浙江宁波市2024年九年级下学期暑假夏季竞赛数学试卷+答案

2024暑假宁波九年级数学夏季竞赛

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本试卷共4页,14小题,满分100分,考试用时90分钟。全卷分为选择题部分和非选择题部分。

选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。

选择题部分（32分）

一、选择题I：本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.如图,在矩形4BCD中，点分别是边BC和对角线BQ上的点，满足BF=AD,DF=BE，若

EF//AB，则整=

A.5-2V5B.-C.-D.—

223

2.有两条中线长分别为3和6的三角形面积的最大值为

A.9B.12C.18D.24

3.222…222（一共222个2）除以7的余数是

A.0B.1C.2D.4

4.关于x,y的方程x3+y3-4xy的正整数解的组数为

A.0B.1C.2D.无数个

二、选择题H:本题共2小题,每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

5.一张A4规格的复印纸（下简称A4纸）是长为2acm,宽为acm的矩形.如图，现有一张矩形纸

片ABCD（AB>AD）AD=acm,则下列说法中正确的有

A.在BC上取一点E，将△ABE沿着AE翻折使点B的对应点恰好在CD上,复原后，使用量角器

测量乙DAB'，若乙DAB'=45°，其为A4纸

B.对折纸片使AD与BC重合,折痕为M,N（M在上），复原后,用量角器测量Z-BDC和乙CMN,

若乙CMN=ZBDC,则其为A4纸

C.在CD上取一点F,将△BCF沿着BF翻折使点C的对应点C恰好在BD上，若2,尸,。在同一

条直线上，则其为A4纸

D.对折纸片使AD与BC重合,折痕为M,N（M在AB上），将△CBM沿着CM翻折，若点B的对应

点B"恰好在对角线上,则其为A4纸

6.在平面直角坐标系中，已知4（1,1）,B为反比例函数y=§图象上的动点且不与A重合，以AB为

斜边作等腰直角△ABC，设直线BC的解析式为y^kx+b，则

A.当点C也在反比例函数图象上时,k的所有取值之积为1

B.当点C也在反比例函数图象上时,k的所有取值之和为V5

C.点C的轨迹是轴对称图形

D.当点C在第四象限时,C与点D（1-V2,0）的距离最小值为V2

非选择题部分（68分）

三、填空题:本题共5小题,每小题5分共25分。

7.已知不相等的两实数a,b满足a+：=b+二则ab=

ba

8.如图,△ABC的外接圆。。与内切圆O/的半径之比为4:1,若乙4=60。,则tan乙48/•

tanNJlC/=.

A

-12+1+1,-22+2+l,-32+3+l,,-1002+100+l

9.——：—+——：—+——;—+…+----------：——

1!2!3!100!

(阶乘n!表示nx(n-1)x•••x1，结果用数的阶乘表示)

10.如图,E是四边形ABC。对角线的交点,BC=CD,AE=2CE/ABD=2乙CBD,AB=5,AD=

7，则AC=

11.同时满足下列三个条件的正四位数的个数为

①任意相邻的两个数位的差的绝对值不为2;

②能被2整除；

③各个位数仅由1〜5构成.

四、解演算步骤答题:本题共3小题，共43分。使用非初中知识解答的，该小问酌情扣分。12.

(13分)

已知函数y-x\x—2a\+(a+l)x.

(1)若a=-2,x>-5,求y的最小值；

(2)当1<%<2时，有4<y<16恒成立，求a的取值范围.

13.(15分)如图,Rt△ABC和Rt△AEF中C,E是直角顶点,0在边AB±,AE=AC,AC2AD-

AB，点F在BD的垂直平分线上.

(1)如图1,若乙B=30°,AE1AB，求sin乙EFD;

(2)如图2,求证:DF=FE.

E

14.(15分)

(1)设关于x的方程a(x-1)(%-2)(%-3)=0(aH0)的三个解为xltx2,x3.

(i)将方程转化为"CLX3+bx2+ex+d-0"的形式：

=(久1+%2)(>2+%3)(%3+%1)=

(2)已知函数yi=炉+t%2+5%+i与丫？=kt+t(t。0)的图象有三个不同的交点A,B,

C,AB,BC,AC的中点为P^Xp.yp).Q{xQ,yQ},R(xR,yR)，若xPxQxR为定值，求k;

(3)对任意有4个不同实根的方程ax44-bx34-ex2+dx+e—0(aH0)都有pb2>ac恒成立,

求p的最小值.

