学双曲线知识点及例题专练讲义高三数学一轮复习

定义（定义指出了双曲线上的点具有的特点：）当|MF1|－|MF2|=2a时，表示焦点F2所对应的一支；当|MF2|－|MF1|=2a时，表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；标准方程注意谁正在谁上（注意谁正在谁上（a>0，b>0）图形中心顶点焦点对称轴范围离心率离心率与渐进线相互决定(e越大，图像张口越，e越大，图像张口越)离心率与渐进线相互决定渐近线将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解实轴虚轴其它性质当a=b时，双曲线叫做此时离心率为渐进线（两条渐近线）2.双曲线焦点三角形面积公式：3.通径的定义是：双曲线的通径长为4.焦点到渐近线的距离为5.双曲线的焦点永远在实轴上。6.若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或与渐近线平行。双曲线的定义已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线点P在双曲线x216-y220=1上，若点P到焦点F1已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程利用标准方程确定参数双曲线x2-2y2若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.（5）表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是.（6）表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是.（7）表示双曲线，则实数k的取值范围是.8.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．9.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则_________．求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．过点，且焦点在坐标轴上．，经过点（－5，2），焦点在轴上．双曲线的渐近线方程为，焦距为与双曲线有相同焦点，且经过点双曲线C：x2a2-y焦点三角形双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，面积公式推导：面积公式推导：椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形．已知是的两个焦点，在双曲线上，且，求的面积.设为上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，求的面积离心率的有关问题双曲线的渐近线为，则离心率为已知F为双曲线C： x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，求双曲线的离心率e的范围渐近线的有关问题双曲线x2a2-y已知F为双曲线C：x2-my2=4m(m>0)的一个焦点，则点F焦点到渐近线的距离为b证明：证明：最值问题双曲线的左焦点为F，定点A(1,4),P是双曲线右支上动点，则弦长、中点弦问题设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：证明：椭圆中线弦斜率公式双曲线x2y2=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为_______在双曲线x2设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于A、B两点，且（O为坐标原点）.（1）求双曲线方程；（2）求.补充练习：一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的过第二、四象限的渐近线l上，且A.2 B.5 C.62.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，F1,FA.263 B.4633.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A.双曲线的渐近线方程为y=±33x

B.双曲线C的离心率为2

C.若PF1⊥PF2，则4.设a>1，则双曲线x2a2-y2A.(2,2) B.(2,二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。5.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-4,0)，F2(4,0)，过点F2的直线与双曲线E的右支交于P，Q两点，PFA.双曲线E的渐近线方程为y=±3x

B.若直线y=kx+2与双曲线E有且仅有1个公共点，则k=±2

C.|PQ|的最小值为12

6.已知双曲线：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52，且双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C上异于AA.双曲线C的方程为x24-y2=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x

C.点F到双曲线C的渐近线距离为7.已知双曲线x2-y23=1的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2A.2 B.3 C.4 D.58.已知曲线M:x2cosθ+A.M可能是两条平行的直线

B.M既不可能是抛物线，也不可能是圆

C.M不可能是焦点在y轴上的双曲线

D.当0<θ<π2时，M是一个焦点在三、填空题：9.已知F1-c,0，F2c,0是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，圆O：x2+y210.设A是函数f(x)=2x2-147图象上一点，M(-3,0)，N(3,0)，若|AM|⋅|AN|=21，则四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.已知双曲线x2-y22=1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点．

(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；

(2)若PA⋅PB≤9，求|OP|的取值范围；

(3)椭圆C的长轴长为22，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q.记△POA

补充练习：（含答案）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的过第二、四象限的渐近线A.2 B.5 C.6【答案】B

【解答】

解：∵|BF2|-|BF1|=2a，∴点B在双曲线C的左支上，坐标原点为O，

∵F2B+2BA=0，∴点A为线段F2B的中点，

线段|AF2|的长度等于点F2(c,0)到直线l:y=-bax的距离，

由点到直线的距离公式求得|AF2|=b，2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，F1A.263 B.463【答案】B

【解答】

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=8，m-n=2a，可得m=4+a，n=4-a，

因为ca=32，

所以|F1F2|=2c=3a，

在△PF1F2中，由余弦定理得|3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为AA.双曲线的渐近线方程为y=±33x

