专题1.8集合与常用逻辑用语全章十大压轴题型归纳（拔尖篇）（举一反三）（人教A版2019）

专题1.8集合与常用逻辑用语全章十大压轴题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1集合中元素的个数问题1．（2324高一上·福建厦门·阶段练习）若集合A=m,nn2+2mn+n=2×10A．19 B．20 C．81 D．100【解题思路】首先由题意方程变形为两个数相乘，即nn+2m+1=210×59【解答过程】由题意可知n2+2mn+n=2×10当n是偶数时，n+2m+1是奇数，当n=210，此时n+2m+1=5以此类推，n=210×5,210×5当n是奇数时，n+2m+1是偶数，此时n=50,综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m,所以集合A的元素个数为20个．故选：B．2．（2324高一上·北京·阶段练习）设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素−1,0,1；②若a∈M，则1+a1−a∈M.则下列结论正确的是（A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中至少有5个元素【解题思路】由题意可求出a,1+a1−a,−1a【解答过程】因为若a∈M，则1+a1−a∈M，所以1+1+a则1+a−1当a≠−1,0,1时，4个元素a,1+a所以集合M中有且仅有4个元素，故选：C.3．（2024高一·江苏·专题练习）已知集合A中的元素x满足ax2−3x+1=0(1)若1∈A，求实数a的值；(2)若A为单元素集合，求实数a的值；(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）将x=1代入方程解得答案.（2）考虑a=0和a≠0两种情况，根据Δ=（3）考虑a≠0且Δ=【解答过程】（1）1∈A，故a×12−3×1+1=0（2）当a=0时，方程ax2−3x+1=0变为−3x+1=0当a≠0时，要使A为单元素集合，则方程axΔ=−32综上所述：a=0或a=94时（3）若A为双元素集合，则方程ax故a≠0且Δ=−32−4a>0，解得4．（2324高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合A=x∈(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）（3）讨论a=0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.【解答过程】（1）A是空集，∴a≠0且Δ<0，∴9−8a<0，解得a>∴a的取值范围为：（9（2）当a=0时，集合A={x|−3x+2=0}=2当a≠0时，Δ=0，∴9−8a=0，解得a=98综上所求，a的值为0或98，当a=0时，元素为23，当a=9（3）当a=0时，A=2当a≠0时，要使关于x的方程ax2−3x+2=0有实数根，则Δ综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为−∞题型2题型2根据元素与集合的关系求参数1．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合A={a,a,a−2}，若2∈A，则实数a的值为（A．2 B．−2 C．2或−2 D．4【解题思路】根据元素与集合之间的关系，分类讨论a=2、a=2、a−2=2【解答过程】由2∈A，若a=2，则a=2若a=2，则a=−2或a=2（舍），a−2=−4，此时A={2,−2,−4}若a−2=2，即a=4，则a=4故a=−2.故选：B.2．（2324高一上·河南郑州·期中）设集合A=x4x−2<m，若2∈A且3∉A，则实数m的取值范围是（A．6<m<10 B．6≤m<10 C．6≤m≤10 D．6<m≤10【解题思路】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.【解答过程】由题意4×2−2<m4×3−2≥m故选：D.3．（2223高一上·江苏连云港·期中）已知集合A=x∣a(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】(1)针对a=0和a≠0两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出a的值即可(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素的情况即可得出a的取值范围【解答过程】（1）由题意，当a=0时，2x+1=0，得x=−12，集合A只有一个元素，满足条件；当ax2+2x+1=0为一元二次方程，Δ=4−4a=0，得a=1，集合∴A中只有一个元素时a=0或a=1.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，a≠0并且Δ=4−4a>0，得a<1且a≠0，再结合A中一个元素的情况，∴a的取值范围为a|a≤14．（2324高一·江苏·课后作业）已知集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，(1)若−3∈A，求实数a的值；(2)若x2∈B，求实数x【解题思路】（1）若−3∈A，则a−3=−3或2a−1=−3，再结合集合中元素的互异性，能求出a的值．（2）当x取0，1，−1时，都有x2∈B，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数【解答过程】（1）集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，∴a−3=−3或2a−1=−3，解得a=0或a=−1，当a=0时，A={−3，−1，1}，成立；当a=−1时，A={−4，−3，2}，成立．