数学参考答案和评分标准

一、选择题I：本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.C

2.B

3.A

4.B

解析：

L由题意得△ADF=/\FBE，则案=||=警，故F是线段BD的一个黄金分割点

BDBCBF

EF_BF

~CD~~BD~~2-'

2.两中线垂直取到最值。

3.方法一、因为1001能被7整除因此任何abcabcOOOO……式的数字均能被7整除;即,任何

ABCABCDEFDEFGHIGHI…式的数字均能被7整除

方法二、

2除以7的余数为2

22除以7的余数为1

222除以7的余数为5

2222除以7的余数为3

22222除以7的余数为4

222222除以7的余数为0

2222222除以7的余数为2……

由规律得，原数余数为

4.整理得4=次+竺=x+y

yxx+y

因此x+y<4，经验证，只有x=2,y=2符合条件

二、选择题II：本题共2小题,每小题6分，共12分。评分标准如下表:

选项数分档详细

23选错不选0分,选对1个给3分,选对2个给6分

34选错不选0分,选对1个给2分,选对2个给4分,选对3个给6分

5.ABD

6.ACD

解析：

5.A选项导角分析即可,B选项通过矩形的相似得出,C选项得出的长宽是黄金比,D选项结合相似、

射影定理判断垂直.

6.AB根据一线三等角得到、C瓜豆原理.D通过计算得到

三、填空题:本题共5小题,每小题5分，共25分。

除了括号内的等效答案外,别的答案一律不给分！

7.-1

1

8.1(0.2)

9・益一1(*、展开阶乘也对)

10.V58

11.116

解析：

7.

1111

a=b—=>a-----=b――,

baab

构造函数y=x-3，令k-x一则由韦达定理/尤2-ab--1,

8.取弧BC中点E,OE与BC的交点为。，取圆/的切点为G,/H1OE.

不妨设BC=12.

第一步:翻译条件

由题意得四=4="，故0D=2IG=2V3.

VIG

第二步:确定图形

由Z.B1C=/.BOC得至UB,C共圆，

得EI=E0=48,在△IHE中得IH=V21.

第三步:求值

IGV32V3-V7

=--=----=------------,

BG6+^215

同理,tanzL4c7=您丁.

故tan乙4B/•tan乙4C7=1.

9.考查变形能力

—n2+n+1n+1n

nln\(n—1)!

-I2+1+1-22+2+1-32+3+1-1002+100+1100+11101

+…+-----------=------1

1!+2!+3!100!100!0!100!

10.过。作的垂线交BC于G,AF1DG于F,BH垂直AF于H，则

可知点A,G到BD的距离都是是。的2倍，故FD=DG,

所以BF是乙ABD的平分线，故AF=AB=5,DF=y/DA2-AF2=2y/6=BH=DG,

故AH=1,在△AG中解得AC=(2)2+(3V6)2=V58

11.考虑列表，第X行第Y列表示以Y结尾的符合条件的X位数的数量每次向下填写时,将上一行

除了差值为2的数都相加填入

结果为116

结尾为1结尾为2结尾为3结尾为4结尾为5

一位11111

两位44344

三位1615111516

四位6258416862

四、解演算步骤答题:本题共3小题，共43分。

12.⑴(5分)

①当一5<x<-4时,y=-(久+丁+g>0,2分，此处过程可以略写，但是必须要有

讨论的痕迹！

②当久2-4时,y=-(％+|)-2,1分，写出能体现最小值一:就给分。

\2/44

所以工=一1寸取最小值一，2分。

24

上面没有突出取等条件尤=-|的，就算答案对也扣1分！

12.(2)(8分)

①当aW”寸,y=(x—辞丫―一，

x=1时,y=2-a;x=2时,y=6-2a，有求点的思想给1分。

结合图像得｛：二2a<16，解得一53aW-2.式子1分，结果1分。

②当a之1时,同理得|<a<3.同上,3分。

③当：<a<1时,x=2a时,y=2a(a+1)<4，显然不成立.有说明不成立就给1分。

综上,]WaW3或—