辽宁省大连沙河口区六校联考2024年中考三模数学试题（含解析）

辽宁省大连沙河口区六校联考2024年中考三模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图是某几何体的三视图，下列判断正确的是（）

A.几何体是圆柱体，高为2B.几何体是圆锥体，高为2

C.几何体是圆柱体，半径为2D.几何体是圆锥体，直径为2

2.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

3232

A.y=--xB.y=—xC.y=­xD.y=——x

2323

3.下列运算正确的是（）

A.a3«a2=a6B.(2a)3=6a3

C.(a-b)2=a2-b2D.3a2-a2=2a2

4.如图，将一块含有30。角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果Nl=30。，那么N2的度数为

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.在平面直角坐标系中，点P（m-3,2-m）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4

场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）

A.gx(x—1)=28B.gx(x+1)=28C.x(x-1)=28D.%(%+1)=28

x<3a+2

7.若关于x的不等式组/无解，则a的取值范围是()

x>a-4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

8.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在BC的延长线上，AE〃BD,点ED在AC同侧，若NCAE=118。，则NB的

大小为（）

Q

9.点M（a,2a）在反比例函数y=—的图象上，那么a的值是（）

x

A.4B.-4C.2D.±2

4

10.在△ABC中，ZC=90°,sinA=y,贝！JtanB等于（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一个多边形的内角和是720，则它是边形.

12.不等式-2x+3>0的解集是

13.分解因式：ax1—a=

14.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把

△EBF沿EF折叠，点B落在B，处，若△CDB”恰为等腰三角形，则DB，的长为.

15.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=£的图象有一个交点A（2,m）,AB_Lx轴于点B,平移直线y=kx使其

x

经过点B,得到直线1,则直线1对应的函数表达式是.

16.已知：正方形ABCD.

求作：正方形ABCD的外接圆.

作法：如图，

（1）分别连接AC,BD,交于点O；

（2）以点O为圆心，OA长为半径作。O,OO即为所求作的圆.

请回答：该作图的依据是___________________________________

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量V（件）与销

售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示.

y（件）

（1）求y与％之间的函数关系式;

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低

于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

18.（8分）如图，AB是半圆。的直径，过点。作弦AD的垂线交半圆。于点E,交AC于点C,使NBED=NC.

⑴判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论;

(2)若AC=8,cosNBED==,求AD的长.

19.（8分）我校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是

根据抽查结果绘制的统计图的一部分.

组别正确数字X人数

A0<x<810

B8<x<1615

C16<x<2425

D24<x<32m

E32<x<40n

根据以上信息解决下列问题：

（1）在统计表中，m=,n=,并补全条形统计图.

（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是.

（3）有三位评委老师，每位老师在E组学生完成学校比赛后，出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果.学校规定:

每位学生至少获得两位评委老师的“通过，，才能代表学校参加鄂州市“汉字听写，，比赛，请用树形图求出E组学生王云参

加鄂州市“汉字听写”比赛的概率.

20.（8分）如图，AABC中，AB=AC=4,D、E分别为AB、AC的中点，连接CD,过E作EF〃DC交BC的延长

线于F；

(1)求证：DE=CF；

(2)若NB=60。，求EF的长.

21.(8分)如图，AD是AABC的中线，CFLAD于点F,BEJ_AD,交AD的延长线于点E,求证：AF+AE=2AD.

22.(10分)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、。不重合)，交直线OA于点Q,

再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这

个定值；如果不是，说明理由；

(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m,0)是x轴正

半轴上的动点，且满足NBAE=NBED=NAOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2

个？

23.(12分)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1,2,3的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，

搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记

下小球上的数字.

(1)用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；

(2)求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率P.

24.如图，在平面直角坐标系中，正方形Q4BC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、V轴的正半轴，抛物线

1,

y=--x2+bx+c^B,C两点，点。为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

试题解析：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱,

再根据左视图的高度得出圆柱体的高为2；

故选A.

考点：由三视图判断几何体.

2、A

【解析】

利用待定系数法即可求解.

【详解】

设函数的解析式是y=kx,

3

根据题意得：2k=-3,解得：k=---.

2

3

函数的解析式是：y=

故选A.

3、D

【解析】

试题分析：根据同底数基相乘，底数不变指数相加求解求解；

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘求解；

根据完全平方公式求解；

根据合并同类项法则求解.

解：A、a3«a2=a3+2=a5,故A错误；

B、(2a)3=8a3,故B错误;

C、(a-b)2=a2-2ab+b2,故C错误；

D、3a2-a2=2a2,故D正确.

故选D.

点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幕的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数

的变化是解题的关键.

4、D

【解析】

如图，因为，Zl=30°,Zl+Z3=60°,所以N3=30。，因为AD〃BC,所以N3=N4,所以N4=30。，所以

Z2=180o-90°-30o=60°,故选D.

