指数与对数运算+讲义-2025届高三数学一轮复习（教师版）

第10讲指数与对数运算

一.基础知识回顾

1.根式

⑴根式的概念：①若』，则x叫做a的〃次方根，其中〃>1且〃GN*.式子的叫做根式,

这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.②a的〃次方根的表示：

n\x=\[a(当A为奇数且77GN*时)，

x=a=><\

[x=土锯(当〃为偶数且AGN*时).

a,刀为奇数，

(2)根式的性质：①(《「)”=a(AGN*).②耨=([a,a20,

阵a,a〈0,〃为偶数.

2.有理数指数塞

(1)幕的有关概念：①正分数指数塞：aG=§£(a〉0,m,〃GN*,且A>1)；

--11

②负分数指数哥：a〃===~^-(a>0,m,N*,且〃>1)；

m

最缄

③0的正分数指数累等于。，0的负分数指数累无意义.

(2)有理数指数塞的运算底质：

①"a"=a"s(a>0,r,sGQ)；®(a)s=als(a>0,r,sGQ)；③(a6)'=a&(a>0,6>0,rGQ).

3.对数凝对数的运算——

如果a*=Ma〉0,收1),那么数x叫做以a为底"的

概

对数，记作x=logW其中a叫做对数的底数,N叫

念

做真数

底数的限制：a>0,且aWl

对数式与指数式的互化：f=g\ogaN=x

性负数和零没有对数

质1的对数是雯：logal=0

底数的对数是L：logad=L

对数恒等式：a\.ogaN=N

运]oga(〃・M=logJ/~HogJV

算

M,3>0,且粉0,

性logJ/—logaA^

>0

质

log/=〃loga〃(〃£R)

换

底

公式：log/—log/a〉。,且aWL。〉0,且。力L

公

式6>0)

二.典例精析

题型一：有理指数事的化简与求值

例1：化简下列各式：

।

3八F

(1)(2E)°+2X(21)-(0.01)

•_11,

CHFNR

(2)(a>0,6>0)；

3-"7।(一二)，

(3)(，)x(-1)°+8«XV2-J3

解：(1)原式=l+：x(i-(7^)J=l+jXa-5=1+-

iiii

(2)原式=c：~=Q•：-=二.

I1

j,j।7।

(3)原式=(?1X1+2»X2—(7)—2.

变式训练1：化简下列各式：

⑴0.027二一13+(2§)2-(也一1”；⑵焉£方]•(—3a—4-(4a3Z>,5)2

【解】(1)原式=仔马7。+偿1=与―49+1—1=-45.

y-LUUU)\^zJyOJ

(5-_3J_J_5_i_3J_J_55

⑵原式=[_5d_6占3l-r(2a3Z?-~)•a2Z?2=-,己262=一心-1=一瓦.

题型二：分数指数塞的综合运算

例2：已知》5+3-5=3,求下列各式的值：

_-1

(1)a~\~ai；(2)aa2；(3)—j------.

一〃5

【解】(1)•.,a'+a।=3,；.(乃,]J?=9,即^+2+a-1=9,,\a+a~i=7.(2)i(1)

i

知，a+a~1=7,(a+a-1)2=49,即3+2+/?=49,・••才+”2=47.(3)由于己―/】=(2]

J_£21_1

+a5)(d'—a5)所以原式=女万+己5=3

变式训练2：(1)已知2m+2一m=5,则¥+4一的值为.23

1-1/1

(2)已知x2+x2=5,则^+的值为(B)

X

A.5B.23C.25D.27

【解析】(1)・.・2必+2f=5,,•・(2"+2-T=25,即4卬+2+4-皿=25,：Am+4~m=2i.(2)Vxi

--x+11

+x2=5,・・・才+2+/1=25，・\才+/1=23.•=------=x+-=x+JT1=23.

XX

题型三：对数运算性质的应用

例3：计算：(1)log2^y^+log212—|log242；

(2)1g52+|lg8+lg5•1g20+(1g2)文

(3)log225•log3^~,log5^

【解】(1)原式=10g2亲友=10g'=一(

(2)原式=21g5+21g2+lg5(l+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+

、,,,1g271g3231g351g215

lg2)=2+lg5+lg2=2+l=3.⑶原式=/16'运81=41g2'41g3=7?

7

变式训练3：计算下列各式的值：(l)lg14-21g-+lg7-lg18；

(2)lg52+|lg8+lg5-1g20+(1g2)；

(3)(log32+log92)(log43+log83).

