2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷（附答案解析）

2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）5+（-2）的结果是（）

A.-7B.-3C.7D.3

2.（3分）如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（）

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.〃2・〃4=〃8B.(2/)4=i6〃6

C.(〃+1)(〃-1)=/-1D.(/+〃)=

4.（3分）某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表:

抛掷次数/次1002003005001000

正面朝上的频5894152251497

数

若抛掷纪念币的次数为2000,则“正面朝上”的频数最接近（）

A.497B.502C.800D.1002

（3x—9<0

5.（3分）将不等式组1"、八的解集表示在数轴上正确的是（）

hr%+2>0

A.-5-4-3-2-101234

B.-5-4-3-2-101234

I：IIIIIIJ1A

C.-5-4-3-2-101234

1,,111111,1>

D.-5-4-3-2-101234

6.（3分）如图，直线。〃6,点A,B分别在直线。和直线b上，点C在直线。和直线6之间，且AC,

BC.若/1=140。，则/2的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.（3分）将二次函数y=/-6x+5的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的

图象的顶点坐标是（）

A.（1,-1）B.（5,-1）C.（1,-7）D.（3,2）

8.（3分）如图，正方形ABC。的边长为6,点、E为BC上一点、,连接DE,过点A作。E的垂线交CD于

点、F,连接2?若CE=2,则3尸的长为（）

A.2V10B.4V13C.8D.2713

9.（3分）某旅行社推出了“游山西•读历史”多条旅游线路，其中某旅行团选择的“平遥+洪洞”线路的

旅游费用在原来报价的基础上每人降价60元，该旅行社给旅行团（人数不变）的报价由13500元降为

10800元.设该旅行社“平遥+洪洞”线路原来报价是每人x元，则根据题意可列方程为（）

13500108001080013500

A.—B.—

xX-60x%-60

_13500108001080013500

C.—D.—

%+60xx+60x

10.（3分）如图，将一张圆形纸片对折三次后,沿图④中的虚线AB剪下（点A和B为半径的中点），得

到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（）

B

图③图④

C.1080°D.1440°

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）计算闻-V20=.

12.（3分）山西知名古塔景点有应县木塔、太原永祚寺双塔、洪洞广胜寺飞虹塔，小明打算五一假期选择

其中两个景点去打卡，他决定用抽签法选择，于是将以上三座塔名制作成三张卡片（除内容外，其余完

全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，则他恰好抽到“应县木塔”和“太原永祚寺双塔”的概

率为_____________________

13.（3分）如图，在口ABC。中，AB=8,/。=72°,以A8为直径的。。与边相切于点E,与BC

边相交于点E连接OE,OF,则图中阴影部分的面积为

14.（3分）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量相（g）与液体的体积V（CM?）,

绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当丫=800耐时，m为g.

15.（3分）如图，在矩形48C。中，点E是边AD上一点，连接BE,EC.过点E作8C的垂线，垂足为

1

F,的角平分线分别交EREC于点G,H.若AECB=^4EBC,AE=5,AB=U,则G”的长

为.

E

AD

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.（10分）（1）计算：（2—5）—8x（33+3。+&厂2.

4、a2+4ci+4

化简:

(2)（1+或2）+4a+8.

17.(6分)2024年中国家电及消费电子博览会(AWE2024)在上海举行.据了解某电商平台2024年2月

份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元.求该电商平

台3,4两个月销售额的月平均增长率.

AWE

18.(9分)五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神•展青春风采”的教育主题活动.为了解七、

八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩(百分制)统计如下:

七年级：98968685849477695994

八年级：99967382967965965596

请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断.

(1)数据整理：根据上面得到的两组数据,分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成

绩的频数分布直方图.

七年级抽取学生的测试成绩统计图

(2)数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示.

年级平均数/分中位数/分方差

七年级a85.5144.36

八年级83.7b215.21

表格中a的值为,b的值为.

（3）结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平

均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价）

19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与X轴交于点A,与y轴交于点8（0,1）,且与反比例

函数＞=¥（尤＞0）的图象交于点C,轴于点。，CD=2.

（1）求直线AC的函数表达式.

（2）当反比例函数y=¥（x＞0）的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围.