5、A

【解析】

分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解.

【详解】

①m-3>0,即m>3时，

2-m<0,

所以，点P(m-3,2-m)在第四象限；

②m-3V0,即m<3时，

2-m有可能大于0,也有可能小于0,

点P（m-3,2-m）可以在第二或三象限，

综上所述，点P不可能在第一象限.

故选A.

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是:

第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,-）.

6、A

【解析】

根据应用题的题目条件建立方程即可.

【详解】

解：由题可得：1x（x-l）=4x7

即：—1）=28

故答案是：A.

【点睛】

本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.

7、A

【解析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可.

x<3a+2

【详解】•••不等式组,无解，

x>。一4

a-423a+2,

解得：a<-3,

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小

小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

8、A

【解析】

根据等腰三角形的性质得出NB=NCAB,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】

•在AABC中，AC=BC,

NB=NCAB,

VAE/7BD,ZCAE=118°,

ZB+ZCAB+ZCAE=180°,

即2NB=180°-U8°,

解得：/B=31。，

故选A.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出NB=NCAB.

9、D

【解析】

Q

根据点M(a,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得:=8，然后解方程即可求解.

x

【详解】

Q

因为点M(a,2a)在反比例函数y=—的图象上,可得：

x

2a2=8,

[2=4,

解得:a=±2,

故选D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象的上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.

10、B

【解析】

43sinB3

法一，依题意△ABC为直角三角形，二ZA+ZB=90°,/.cosB=—,cos2B+sin2B—sinB=—,VtanB=—=—

55cosB4

故选B

b3

法2,依题意可设a=4,b=3,则c=5,；tanb=—=—故选B

a4

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、六

【解析】

试题分析：这个正多边形的边数是n,则(n-2)・180。=720。，解得：n=l.则这个正多边形的边数是六，故答案为六.

考点：多边形内角与外角.

3

12、x<一

2

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得.

【详解】

移项，得：-2x>-3,

系数化为1,得：x<23,

2

故答案为x<=3.

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以

或除以同一个负数不等号方向要改变.

13、a(x+l)(x-l)

【解析】

先提公因式，再套用平方差公式.

【详解】

ax2~a=a(x2-l)=a(x+l)(x—1)

故答案为：«(%+1)(%-1)

【点睛】

掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.

14、36或4逐.

【解析】

(3)当B，D=B，C时，过B，点作GH〃AD,则NB，GE=90。,

当B(=B，D时，AG=DH=-DC=8,由AE=3,AB=36,得BE=3.

2

由翻折的性质，得B，E=BE=3,

AEG=AG-AE=8-3=5,

•••B，G=7B'E2-EG2=A/132-52=33，

.,.BH=GH-B'G=36-33=4,

•••DB=y/B'H2+DH-="2+82=46；

(3)当DB，=CD时，则DB，=36(易知点F在BC上且不与点C、B重合);

(3)当CB，=CD时，

；EB=EB。CB=CBS

...点E、C在BB，的垂直平分线上，

/.EC垂直平分BBS

由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.

综上所述，DB，的长为36或4指.故答案为36或4，？.

考点：3.翻折变换(折叠问题)；3.分类讨论.

3

15、y=—x-3

2

【解析】

【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B,可设平移后

的解析式为y=kx+b,将B点坐标代入求解即可得.

【详解】当x=2时，y=-=3,AA(2,3),B(2,0),

x

；y=kx过点A(2,3),

3

；.3=2k,k=-,

2

.3

••y=-x,

3

•••直线y=,x平移后经过点B,

3

•••设平移后的解析式为y=-x+b,

则有o=3+b,

解得：b=-3,

3

二平移后的解析式为：y=yx-3,

3

故答案为：y=,X-3.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是

解题的关键.

16、正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一

个圆上，这个圆叫四边形的外接圆.

【解析】

利用正方形的性质得到OA=OB=OC=OD,则以点。为圆心，OA长为半径作。O,点B、C、D都在。O上，从而

得到。O为正方形的外接圆.

【详解】

•••四边形ABCD为正方形，

.,.OA=OB=OC=OD,

•••OO为正方形的外接圆.

故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在

同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作

图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐

步操作.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=-10x+700；(2)单价为46元时，利润最大为3840元.(3)单价的范围是45元到55元.

【解析】

(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

(2)根据利润=销售量x单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根

据其性质来判断出最大利润；

(3)首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范

围.