7

【解】⑴(法一)lg14-21g-+lg7-lg18=lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32

X2)

7

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0.(法二)lg14—21g-+lg7-lg18

714X7

=lg14—lg(-)2+lg7—lg18=lg--------------=lg1=0(2)原式=21g5+21g2+lg5(21g

2+lg5)+Qg2).21g10+(lg5+lg2)'2+(lg1。)、2+1=3.⑶原式=(立1

lg2lg3।lg3_31g2.51g3_5

21g3；l21g2+31g2)-21g3*61g2~4,

题型五：指数式与对数式的综合应用

1

例5：(1)已知log3=",loga3=/?,则

(2)设2a=5"=如且二+工=2,贝!J/=

(3)已知logi89=&18"=5,Iog3e45=(用分6表示)

1119

wbjl/-1\••1—TC9m—nc•必+2Am2nm/〃、2c2_

【用牛】(1)・loga+=〃,loga3=n,・・a=,a=3...a=a,a=a•(a)=>X3=G.

b11I，

(2)・2=5--nif・・log2R=a,logs/z?—by・・一+.r=：i,：+.々=log/+log/n5=log〃10=2,

・•・方=10,*.m=\10(舍"=-10).(3)(法一)因为logi89=a所以9=18。又5=

a+/，

18\所以log3645=log2xi8(5X9)=log2xi818=(a+Z?)Tog2xi818.又因为log2xi818=

-------------=---------=-----=-----------二」一，所以序式二三土上(法一)

logw18X2l+logi82.-------18l+l-logi892一/切口尿八2~a"玄一"

l+logi8—

..1OZ,_re[L_7.1"―logi845_logi85X9_____Iogi85+logi89

•18—5,..logl85-b...log3645-"4X9—210gl.2+"9

a+b_a-\-b_a-\-b

ci182—21ogis9+logi892—a

21ogi8-^~+logi89

变式训练5：(1)已知2a=5,Z?=log83,贝4“一勖=______

(2)已知logi89=a,18"=5,log^45=(用a,6表示)

10

(3)若a=log23,30=2,则2a+27==7,ab=1.

8-1

【解】(1)由2a=5两边取以2为底的对数，得H=log25.又6=log83==l=Wlog23,所以

gI]g2Sit2S

a—3b=log25—log23=log25=i^3=21og45=log4T,所以4a一勖=4’=‘>=K(3)由18'=5,

logi845_log^+log”_b~\~a0尹上『=2——，*3

得logi85=6，Io।9一"9一"25一l26⑷十一十

log与

110

3+^=T.V3Z>=2,Z?=log32,/.ab=log23Xlogs2=1

三：方法规律总结

1.指数塞运算的一般原则：(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

(2)先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数.

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.

(4)若是根式，应化为分数指数累，尽可能用累的形式表示，运用指数累的运算性质来解答.

2.对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数

最简，然后利用对数运算性质化简合并；

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同

底对数真数的积、商、幕的运算.

3.指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式/=加=，作为已知条件，求函数y,z)

的值的问题，通常设a*=//=/="(A>0),贝！|x=l0gz尸logZz=log4将x,y,z

的值代入函数f(x,y,z)求解.

4.换底公式的变形

I

(1)logaZ)•log*a=l,即logaQtoa"(a,6均大于0且不等于1)；

(2)lo。―6"=二log/(a,6均大于0且不等于1,m¥0,〃GR).

(3)log/•log4•log°d=logad(a,b,c均大于。且不等于1,d>0)

四.课后练习作业

单项选择题

31_

1.下列结论①当a<0时，(/)5=a3；②解=闻；③函数y=(x—2)5—(3x—7)°的定义

域是(2,+8)；④若io。。=5,10〃=2,则2a+6=1.正确的个数是

()

A.0B.1C.2D.3

33

【答案】B【解析】只有④正确.①中a(0时，(/"川,*0,所以(4)5*/②中，n

为奇数时且a〈0时，胃=绐③中定义域为[2,1)U(1,+-).]

2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()

11-11-1.

0—

A.e=1与In1=0B.8—鼻=5与logsT—TC.log39=2与9r=3D.log77=l与7=7

【答案】C【解析】根据/=g6=logW可知，A,B,D均正确，C不正确.

3.若代数式2r有意义，则出x-4x+】+2j(x-2)=()

A.2B.3C.2x—1D..x—2

I------/-----px-120,

【答案】B【解析】由J"T+J2-=有意义，得b-,解得二.所以X—2W0,

・Ijj

2x—1N0,所以+2Ix—2I=I2x―1I+

=J(2x-l)

2Ix—2I=2x—1+2(2—x)=3.

4.若log2x+log4y=1,贝U()

A..xy=2B..xy=4C.xy=2D..xy=4

1111

【答案】B【解析】og2£+log4y=log2x+TLog2y=log2x+log2y=log2(灯，)=1,所以

=2,两边平方得/y=4.故选B.

f2ex-1,X2,

5.设/'(x)=[21则F(F(2))的值为()

Uog3X-lx22,

A.0B.1C.2D.3

21-1

【答案】C【解析】Vf(2)=log3(2—1)=log33=l,.\f(A2))=A1)=2e=2e°=2.