（3）设点尸是无轴上的点，若△刑C的面积等于15,请求出点P的坐标.

20.（8分）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机

工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A,B,C,D,E,F,M,N都在同一竖直平面

内.路灯杆AB和折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN,且它们之间的水平距离BC=3m,折

臂底座。=2加，上折臂£尸=8根，上折臂所与下折臂DE的夹角/尸即=88°,下折臂DE与折臂底

座的夹角NC0E=135°,求上折臂顶端尸到地面的距离8?（结果精确到参考数据：sin43°弋

0.68,cos43°-0.73,V2«1.41）

图I图2

21.（8分）阅读与思考

下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何

图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的

本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法

在解题中的应:用，

例：如图1,已知尸为等边三角形ABC内一点，ZAPB=H3°,ZAPC=123°.

A

这

图工C

B1

求以AP,BP,CP为边的三角形中各个内角的度数.

解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP,BP,CP为边的三

角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP,BP,CP的三角形来解决问

题.

解：WAAPC'绕点A顺时针旋转60°得△AQB,则△AQSgZXAPC.

:.BQ=CP,，4。=4尸，Z1=ZCAP.

由旋转可知NQAP=60°,...△4尸。是等边三角形.【依据】

，QP^AP,/3=N4=600.

：./\QBP就天当以AP,BP,。尸为边的三角形.

ZAPB=113°,：.Z5=ZAPB-Z4=53°.

ZAQB=ZAPC=nr.：.Z6=ZAQB-Z3=63°.

；.NQBP=180°-Z5-Z6=64°.

：.LUAP,BPC尸为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°,63°,53°.

构造图形的关:键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表

达出来，使问题变简单.

A

图2

(3)如图3,在四边形ABC。中，ZA£)C=30°，ZABC=60°,AB=BC.求证：BCr^AEr+CEr.

图3

22.(13分)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们画一个RtZXABC,使/BAC=90°,点。为BC的中点，连接AD然

后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习.

动手操作(如图1)

第一步，在线段上取一点E(点A和点。除外)；

第二步，以点。为圆心，以。£为半径画弧交CD于点G

第三步，分别以E,尸为圆心，长为半径画弧，交于点G,连接EG,GF.

猜想验证

(1)根据图1的操作，填空：

①四边形DEGP的形状为,依据的判定定理是；②AE与CF的数量

关系为.

(2)以D为旋转中心，将四边形DEGF按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断AE与CF的数量

关系，并加以证明.

问题解决

(3)如图3,若/A8C=30°,AB=6,DE=2,以O为旋转中心，将四边形。EGF按顺时针方向旋转，

使点尸在2C的下方，连接ER且点RE,C在同一条直线上.求△ACE的面积.

AAA

23.(12分)综合与探究

如图，抛物线y=a/+b尤-2(aWO)与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于C点.点。

与点C关于无轴对称，直线AD交抛物线于另一点£.

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD的函数表达式.

(2)点P是直线AE下方抛物线上的一点，过点P作直线AE的垂线，垂足为F.设点P的横坐标为m,

试探究当初为何值时，线段尸尸最大？请求出尸尸的最大值.

(3)在(2)的条件下，当PF取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存

在以点8,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

备用图

2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.(3分)5+(-2)的结果是()

A.-7B.-3C.7D.3

【解答】解：5+(-2)=5-2=3,

故选：D.

2.(3分)如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是()

【解答】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各

有1个正方体.

故选：D.

3.(3分)下列运算正确的是()

A.a2*a4=a8B.(2a2)4=l6a6

C.(a+1)(a-1)—a2-1D.(fl4+a)+a=/

【解答】解：故A不符合题意；

(2a2)4=162,故2不符合题意；

(a+1)(a-1)=a2-1,故C符合题意；

(a4+o)-^a—cv'+i,故。不符合题意；

故选：C.

4.(3分)某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表：

抛掷次数/次1002003005001000

正面朝上的频5894152251497

数

若抛掷纪念币的次数为2000,则“正面朝上”的频数最接近（）

A.497B.502C.800D.1002

【解答】解：因为正面朝上的频率接近于0.5,

所以若抛掷硬币的次数为2000,“正面朝上”的频数最接近1000.

