑴将此线段用向量表示.

⑵利用|a|=而，计算出⑷，即得所求距离.

归纳总结

1.本节课的重点

(1)空间向量的数量积的求法；

(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量

垂直.

2.在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分

析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决,

并要化简到最简为止.

3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算

3.1空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

条件三个不共面的向量a,b,c和空间任二向量p

结论存在唯一的三元有序实数组(x,y,Z),使得〃=xa+y)+zc

2.基

⑴条件：三个向量a,b,c不共面.

⑵结论：Q,b,£1叫做空间的一组基•其中向量a，b,c都叫作基向量.

思考鼠(1)0能不能作为一个基向量？

⑵空间向量的基唯一吗？

［提示］(1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量.

⑵不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基.

疑难问题

类型1空间向量的基

【例1】已知｛ez，e2，03｝是空间的一组基，且。4=ei+2e2—e3,OB=~~3e\

+e2+2e3,OC=ei+e2-e3,试判断｛a，OB,况｝能否作为空间的一组基.

［解］假设屈，OB,又共面，

由向量共面的充要条件知，存在实数x,y,使得而+y5b成立，即ei

+2e2-e3=x(—3ei+e2+2e3)+y(ei+e2—e3)=(—3x+y)ei+(A-+y)C2+(2X—y)e3.

因为｛/，€2,63｝是空间的一组基，

所以勿，€2,03不共面，

f—3x+y=1

所以<x+y=2,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得晶=》而十

12x—>=-1

yOC成立，

所以豆，OB,决不共面.

故｛d，OB,次｝能作为空间的一组基.

「.....思领悟..................................

基的判断思路

判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面.首

先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正

面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，

若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.

类型2空间向量基本定理及应用

【例2】如图，在三棱柱中，已知看-a,AB=b,/=c，点

M,N分别是BC,夕C的中点，试用基｛a,b,c｝表示向量嬴，A7V.

［解］连接4N(图略).

~A~>1—>—>1—>—>—>1—>1—>—>1—>—>I

AM=AB+TBC,=AB+5(BC+CC,)=AB+TBC+TCC=AB+T(AC-AB)+T

~A-~>—>1—>—>—>1—>—>1I

AN=AA'+A'N=AA'+^A'B'+A'C')=AA'+^AB+AC)=a+^b+^c.

［母题探究］

若把本例中的“£^=a”改为“4白=。”，其他条件不变，则结果是什么？

［解］因为“为3c的中点，N为EC的中点，

-*■1--11

所以AM=1(AB+AC)=/a+/Z>.

1111-1->1->1

A^=T(AB,+AC,)=T(AB+BB,+AC,)=TAB+TCC,+5AC=5AB+5(AC-AC)

乙乙乙乙乙乙乙

1—*-1―^―^1->11

+^AC'=^AB+AC'—^AC=^b+a—^c.

乙乙乙乙乙

厂......七反思领悟.......S

对空间向量基本定理的两点说明

(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量.

(2)唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组｛x,y,z｝是唯一的.

空间向量基本定理为用基本量法研究空间向量提供了理论依据.

类型3四点共面

【例31如图，已知平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，E,R分别是BBi和

12

上的点，并且5月=于51,DF=^DDi.

(1)证明：A,E,Ci,尸四点共面;

(2)^EF=xAB-\-yAD-\~zAAi,求x+y-\-z的值.

—A—A—A—A—A—A—A—A—A1—A2,—A

［解］(1)证明：ACi=AB+BC+CCi=AB+AD+AAi=AB^AD+^AA\+^AAi

=AB+BE+AD+DF=AE+AF,

故A,E,Ci,R四点共面.

—A—A—A—A—A—A—A—A2,—A—A1—A—A—A

(2)VEF=AF-AE=AD+DF-AB-BE=AD+^AAi-AB-^AAi=-AB-\-AD

1—*•

+gAAi,

-i,尸

.•・x+y+z=§.

「....思领悟...........................

1.三个向量共面的充要条件

若向量仇C不共线，则向量a,b,c共面的充要条件是：存在实数X,»使

得a=xb+yc.

2.利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地

进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件.

归纳总结

1.空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的

任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四

边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合.

2.设演，0B,元是不共面向量，则对空间任一点P,存在唯一的有序实数

组(x,y,z),使办d+z5h当且仅当x+y+z=l时，P,A,B,C四

点共面.

3.2空间向量运算的坐标表示及应用

1.空间向量的正交分解及其坐标表示

在空间直角坐标系。-盯z中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位

标准正交

向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组

基

基｛i,j,k],这组基叫作标准正交基

空间直角以i,女的公共起点。为原点，分别以i,左的方向为x轴、y

坐标系轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系

空间向量对于空间任意一个向量p,存在有序实数组(x,y,Z),使得p=xi

的坐标表+yj+zk,则把为y,z称作向量p在标准正交基｛i,j,A｝下的坐

示标，记作〃=(x,y,z).单位向量i,j,左都叫作坐标向量

2.空间向量的坐标运算

设向量。=(尤1，yi9Zl),b=(X2,-2,Z2)9

贝！J(l)a+6=(xi+12,yi+y2,zi+z2)；

(2)a—6=(xi-%2,yi-y2,zi—zi)；

(3)2。=(2xi,Ayi,Azi)f%£R；

(4)a・。=%i%2+yi\2+ziz2・

3.空间向量的平行、垂直及模、夹角

设»Zl),b=(X2,丁2,Z2).

贝Ua〃办台°=/18台元1=&2,券=制2,ZI=2Z2(2^R)；

a_Lb0a、b—00%。2+yi*+@Z2=0；

\a\=\［a^a=\JjA+yi+^；

若点A(QI,bi,ci),BQ,历，C2),贝！J

\AB\=\AB\=^/(<22-<7i)2+(/?2—Z?i)2+(C2—ci)2.

/、承xz+yiyz+zi迎

COSe”二瓶；.+冲n("3"。)，

周考k空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？

［提示］设a=(a\,〃2,(23),b=(Jb\,bz,bi),贝1a=a\i+ay+a?,k,b=bii+

by+b?>k,

所以〃+办=(。1，+旬+。3A)+(》1，+4+634)=(。1+61»+(。2+岳)/+(。3+63)

k={a\~\~b\,02+62,43+63).

疑难问题

类型1空间向量的坐标运算

【例1】(1)已知a=(2,—1,—2),Z>=(0,—1,4),求a+方，a—b,a-b,

(2a)