∴a的值为0或−1．（2）集合B中也有三个元素：0，1，x，x2当x取0，1，−1时，都有x2∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，x≠1，∴x=−1．∴实数x的值为−1．题型3题型3有限集合子集、真子集的确定1．（2324高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合A={x∈Z|0<x<3},B=1,2,3,4，则满足条件A⊆C⊆B的集合CA．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】由题意可知A={1,2}，用列举法写出满足条件的集合C即可.【解答过程】解：因为A={x∈Z|0<x<3}={1,2},B=1,2,3,4所以集合C可以是：{1,2}，{1,2,3}{1,2,4}{1,2,3,4}，共4个，故选：C.2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合A=a,b,c的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为（

A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据真子集的定义进行求解即可.【解答过程】因为集合A=a,b,c的所有非空真子集为：a所以有a+b+c+a+b+a+c+b+c=12⇒3(a+b+c)=12⇒a+b+c=4，故选：D.3．（2324高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得集合P检验即可．【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2有Δ=9−4b<0，所以b>当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P−12−3×−1+b=0，即因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，b=2，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>4．（2324高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9−6+4=7；而5的元素和与交替和都是5.(1)写出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和；(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6，根据提示解决问题.求集合M【解题思路】（1）先求出集合1,2,3的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；（2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和.【解答过程】（1）集合1,2,3的非空子集为{1}，{2}，{3}，2,1，{3,1}，3,2，3,2,1，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合2,1的交替和为2−1=1，集合{3,1}的交替和为3−1=2，集合3,2的交替和为3−2=1，集合3,2,1的交替和为3−2+1=2，所以集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12；（2）在集合1,2,3,4,5,6所有非空子集中，数字1与2,3,4,5,6中的元素构成子集，故数字1在集合1,2,3,4,5,6所有非空子集中共出现25同理2，3，4，5，6各出现25所以集合M所有非空子集的元素和的总和为32×(1+2+3+4+5+6)=672.题型4题型4根据集合间的关系求参数1．（2324高一上·甘肃白银·期中）已知集合A=x∈R2x−3−a≥0，集合B=y∈Ry=xA．a≥−72 C．a≤−72 【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.【解答过程】集合A=x∈集合B=y∈因为A⊆B，所以3+a2≥−1故选：A.2．（2324高三上·山东菏泽·期中）设集合A=xx2−8x+15=0，集合B=xax−1=0，若A．2 B．4 C．7 D．8【解题思路】先解方程得集合A，再根据B⊆A，最后根据包含关系求实数a，即得结果.【解答过程】A=x|因为B⊆A，当B=∅时，a=0，当B≠∅时，即a≠0时，令ax−1=0，解得x=1则1a=3或1a=5，则对应实数则实数a组成的集合的元素有3个，所以实数a组成的集合的真子集个数有23故选：C.3．（2324高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A⊆B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答过程】（1）当a=0时，A=R，A⊆B当a<0时，A=x|4a≤x<−1a，因为当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的取值范围是a<−8或a≥2；（2）当a=0时，A=R，A=B当a<0时，A=x|4a当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的值是2.4．（2324高二上·广东梅州·期末）已知集合A=（1）当A=B时，求实数a的值；（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围.【解题思路】利用一元二次不等式的解法，化简集合A=x|1≤x≤2,化简集合【解答过程】由x2−3x+2≤0，可得所以A=由x2−(a+1)x+a≤0集合B=（1）因为A=B，所以a=2；（2）因为A⊆B，所以a≥2，即实数a的范围是2,+∞.