故选：D.

（3%—940

5.（3分）将不等式组1的解集表示在数轴上正确的是（）

不无+2>0

A.-5-4-3-2-101234

B.-5-4-3-2-101234

।J।।।।।।J।>

C.-5-4-3-2-101234

।J।।।।।।।»

D.-5-4-3-2-101234

【解答】解第一个不等式得：xW3

解第二个不等式得：x>-4

不等式组的解集为：-4〈尤W3

在数轴上表示不等式组的解集为：

-5-4-3-2-1

故选：A.

6.（3分）如图，直线a〃6,点A,8分别在直线。和直线6上，点C在直线“和直线6之间，且AC,

BC.若/1=140。，则/2的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：如图，作CD"a,

则/2=NAC。，

'：a//b,

：.CD//b,

：.ZBCD=1SO°-Zl=40°,

VACXCB,

ZACB=90°,

/.ZACD=ZACB-ZBCD=50°,

.\Z2=ZACD=50°,

故选：C.

7.(3分)将二次函数y=/-6x+5的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的

图象的顶点坐标是()

A.(1,-1)B.(5,-1)C.(1,-7)D.(3,2)

【解答】解：将y=7-6x+5=(x-3)2-4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度

可得：

y—(x-3-2)2-4+3=(x-5)2-1,

则平移后的二次函数图象的顶点为(5,-1).

故选：B.

8.(3分)如图，正方形ABC。的边长为6,点、E为BC上一点、,连接过点A作。E的垂线交CD于

点、F,连接若CE=2,贝I」8尸的长为()

B.4V13C.8D.2V13

【解答】解：：四边形A8CD是正方形,

：.AD=CD=AB=BC=6,ZADC=ZC=90a,

ZDEC+ZCDE=90°=ZCDE+ZAFD,

：.ZAFD^ZDEC,

：.AADF^/XDCE(AAS),

：.DF=CE=2,

：.CF=4,

：.BF=y/BC2+CF2=V62+42=2V13,

故选：D.

9.（3分）某旅行社推出了“游山西•读历史”多条旅游线路，其中某旅行团选择的“平遥+洪洞”线路的

旅游费用在原来报价的基础上每人降价60元，该旅行社给旅行团（人数不变）的报价由13500元降为

10800元.设该旅行社“平遥+洪洞”线路原来报价是每人尤元，则根据题意可列方程为（）

13500108001080013500

B.--------=----------

xX-60xx-60

13500108001080013500

D.--------=----------

x+60X%+60%

【解答】解：设该旅行社“平遥+洪洞”线路原来报价是每人尤元,

1350010800

由题意得:

xx-60

故选：A.

10.（3分）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线A8剪下（点A和5为半径的中点），得

A.360°B.720°C.1080°D.1440°

【解答】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线48剪下（点A和8为半径的中点），得到

两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，

，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（8-2）X18O0=1080°,

故选：C.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）计算闻一何=_花_.

【解答】解：闻—恼

=V9x5-V4x5

=3百-2V5

=V5.

故答案为：Vs.

12.（3分）山西知名古塔景点有应县木塔、太原永祚寺双塔、洪洞广胜寺飞虹塔，小明打算五一假期选择

其中两个景点去打卡，他决定用抽签法选择，于是将以上三座塔名制作成三张卡片（除内容外，其余完

全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，则他恰好抽到“应县木塔”和“太原永祚寺双塔”的概

率为~■

【解答】解假设“应县木塔”，“太原永祚寺双塔”，“洪洞广胜寺飞虹塔”分别为A、B、C,

根据题意画图如下：

由图可知，共有6种等可能结果，其中恰好是“应县木塔"和''太原永祚寺双塔”的有2种，则抽到“应

县木塔”和“太原永祚寺双塔”的概率是马=

63

m1

故答案为：­.

13.（3分）如图，在口48。£>中，AB=8,Z£>=72°,以A3为直径的。。与CD边相切于点E,与BC

127r

边相交于点R连接OEOF,则图中阴影部分的面积为—.

—5-

【解答】解：・・・ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,ZABC=ZD=72°,

AZAOF=2ZABC=144°.

〈CD与。0相切，

：.ZOED=90°,

ZAOE=90°,

.\ZEOF=144°-90°=54°.