6.已知a=log23,Z?=log25,贝1Jlog415=()

11

A.2a+26B.a+bC..abD.+我

【答案】D【解析】logJ5=Wlog215=：(log23+log25)=5-a+5Z?,故选D.

7.Iga,lg6是方程2x?—4x+l=0的两个实根，则IgQZ?)•(lg1)2=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B【解析】由已知得，1ga+lgb=2,即1g(a扮=2,1ga・lgZ?=1.所以1g(加)*(lg

a]

%)2=2Qga-lg6)2=2[(lga+lg犷-41galg6]=2⑵-4义])=2X2=4,故选B.

8.定义在R上的函数F(x)满足『(一x)=—f(x),f(x—2)=f(x+2),且xd(-1,0)时，f(x)

=2'+1,则『(log?20)等于()

0

44

A.-1B.7C.1D.-7

55

【答案】A[解析】由广(x—2)=F(x+2),得广(x)=f(x+4),因为4Vlog220V5,所以广(log220)

log^1

4_(225+?

=/(log20—4)=—/(4—log20)=—/(log-)=3=—L

2220

二.多选题

9.下列等式成立的是()

111

A.(—2)-2=aB..23~3=~C.(—2)°=—1D.(。*)=二

12

【答案】AD【解析】对于A项，(一2)-2=1故A项正确；对于B项，2/3=丁，故B项错

一11

误；对于C项，(一2)°=1,故C项错误；对于D项，(。94=二，故D项正确.故选A、D.

10.下列运算中正确的是()

g」〃\11-1

A.2，一(V'=-2B.若a+二=14,则十。+»/5=4

1b112

C.若log73=a,log74=Z?,则log742=l+二+'D.若4a=6"=9'，贝!J二十:=三

1]

【答案】AB【解析】对于A,T9」」⑴7=2—2=~2,正确；对于B,因为

1-1.f/十一“二1a+，2

a+二=14,所以、,。+、石=，vb=\a=4,正确；对于C,因为log73=a,

1b

log74=Z?,所以log742=log77+log73+log72=l+log73+Wlog74=l+a+二，不正确；对于

112

D,当a=6=c=0时，4a=6"=9’成立，但二十二=二无意义，不正确.故选A、B.

r*—r1-

11.设广(x)=~:-,g(x)=~;-,则下列结论正确的有()

A.\_g(x)]2—[/(x)]2=1B..\_g(x)]2+"(x)『=g(2x)

C.g(2x)=2f(x)g(x)D.f(2x)=2f(x)g(x)

【答案】ABD【解析】因为[g(x)]2—[/(x)了=[g(x)+f(x)],\.g(x)-f(x)]

=ex•e~x=l,所以A选项正确；因为[g(x)]2+(jr)]2=',g(2x)=:,

所以B选项正确；因为2F(x)g(x)=7,g(2x)=;,所以C选项不正确;

因为f(2x)=-J,2/(x)g(x)=—J,所以D选项正确.故选A、B、D.

三.填空题

12.计算：2#X沂个义师=.

-⑶l1--1--11111

【解析】2X32义|彳|3X126=2义32X33X2—jX36X23=2X377+^+77X2—J+J=6.

V7323633

13.Iog23,logs4•10g42=1.

解析：由结论2矢口，log23•log34•log42=log22=l.

11-

14.已知2'=72>=4且：+[=2,则4=7.1.

111_J_2

解析：由2'=7"=4得x=log24y=?log7y4,贝「+、=；=4+,j.«i=logj2+21og/17=logj98

=2,才=98.又/>0,故4=胸=7々

四.解答题

15.化简下列各式:

⑴卜+。.0+(2喋)3—331。+||；⑵\a1.羽尹

【解】⑴原式,2=5、釜工+仃1+,力64、-工—+3质7=§5+100+元Q-3+3底7=1。。.

31~1-

⑵原式=•”三

16.计算下列各式：

3__________________

(1)1g25+lg2•1g50+(1g2)；(2)lgy+lg70—1g3—yj(1g3)2—1g9+1；

(3)(log32+log92)•(log43+log83).

【解】(1)原式=(lg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(1g2+lg5+1)1g2+21g5=(l+l)lg

2+21g5

3

yX70___________________

=2(lg2+lg5)=2.(2)原式=1g--——7(1g3)-21g3+1=1g10—

、(1g3T)2=1Tig3—11=1g3.⑶原式=焉+詈I惜+亲)=

(1g21g21lg31g3)_31g251g3_5

(lg3+21g3人21g2+31g2厂21g3'61g2-1

17.计算下列各式：

log,4

(1)log225,log3(2V2)•log59；(2):•iso-go；(3)log23,log38+(V3).

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