题型5题型5交、并、补集的混合运算1．（2324高一上·河南郑州·阶段练习）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=−2,1，B=xx2A．−2,1,0 B．−2C．1 D．−2,−1,1,2【解题思路】确定B=0,1，∁【解答过程】B=xx2−x=0=A=−2,1，故A∩故选：B.2．（2024·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1<x<2，则A．∁UM∪N C．∁UM∩N 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x≥2即可.【解答过程】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁∁UM=x|x≥1M∩N=x|−1<x<1，则∁UM∩N∁UN=x|x≤−1或x≥2，则M∪∁U故选：A.3．（2324高一上·四川南充·期中）设集合U=R，A=x0≤x≤3(1)m=3，求A∩∁(2)若A⊆B，求实数m的取值集合．【解题思路】（1）确定B=x1≤x≤6得到∁U（2）根据A⊆B得到m−2≤02m≥3【解答过程】（1）当m=3时，B=x1≤x≤6，故∁U又A=x0≤x≤3，故（2）A⊆B，所以需满足m−2≤02m≥3，解得32≤m≤2，故m4．（2324高一上·辽宁·阶段练习）已知全集U=x∈Z−3≤x<3，A=xx(1)若B∩C≠∅，且(B∩C)⊆A，求a的值及集合B；(2)若∁U(A∪B∪C)=1，求a【解题思路】（1）求出集合A，由(B∩C)⊆A确定集合B∩C中元素，进而求出a的值及集合B.（2）将全集U用列举法表示，由补集的意义求出A∪B∪C，进而求出集合B即可求解.【解答过程】（1）依题意，A={−3,2}，由C=−1,2，且B∩C≠∅，(B∩C)⊆A，得B∩C={2}即2∈B，因此4a−2=0，解得a=1解方程12x2−x=0，得x=0或所以a=12，（2）依题意，U={−3,−2,−1,0,1,2}，由∁U(A∪B∪C)=1由（1）知A∪C={−3,−1,2}，因此B={−2,0}，有4a+2=0，解得a=−1∁UA={−2,−1,0,1},∁所以a=−12，题型6题型6集合混合运算中的求参问题1．（2324高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁A．3<a<4 B．3≤a<4 C．3<a≤4 D．3≤a≤4【解题思路】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围．【解答过程】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，∴3≤a＜4．故选：B．2．（2324高一上·广东肇庆·阶段练习）已知U=R，集合A=xx2−x−2=0，B=x|mx+1=0，A．−12或1 B．−12或0 C．1或0 D．【解题思路】求出集合A中方程的解确定A，即可求出∁UA，根据B∩∁UA【解答过程】由题可知，A={2,−1}，则∁UA={x|x≠−1或因为B=x|mx+1=0所以当m=0时，B=∅，则B∩∁当m≠0时，B={−1由B∩∁UA=∅知，−1m=−1综上所述，实数m为0或1或−1故选：D．3．（2324高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合A=x|x<−3或x>7，B=(1)若∁RA∪B=(2)若∁RA∩B=x|a≤x≤b，且【解题思路】（1）根据并集结果可得B⊆∁RA，分别讨论B=∅（2）由交集结果可知B≠∅，分别讨论2m−1<7、2m−1>7m+1≤7和m+1>7，根据b−a≥1【解答过程】（1）由题意知：∁R因为∁RA∪B=①当B=∅，即m+1>2m−1时，满足B⊆∁RA②当B≠∅，若B⊆∁RA，则m+1≤2m−1综上所述：m的取值范围为m|m≤4（2）因为∁RA∩B=x|a≤x≤b，且b−a≥1，故解得m≥2，则m+1≥3，2m−1≥3；①当2m−1≤7，即m≤4时，∁R故2m−1−m+1≥1，解得②当2m−1>7m+1≤7，即4<m≤6时，∁故7−m+1≥1，解得③当m+1>7，即m>6时，∁R综上所述，m的取值范围为m|3≤m≤5.4．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知A=xx2(1)若a=1，求A∩∁(2)从①A∪∁RB=R；②问题：若，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A∩∁（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据A∪∁RB选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B⊆A可得出关于a的等式，综合可得出集合选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B∩∁RA【解答过程】（1）解：当a=1时，B=x又因为A=xx2（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁RB=R，满足当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=R，则1a综上所述，C=0,若选②，∵A∩B=B，则B⊆A.当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a=1或5，解得综上所述，C=0,若选③，当a=0时，B=∅，满足B∩∁当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅，则1a综上所述，C=0,题型7题型7集合的新定义问题1．