VAB=8,

・•・OE=4,

547rx42127r

所以阴影部分的面积为.

3605

故答案为：-1—.

14.（3分）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量加（g）与液体的体积V（。苏）,

绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当V=80c/时，根为2120

【解答】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量加（g）与液体的体积丫（°小3）为一次函数关系,

设m=ZV+b（左W0）,

将（20,158）,（120,248）代入解析式得：］既可：

1120/c+b=248

解得.0=09

用牛用F=140

・••加=0.9V+140,

当£=80。加3时，m=0.9X80+140=212(g),

故答案为:212.

15.（3分）如图，在矩形ABC。中，点E是边上一点，连接BE,EC.过点E作BC的垂线，垂足为

1

F,/E8C的角平分线分别交EF,EC于点G,H.若乙ECB=^KEBC,AE=5,AB=12,则GH的长

【解答】解：如下图，过点G作GPLBE于点P,连接ED,交EC于点0,

,四边形ABC。为矩形，AE=5,48=12,

ZA=ZABC=ZBCD^ZCDA^9Q°,CD=AB=12,

：.BE=y/AB2+AE2=13,

'：EF.LBC,

：.ZCFE=ZBFE=90°,

四边形ABFE、CDE尸均为矩形，

：.BF=AE=5,EF=AB=12,

:由/为NE3C的平分线，GP±BE,EFLBC,

：.PG=FG,

又•：BG=BG,

.•.RtABGP^RtABGF(HI),

:.BP=BF=5,PG=FG,

：.EP=BE-BP=8,

BFPG即右5PG

•tcm/BEF=而=而，即有否=百，

：.PG=苧，

：.PG=FG=号10

：.EG=EF—FG=竽，

・・•四边形CDE尸为矩形,

・•・OF=OC,

：.ZOFC=ZOCF,

'；乙ECB=W^EBC,为NE5C的平分线,

1

:•乙HBC="EBC=乙ECB,

：.ZOFC=ZHBC,

9：ZBFG=ZBCD=90°,

△BFGsBCD,

IO

BFFG5V

—=—，即—=—，解得FC=18,

FCCDFC12

：.FD=VFC2+CD2=V182+122=6V13,

・・•四边形CDE厂为矩形，

1

：.FO=3V13,

•：/OFC=/HBC,

：.BH//FD,

；・/EGH=/EFO,/EHG=/EOF,

•••△EG"s△封o,

26

.EGGH-GH

--,即---=

9EFFO123713?

解得GH=萼I

13V13

故答案为:

6

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（10分）（1）计算：（2-5）—8*（｝3+3。+（｝-2.

⑵化简：（1+言）+咤隼

1

【解答】解：（1）原式=—3—8Xc+1+4

O

=-3-1+1+4

=1;

2

（2）原式一。+2-（一+2）

U尿八一Q_2.4（a+2）

_a+2_4（a+2）

Q—2（a+2）2

4

CL-2,

17.（6分）2024年中国家电及消费电子博览会G4WE2024）在上海举行.据了解某电商平台2024年2月

份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元.求该电商平

台3,4两个月销售额的月平均增长率.

AWE

【解答】解：设该电商平台3,4两个月销售额的月平均增长率为x.

根据题意得10（1+x）2=12.1,

解得尤1=0.1,股=-2.1（不符合题意，舍去），

所以尤=0.1=10%.

答：该电商平台3.4两个月销售额的月平均增长率为10%.

18.（9分）五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神•展青春风采”的教育主题活动.为了解七、

八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩（百分制）统计如下:

七年级：98968685849477695994

八年级：99967382967965965596

请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断.

（1）数据整理：根据上面得到的两组数据,分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成

绩的频数分布直方图.

七年级抽取学生的测试成绩统计图

（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示.

年级平均数/分中位数/分方差

七年级a85.5144.36

八年级83.7b215.21

表格中a的值为84.2,b的值为89.

