2024年中考数学暑假复习讲义：45°角策略

45。角策略

【原题呈现】

如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C的坐标为(2,0).设

P为线段OB的中点，连接PA,PC.若NCPA=45。,则m的值是.

【研题策略】

来路④

紧紧抓住45。角这一关键条件，形成解决此类问题的一条主线：“45。——构造等腰直角三角形——构造直角三

基本图形是解决综合性几何问题的一个很好的突破口，从复杂的图形中抽取出简单的基本图形，利用基本图

形的性质，化难为易，顺利得解.

思路

1.“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法，该模型在本题的应用中看上去有些异常，一个只有两等

角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45。角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用

相似三角形的基本性质列出方程.

2.“三垂型”模型是一个基本图形，该模型不仅可以找到全等三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45。角可以

构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.

3.由于45。是90。的一半，构造角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质.遇45。角补全直角也是

一种常见的手段.

4.“半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转的方法，可以得到全等三角形，进而得到线段

之间的关系.

5.遇到直角问题，有时要回归勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾

股定理构造方程.本题中依/CPA=45。构造等腰直角三角形，同时得到APOAs/XCDA,一箭双雕，见图9.

6.“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等一系列

知识点，灵活多变.

出路56

解法一

构造“一线三等角“，利用相似三角形.

如图3所示，在y轴截取OD=OC,此时/PDC=45。,可以证得ABPOPDC.-.BP=BA.

CDPD

由CD=2JZAB=BP=%DP=0+2,可得S：20=V7m:（0+2）,解得mx=12或m2=0（舍去），故

222V27

m=12.

解法二

构造“三垂型，，模型，利用全等三角形.

如图4所示，过点C作CDLCP,交AP于点D,作DE^x轴,垂足为E,易得△OPC会^ECD.

DE=OC=2,CE=OP=^,AE=0A-0C-CE=^--2

22

,/DE//OP,

.DE-AE

OPAO

2:%=（2.-2）:m,

解得mi=12或m2=0（舍去）.故m=12.

解法三

构造“角平分线”，运用内角平分线的性质.

预备知识：如图5所示，AD是△ABC的角平分线，则有也=改.

ACCD

图S

如图6所示，过点P作.PDJ.P4

,?ZAPC=45°,/.CP为AaPD的角平分线.

.PD.—CD.

PAAC

...PD=QP=Z=1，点D的坐标（―如o\

PAOAm2V47

工=二

2m-2

解得m=12.

解法四

构造“正方形”，借用正方形旋转.

预备知识：如图7所示，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD上，且NR4F=45。,贝UBEDF

EF.

如图8所示，过点P构造正方形OPDE.

根据几何知识，有EN=DN=吗

4

根据预备知识，得CN=%2.

4

・；CE=2—2,在ACEN中，有（㈣-2）2©）2=（彳2）2,

解得m1=12或m2=0（舍去）.故m=12.

解法五

构造“三角形的高“，回到勾股定理.

如图9所示，作(CD，2P,,垂足为点D,可知△PCD为等腰直角三角形.

由PO:AO=CD:AD=l:2,AC=m-2,

易得CD=(m-2),PC=(m-2).

55

2

在RtAPOC中,利用勾股定理，得Of+22=

2

解得nh=12或m=一出舍去).故m=12.

Z3

解法六

构造“四点共圆”，运用两点间的距离公式.

如图10所示，以AC为直角边构造等腰直角三角形ADC,CD交AB于点E.

因为ND=NAPC=45。,

所以A,C,P,D四点共圆，且以CD为直径,E为圆心.

因为点D的坐标为(m,m-2),点P的坐标为((0，与,,点E的坐标为(E±2•，叱与,

222

根据EP=EC,得

(S±2.-0)2+(g―叼2=悭(6_2)「，

解得mi=12或m2=0(舍去).故m=12.

【举一反三】

1.如图所示,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=K的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按

照逆时针方向旋转45。,交反比例函数的图象于点C,则点C的坐标是

2.如图所示，在平面直线坐标系xOy中，直线AB的表达式为丫=nX,点M(2,l)是直线AB上一点，将直线A

2

B绕点M