【详解】

40左+6=300左=一10

(1)由题意得：，

55左+b=150b=700

故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700,

(2)由题意，得

-10x+700>240,

解得x<46,

设利润为w=(x-30)»y=(x-30)(-10x+700),

22

w=-10x+1000x-21000=-10(x-50)+4000,

,.,-io<o,

...xV50时，w随x的增大而增大，

；.x=46时，w大=-10(46-50)2+4000=3840,

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

(3)W-150=-10X2+1000X-21000-150=3600,

-10(x-50)2=-250,

x-50=±5,

xi=55,X2=45,

如图所示，由图象得：

当45<x<55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能

从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点.

48

18、(1)AC与。O相切，证明参见解析；(2)

5

【解析】

试题分析：(1)由于OC_LAD,那么NOAD+NAOC=90。，又NBED=NBAD,且NBED=NC,于是NOAD=NC,

从而有NC+NAOC=90。，再利用三角形内角和定理，可求NOAC=90。，即AC是。O的切线；(2)连接BD,AB是

4

直径，那么NADB=90。，在RtAAOC中，由于AC=8,ZC=ZBED,cosZBED=Z,利用三角函数值，可求OA=6,

4

即AB=12,在RtAABD中，由于AB=12,NOAD=NBED,cosNBED=_,同样利用三角函数值，可求AD.

5

试题解析：（1）AC与。O相切.I•弧BD是NBED与NBAD所对的弧，,NBAD=NBED,VOC±AD,

/.ZAOC+ZBAD=90°,/.ZBED+ZAOC=90°,即NC+NAOC=90。，.,.ZOAC=90°,AAB1AC,即AC与。O相

切；（2）连接BD.；AB是。O直径，/.ZADB=90°,在RtAAOC中,ZCAO=90°,VAC=8,NADB=90。，

44

cosZC=cosZBED=Z,/.AO=6,，AB=12,在RtAABD中，,.•cosNOAD=cos/BED=2,

55

考点：1.切线的判定；2.解直角三角形.

7

19、(1)m=30,n=20,图详见解析；(2)90°；(3)—.

27

【解析】

分析：(1)、根据B的人数和百分比得出总人数，从而根据总人数分别求出m和n的值；(2)、根据C的人数和总人数

的比值得出扇形的圆心角度数；(3)、首先根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出答案.

详解：(1)•.•总人数为15+15%=100(人)，

/.D组人数m=100x30%=30,E组人数n=100x20%=20,

补全条形图如下：

(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360。、答=90。,

100

(3)记通过为A、淘汰为B、待定为C,

画树状图如下：

BC

ABCABCABC

ABCABCABCABCABCABCABCABCABC

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况，

7

AE组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为一.

27

点睛：本题主要考查的就是扇形统计图、条形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型.解决这个问题，我们一定

要明白样本容量=频数+频率，根据这个公式即可进行求解.

20、⑴证明见解析；（2）EF=2^.

【解析】

（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；

（2）只要求出CD即可解决问题.

【详解】

（1）证明：D、E分别是AB、AC的中点

.'.DE//CF,

又EF//DC

四边形CDEF为平行四边形

.'.DE=CF.

（2）AB=AC=4,4=60

..BC=AB=AC=4,

又D为AB中点

.-.CD±AB,

•.在RtBCD中，

BD=-AB=2,

2

.-.CD=VBC2+BD2=2^/3，

四边形CDEF是平行四边形,

.•.EF=CD=23

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

21、证明见解析.

【解析】

由题意易用角角边证明4BDE^ACDF,得到DF=DE,再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长.

【详解】

证明：TCFLAD于，BE_LAD,

；.BE〃CF,NEBD=NFCD,

又•.•人口是4ABC的中线，

/.BD=CD,

.•.在△BED^ACFD中，

ZEBD=ZFCD

<ZBED=ZCFD,

BD=CD

/.△△BED^ACFD(AAS)

ED=FD,

又；AD=AF+DF①，

AD=AE-DE②，

由①+②得：AF+AE=2AD.

【点睛】

该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化.

22、(1)y=2x,OA=

9

(2)是一个定值，

9

(3)当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解析】(1)把点A(3,6)代入y=kx得；

V6=3k,

Ak=2,

-••y=2x.

OA=

(2)是一个定值，理由如下：

如答图1,过点Q作QGLy轴于点G,QHLx轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

•.,QNJLQM,QG±QH

不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上，

:.NMQH=NGQN,

又丁ZQHM=ZQGN=90°

/.△QHM^AQGN...(5分)，

*

••，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得.①①

如答图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FCJ_OA于点C,过点A作ARJ_x轴于点R

VZAOD=ZBAE,

AAF=OF,

AOC=AC=OA=

VZARO=ZFCO=90°,ZAOR=ZFOC,

AAAOR^AFOC,

AOF=,

.,.点F(,0),

设点B(x,),

过点B作BK_LAR于点K,贝］△AKBsaARF,

••f

即，

解得xi=6,X2=3(舍去)，

.,.点B(6,2),

,*.BK=6-3=3,AK=6-2=4