(3)结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.(从“平

均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价)

【解答】解：(1)由成绩统计可得：八年级成绩在60〜70之间的有1人，在70〜80之间的有2人，

补全八年级频数分布直方图如答图所示：

八年级抽取学生的测试成绩统计图

98+96+86+85+84+94+77+69+59+94

故答案为：84.2,89；

(3)答案不唯一，合理即可，

从平均数来看：七年级抽取的10名学生成绩的平均数高于八年级抽取的10名学生成绩的平均数；

从中位数来看：八年级抽取的10名学生成绩的中位数高于七年级抽取的10名学生成绩的中位数；

从方差来看：七年级抽取的10名学生成绩的方差小于八年级抽取的10名学生成绩的方差，

说明七年级抽取的10名学生成绩波动小.

19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线AC与无轴交于点A,与y轴交于点2(0,1),且与反比例

函数y=¥(尤＞0)的图象交于点C,轴于点。，CD=2.

(1)求直线AC的函数表达式.

(2)当反比例函数？=产(彳＞0)的函数值＞三2时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围.

(3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15,请求出点P的坐标.

%

A/O

【解答】解：(1)・・・CD，y轴于点。，CD=2,

・••点。的横坐标为2,

将冗=2代入y=¥，得y=5,

：.C(2,5),

设直线AC的函数表达式为》=丘+6(左W0),

C(2,5)代入y=fcv+b得心=2

(2k+b=5

5

-

-4

5

-

-2

，直线AC的函数表达式为y=[%+)；

(2)在y=¥中，当y=2时，2=?,解得冗=5,

由图象可得：当反比例函数y=当(％>0)的函数值y22时，自变量x的取值范围为0VxW5；

55,

(3)当y=0时，-%+-=0,解得x=-2,

AA(-2,0),

・・•点P是x轴上的点，

・•・设点尸的坐标为(X0,0),

VC(2,5),

1

:・S^APC=2xAPx5=15,

.'.AP=6,

\xo-(-2)|=6,

.\xo=-8或xo=4,

・・・点尸的坐标为(-8,0)或(4,0).

20.(8分)如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机

工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A,B,C,D,E,F,M,N都在同一竖直平面

内.路灯杆AB和折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN,且它们之间的水平距离BC=3m,折

臂底座C£)=2〃z,上折臂EP=8烧，上折臂EF与下折臂。E的夹角/尸皮)=88°,下折臂DE与折臂底

座的夹角/C£)E=135°,求上折臂顶端F到地面的距离(结果精确到0.1加，参考数据：sin43°心

图I图2

【解答】解：如答图,过点E作EGLMN,垂足为G,过点D作DHLEG,垂足为H,过点E作EK

LBF,垂足为K.

KB,HG=DC=2,NHDC=90°,EK//DH.

VZC£)E=135

NEDH=ZEDC-/HDC=45

'：EK//HD,

：.ZKED=ZEDH^45°.

VZF£D=88°,

NFEK=ZFED-ZKED=43°.

在Rt/XFEK中，EF=8,

：.FK^EF'sin43°心8X0.68=5.44.

EK=EF-cosAV^8X0.73=5.84.

：.GB=EK=5.84.

,:BC=3,

：.GC=GB-BC=5.84-3=2.84.

：.DH=GC=2.M.

在RtzXEDH■中，£H=DH»tan45°=2.84X1=2.84.

，KB=EG=£W+HG=2.84+2=4.84.

.•・FB=K8+FK=4.84+5.44=10.28心10.3(m).

答：上折臂顶端尸到地面的距离EB约为10.3m.

21.（8分）阅读与思考

下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何

图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的

本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法

在解题中的应用,

例：如图1,己知尸为等边三角形ABC内一点，113°,/APC=123

求以AP,BP,CP为边的三角形中各个内角的度数.

解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP,BP,CP为边的三

角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP,BP,CP的三角形来解决问

题.

解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,则

：.BQ=CP,AQ=AP,Z1=ZCAP.

由旋转可知/。4尸=60°,.,.△AP。是等边三角形.【依据】

QP=AP,Z3=Z4=60°.

.♦.△。8尸就是以AP,BP,CP为边的三角形.

VZAPB=H3°,：.Z5=ZAPB-Z4=53°.

VZAQB^ZAPC^nr.：.Z6=ZAQB-Z3=63

：.ZQBP=180°-Z5-Z6=64°.

.•.以AP,BP,CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°,63°,53°.

