2025届高三数学一轮复习：三角函数的图像知识点及一题多问讲义

三角函数的图像与性质

函数y—sinxy=cosxy=tanx

图像

五个关键点

定义域

值域

递增区间

递减区间

奇偶性

T

对称轴

对称中心

最值及何时

取到最值

三角函数的标准型：____________________________

1.三角函数化标准型的常用步骤：看到;的整数倍看到sin2a；cos2a；sinacosa

看至%，+g看至Uastria+bcosa

2.y=Asin(s+0)为奇函数的充要条件为，为偶函数的充要条件为

3.y=Acos@r+°)为奇函数的充要条件为，为偶函数的充要条件为

4.y=Atan(a)x+租)为奇函数的充要条件为,

函数y=Asin(a)x+g)+口y=Atan^x+(/?)+口

五个关键点

定义域

值域

递增区间

递减区间

奇偶性

T

对称轴

对称中心

最值及何时取到

最值

5.由y=sin%的图像得到y=Asin(a)x+租)的图像的过程

方法途径一：y=s讥％图像上各点向左或向右平移|初个单位，得到,

图像各点横坐标伸长或缩短到原来的工，纵坐标不变，得到，

0)---------------------

图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到,

方法途径二：y^sinx图像各点横坐标变为原来的工纵坐标不变，得到，

3------------

图像上各点向左或向右平移冏个单位，得到,

图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到；

6.已知函数丁=Asin(s+0)+h的(部分)图像求函数解析式：

由可求得A和h

由可求得3,

由可求得R

7.求函数的值域：次数相同次数不同在定区间

已知函数/(x)=3sin(2x+—)+1

6

(1)求/(幻的周期。

(2)求/(x)的最大值及何时取到最大值。

(3)求/(x)的对称轴及对称中心。

(4)求/(x)在［0,1］上的值域。

(5)求/(x)的的单调递增区间。

(6)讨论了(%)在［0,万］上的单调性。

(7)如何由y=sinx变换得到y=/(九)的图像。

(8)如何由y=/(%)变换得到y=sinx的图像。

(9)若y=/(九)向右平移夕个单位，得到的图像关于y轴对称，求°的最小正值。

(10)用五点法画出y=/(x)的图像。

补充练习：

一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(久)=cos(2s+<p)(a>0,\(p\<§的最小正周期为兀，将其图像向右平移/个单位后得函

数g(x)=COS2%的图像，则0的值为()

A.-B.-C.--D.--

3636

0,5

2.设a=log84,b=3,c=2$也1,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

3.eG《3)是sine>?的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征

.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点4(1,-C)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一

周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(%,y),其纵坐标满足y=/⑴=Rsin(o)t+

<p)(t>0,a)>0,\(p\<》则下列叙述正确的是()

A71

A.,cp=6—

B.当tE[0,30]时，函数y=/（t）单调递增

C.当tC[0,30]时，点P至卜轴的距离的最大值为

D.当t=50时，\PA\=2

5.已知函数/（久）=4cosc—管）•cos肾―》一Ma＞。）在区间[一不争上单调递增，且在区间。兀]上只

取得一次最大值，则3的取值范围是（）

A「八3]n/八8-."「28in38-.

A.[0，dB.（0,-]c.D.r

6.如图，边长为2的正方形ZBBi&为圆柱。0I的轴截面，EF是圆3的直径，点E从当点出发，沿着圆名逆

时针方向转动一圈，记点E运动的路程为久，三棱锥E-FB2的体积为y,则函数y=/（%）的图象大致为（）

7.如图，已知扇形AOB的半径为1,其圆心角为枭四边形PQRS是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最

大值为（）

8.已知函数/（尤）=sin（o）%+（p）（^a）>0,\（p\=-三是函数/（%）的一个零点，%=，是函数/（%）的一

条对称轴，若/（%）在区间仁，9上单调，则3的最大值是（）

A.14B.16C.18D.20

二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列不等式成立的有（）

0812

A.1.21>0.81B.cosy<cos^C,1.2>0.8D.log520>log25

10.在44BC中，下列结论中，正确的是（）

A.若cos22=cos2B,则A4BC是等腰三角形

B.若sinZ>sinB,则4>B

C,若ZB?+AC2<BC2,则ZL4BC为钝角三角形

口.若2=60。，ac=4,且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是（2「,+8）

11.已知函数/（无）=4sin（3%+卬）>0,3>0,|如<；）的图象如图所示，则正确的是（）

A./(%+7T)=f(X)

B.函数/(%)在(—，•上单调递增

C.直线%=等是函数/(%)的一条对称轴

D.3xC［一等,一工］，使得/(%)——2

12.已知函数/(%)=sin(2x+<%<?),g(%)=cos(2x+g)(-9<%<|^)>则下列结论正确的是

66361212

()

A.若动直线久与/(%),gQ)的图象的交点分别为4B,则|2B|的长可为?

B.若动直线y=m与/(%),以光)的图象的交点分别为4B,则|4B|的长恒为9

C.若动直线y=±m与/(久)，9(久)的图像能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为］

D.若/⑺°)=I，则g(詈—勃=

三、填空题：

13.写出函数y=2—cos%在［0,2兀］上的一个减区间

14..已知aeR,(pE［0,2兀)，若对任意实数%均有sin%>cos(s+卬)，则满足条件的有序实数对(3卬)可

以是.(写出一个即可)

15.已知函数/(%)=2sin⑷久+。)(3>0,|0|<兀)的部分图象如图所示，/(%)的图象与y轴的交点的坐

标是(0,1),且关于点(-，0)对称，若/(%)在区间詈)上单调，则包的最大值是.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】BC

12.【答案】BCD

13.【答案】（0㈤或（1,：）或（-1,以答出任意一个即可）

14.【答案】（兀,2兀）

15.【答案】11

16.【答案】y

17.【答案】解：（1）/（%）=mcos2x+nsin2x,

/（0）=1,•.・m=1.

"/（J）=I，---n=l；

(2)/(%)=cos2x+sin2x=V_~^sin(2%+7),

4

•••/(%)的最小正周期为7T.Xe[0,勺,.,・g42]+'4郎.

.,・当％=0或第=押，/(%)的最小值为1；

a111

(3)f(^)=宁，cosa+sina=耳"，cosa=1一sina.

4

两边平方得25sin2a—5sina-12=0,解得sina=/或sina=—a[0,7r],•••sina=

18.【答案】解：（1）如图，作。”1/8于点”，交线段CD于点E,连接。4、OB,

=7，

•••AAOB6

77TT

・•.AB=2Rsin&OH=Reos各

OE=DE=^AB=Rsin各

・•.EH=OH-OE=R(cos专-sin")，

TCTTTT

S—AB,EH—2Rsin,R(cos-sin

冗冗c.i71、

—R(2si