B.双曲线C的离心率为2

C.若PF1⊥PF2，则【答案】D

【解答】

解：设双曲线的焦距为2c，(c>0)，

对于A，设Px1,y1，因为直线PA1与PA2的斜率存在，故x1≠±a，

则y12=b2x12a2-1，

因为A1(-a,0)，A2(a,0)，直线PA1与PA2的斜率之积等于3，

所以kPA1⋅kPA2=y1x1+a⋅y1x1-a=y12x12-a2=b2a2=3，

故双曲线的渐近线方程为y=±3x，故A错误；

双曲线的离心率e=1+b24.设a>1，则双曲线x2a2-A.(2,2) B.(2,【答案】B

【解答】

解：∵双曲线方程为x2a2-y2(a+1)2=1，

∴c=

2a2+2a+1

∴e=ca二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。5.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-4,0)，F2(4,0)，过点F2的直线与双曲线E的右支交于P，Q两点，A.双曲线E的渐近线方程为y=±3x

B.若直线y=kx+2与双曲线E有且仅有1个公共点，则k=±2

C.|PQ|的最小值为12

【答案】ACD

【解答】

解：因为△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B，如图，

由切线长定理可知|PM|=|PN|，|F2B|=|F2N|，|AM|=|AB|，|AF1|=|AF2|，

所以|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AF1|-(|PN|+|F2N|)

=|AM|+|AF1|-|F2N|=|AB|+|AF2|-|F2B|=2|AB|=4，

所以a=2，c=4，b=16-4=23，

则双曲线E的方程为x24-y212=1，

双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±3x，故A正确．

对于B选项，由y=kx+2,x24-y212=1,消去y并化简得(3-k2)x2-4kx-16=0，(*)

注意到当3-k2=0，k=±3时，方程(*)有唯一解，

即此时直线y=kx+2与双曲线E6.已知双曲线：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52，且双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线CA.双曲线C的方程为x24-y2=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x

C.点F到双曲线C的渐近线距离为【答案】AD

【解答】

解：∵双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，

∴F(-5,0)，c=5，

又离心率为52，

∴ca=5a=52，即a=2，

∴b=c2-a2=1，

∴双曲线C的方程为x24-y2=1，即选项A7.已知双曲线x2-y23=1的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点PA.2 B.3 C.4 D.5【答案】AB

【解答】

解：由题意A(1,0)，F(2,0)，

当P在左支上，当PA=2时，此时P为左顶点，P(-1,0)，此时PF=3；

当P在右支上，此时设P(x0,y0)，x0⩾1，

当PA=2时，可得x0-12+8.已知曲线M:x2A.M可能是两条平行的直线

B.M既不可能是抛物线，也不可能是圆

C.M不可能是焦点在y轴上的双曲线

D.当0<θ<π2时，M是一个焦点在【答案】AB

【解答】

解：A项：当cosθ=0即θ=π2时，B项：若M是圆，

当cosθ≠0时，

方程化为x21cos θ由于无一次项，故不可能是抛物线，正确；C项：由

θ∈(0,π),sinθ>0，为双曲线时cosθ<0，

D项：若M是焦点在y轴上的椭圆，

则

sin θ>1cos θ>0⇒sin三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。9.已知F1-c,0，F2c,0是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，圆O：x2+【答案】2

【解答】解：如图，

双曲线C：x2a2因为圆O：x2+y2=c2所以y=baxx2则x=a,y=b，即Pa,b，

设双曲线的右顶点为A，则A连接AP，则AP⊥x轴，且AP=b,由勾股定理可得b2化简可得c2同时除以a2可得e2-e-2=0，解得e=2或e=-1(则C的离心率e=2．故答案为：210.设A是函数f(x)=2x2-147图象上一点，M(-3,0)，N(3,0)，若【答案】4【解答】

解：设y=2x2-147，则x27-y22=1(y≥0)，则f(x)=2x2-147的图象是双曲线x四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.(本小题12分)

已知双曲线x2-y22=1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点．

(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；

(2)若PA⋅PB≤9，求|OP|的取值范围；

(3)椭圆C的长轴长为22，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q.【答案】解：(1)两条渐近线方程为2x±y=0，

所以n1=(2,1),n2=(2,-1)

设两条直线夹角为θ，则cosθ=|2