构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表

达出来，使问题变简单.

任务：

(1)上面小论文中的“依据“是有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

(2)如图2,已知点P是等边三角形ABC的边8c上的一点，若/APC=102°,则在以线段AP,BP,

CP为边的三角形中，最小内角的度数为18°.

图2

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZA£)C=30°,ZABC=60°,AB=BC.求证：BD1=AD1+CD2.

图3

【解答】(1)解：依据是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，

故答案为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(2)解：如图1,将△ACP绕点A顺时针旋转60°到△AQB的位置，连接PQ,则

BPC

图1

:・BQ=CP,AQ=AP,Z\=ZCAP,

由旋转的性质可知NQ4尸=60°,

：.AAPQ是等边三角形，

・・・QP=AP,N3=N4=60°,

・•・403尸就是以AHBP,。尸为边的三角形，

VZAPC=102°,

.\Z5=180°-ZAPC-Z4=180°-102°-60°=18°,

VZAQB=ZAPC=102°,

：.Z6=ZAPC-Z3=102°-60°=42°,

：.ZQBP=18Q°-Z5-Z6=120°,

VZ5<Z6<ZgBP,

・•・最小内角的度数为18°,

故答案为：18；

(3)证明：如图2,连接AC,将△BCD绕点。顺时针旋转60°到AACE的位置，连接OE,

图2

VZABC=60°,AB=BC,

・・・△ABC是等边三角形，

:.BC=AB=AC9

由旋转可知CE=CD,ZDCE=60°,

•••△OCE为等边三角形，

：.DE=DC,ZCDE=60°,

ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

在RtAADE中，由勾股定理得AE2=AD2+DE2,

：.Bb1=AD2+DC2.

22.（13分）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们画一个RtZkABC,使N5AC=90°,点。为的中点，连接AZ）.然

后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习.

动手操作（如图1）

第一步，在线段上取一点E（点A和点。除外）；

第二步，以点。为圆心，以。E为半径画弧交C。于点E；

第三步，分别以E,尸为圆心，OE长为半径画弧，交于点G,连接EG,GF.

猜想验证

（1）根据图1的操作，填空：

①四边形。EGF的形状为菱形，依据的判定定理是四条边相等的四边形是菱形；②AE与CF

的数量关系为相等（或AE=CQ.

（2）以D为旋转中心，将四边形DEGF按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断AE与CF的数量

关系，并加以证明.

问题解决

（3）如图3,若/A8C=30°,AB=6,DE=2,以。为旋转中心，将四边形。EGP按顺时针方向旋转，

使点尸在BC的下方，连接ER且点RE,C在同一条直线上.求△ACE的面积.

【解答】解：（1）①根据作图可知。E=DF=EG=FG,

故根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形的菱形;

故答案为：菱形，四条边相等的四边形是菱形；

②相等（或AE=CF）；

证明：：在RtZ\A8C中，点。是BC的中点，

：.AD=BD=CD,

由作图知DE=DF=EG=FG,

...四边形。EGF是菱形，

:.DE=DF,

：.AD-DE=CD-DF,

：.AE=CF；

故答案为：相等；

(2)AE=CF.

证明：：在Rt^ABC中，点。是8C的中点,

:.AD=BD=CD,

由图1知NA£)C=NEOF,

?.ZADC-ZEDC=ZEDF-ZEDC,

即ZADE=ZCDF.

•••四边形。EGE是菱形，

:.DE=DF.

在△ADE和△CZ5P中，

AD=CD

乙ADE=4CDF.

.DE=DF

：.AADE^/\CDF(SAS),

J.AE^CF-,

(3)如图，连接QG,与CF的交于点H.

图3

:在RtA4BC中，ZABC=30°,AB=6,

AZACB=6Q°,BC="。=2=4®AC=^BC=2A/3.

cos30°V32

~2

:在Rt^ABC中，。是8c的中点，

：.AD=BD=CD=2V3,

/.ZADC=60°.

由旋转可知NEDF=NAOC=60°.

又：四边形。EGF是菱形，DE=2,

：.DF=DE,DGA.FE.

:./EDH=30°,

：.DH=DE-cos30°=V3,HE=1.

在Rt/