27对数与对数函数讲义学生版

27对数与对数函数讲义高考要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系．[知识总结]1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN；以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．课前自测1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.()(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．()(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．()(4)函数y＝log2x与y＝log12x2．(2023·雅安模拟)已知xlog32A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为()4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[考点题型]考点一对数式的运算[例1](1)(2024全国甲卷理真题T15)已知，1log8a−1(2)(2024北京卷卷真题T7)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A.B.C.D.(3)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则实数m的值为________．(4)计算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[对点训练1](1)若a>0，a23=A．2B．3C．4D．5(2)计算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________.考点二对数函数的图象及应用[例2](1)(多选)y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a＞1B.0＜c＜1C.0＜a＜1D.c＞1(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．[10,12]B．(10,12]C．(10,12)D．[10,12)思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[对点训练2](1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是()(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图，则f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为()考点三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小[例31]1.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为（）A B. C. D.2.已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b命题点2解对数方程、不等式[例32](2023·衡阳模拟)若loga12A.(22,1)∪(1，＋∞)B.(0,22)C.(2命题点3对数函数的性质及应用[例33](2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在(12,+∞)C．是偶函数，且在(−∞,−12)思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[对点训练3](1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1]D