专题09二次函数与一元二次方程不等式2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）原卷版

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）专题09二次函数与一元二次方程、不等式考点一解不含参数的一元二次不等式考点二一元二次不等式与根与系数关系的交汇考点三简单分式不等式的解法考点四解含参数的一元二次不等式考点五实际问题中的一元二次不等式考点六一元二次不等式中的恒成立和有解问题一、一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．二、二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.三、一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.五、利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．六、简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”七、一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.【常用结论】解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【题型一解不含参数的一元二次不等式】策略方法解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象.(5)根据图象写出不等式的解集.一、解答题1．（2324高一上·新疆·期末）解下列不等式；(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2324高一上·北京·期中）解关于的不等式.(1);(2)(3).【题型二一元二次不等式与根与系数关系的交汇】策略方法已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,解其他不等式的解集时,一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号.(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式.(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.一、单选题1．（2324高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．2．（2324高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．【题型三简单分式不等式的解法】一、填空题1．（2324高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为.2．（2324高一上·福建福州·期中）不等式的解集为．3．（2324高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为.4．（2324高一上·上海·期中）不等式的解集为.5．（2324高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为．【题型四解含参数的一元二次不等式】策略方法（1）含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论.（2）当二次项系数含参数且能因式分解时,先求解二次项系数为0的情况,此时不等式一般是化为一元一次不等式,比较简单;当二次项系数不为0时,先分解因式,然后再分二次项系数大于0和小于0两种情况讨论.一般地,有一种情况能判断两根的大小关系,比较简单,而另一种情况,两根的大小不确定,还需分三种情况讨论,最后的结论一般会达到五种情况.（3）若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论.当Δ>0时,如果不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号.一、单选题1．（2223高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2223高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（

）A． B． C． D．R二、解答题3．（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.4．（2223高一上·山东泰安·期末）已知关于x的不等式，其中．(1)若该不等式的解集为，求a的值；(2)解不等式不等式，其中．5．（2324高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式；（2）解关于的不等式.6．（2324高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；（2）求关于的不等式的解集．【题型五实际问题中的一元二次不等式】策略方法一元二次不等式解决实际应用问题的步骤(1)理解题意,弄清量与量之间的关系.(2)设出起关键作用的未知数,建立相应的不等关系,把实际问题转化为一元二次不等式(组).(3)解这个一元二次不等式(组),得到实际问题的解.一、单选题1．（2324高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2324高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元3．（2324高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元二、解答题4．（2324高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元．(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？5．（2324高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【题型六一元二次不等式中的恒成立和有解问题】策略方法(1)不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R.对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为a一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为a(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为的条件为a<(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的条件为a>0或a提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向和与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号.一、单选题1．（2324高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．3．（2324高一下·贵州贵阳·期