（2324高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合M，N，定义M−N=xx∈M,x∉N，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A=x|x≥−94,x∈RA．x|−94<x<0,x∈C．x|x<−94或x≥0,x∈【解题思路】根据M−N=xx∈M,x∉N与【解答过程】集合A=x|x≥−94则∁RA=x|x<−由定义可得：A−B=x|x∈A且x∉B=A∩∁RB=所以A⊕B=A−B选项ABD错误，选项C正确．故选：C.2．（2324高三上·四川南充·阶段练习）对非空有限数集A=a1,a2,⋅⋅⋅,an定义运算“min”：minA表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合M=①若minA=minB，则dAB=0；

③若dAB=0，则A∩B≠∅；

④对任意有限集合A，B，C，均有其中，真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据题中条件可得①③正确，通过举反例可得②④错误.【解答过程】对于①，若minA=minB，则A，B对于②，取集合A=1,2，B=0,2，满足minA>对于③，若dAB=0，则A，对于④，取集合A=1,2，B=2,3，C=3,4，可知dAB=0则dAB综上，真命题的个数为2个.故选：B.3．（2324高一上·上海奉贤·期中）已知集合A为非空数集，定义：S=x|x=a+b,a,b∈A，T=x|x=a−b,a,b∈A（实数(1)若集合A=2,5，直接写出集合S、T(2)若集合A=x1,x2,x(3)若集合A⊆x|0≤x≤2021,x∈N，S∩T=∅，记A为集合A中元素的个数，求A【解题思路】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;（2）根据集合相等的概念，证明即可；（3）通过假设集合A=m,m+1,m+2,⋯,2021(m∈N)，求出对应的集合S，T【解答过程】（1）因为集合A=2,5，S=x|x=a+b,a,b∈A，所以由2+2=4,2+5=7,5+5=10，可得S=4,7,102−2=0,5−5=0,（2）由于集合A=x1,则T集合的元素在0，x2−x1，x3−x1，且0<x2−而A=T，故A中最大元素x4必在T中，而x故x4=x4−故T中的4个元素为0，x2，x3，且x3−x2，x4−x2，而0<x3−x2而0<x4−x3<x若x4=2x3=4故x4−x（3）设A=a1,则2a∴S≥2k−1，a1−∵S∩T=∅，由容斥原理S∪T=S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2ak，∴3k−1≤2ak+1≤4043k≥1,k∈N，即实际上当A=674,675,676,⋯2021证明如下：设A=m,m+1,m+2,⋯,2021，m∈则S=2m,2m+1,2m+2,⋯,4042，T=依题意有2021−m<2m，即m>6732故m的最小值为674，于是当m=674时，A中元素最多，即A=674,675,676,⋯,2021综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．4．（2324高一上·北京顺义·阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a4(1)判断B=0,2,1,4是否为5−连续生成数组？是否为6−(2)若C=0,1,a,2为6−连续生成数组，求a(3)数组A=a1,【解题思路】（1）根据m−连续生成数组的定义，结合子集的概念求解；（2）根据题意，得出PC（3）根据题意PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，从而a1,【解答过程】（1）B=0,2,1,4，P∵1,2,3,4,5⊆PB，∴B=0,2,1,4∵1,2,3,4,5,6不是PB的子集，∴B=0,2,1,4不是（2）C=0,1,a,2，PC中元素可能取值为若C=0,1,a,2为6−连续生成数组，即1,2,3,4,5,6则a=3.（3）若A=a1,a2又PA则PA=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10∴a1+a即4(a∵a1,a而55为奇数，4(a∴数组A=a1,题型8题型8由充分条件、必要条件求参数1．（2324高一上·广西南宁·阶段练习）已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【解题思路】将p是q的必要不充分条件转化为BA，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【解答过程】设A=x−2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以m>01−m≥−21+m≤10，解得当m=3时，B=x所以0<m≤3.故选：A.2．（2024·江西萍乡·二模）集合A={x∣−1<x<2},B={x∣−2<x<m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（

）A．−1,2 B．2,+∞ C．−2,2 D．【解题思路】根据题意A是B的子集，从而求解.【解答过程】A={x∣−1<x<2},B={x∣−2<x<m}，因为x∈B的充分条件是x∈A，所以A⊆B，则m≥2，故选：B.3．（2324高一上·四川成都·阶段练习）已知p:−5≤x−3≤7,q:1−m≤x≤1+mm>0(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围；(2)若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的范围.【解题思路】（1）根据必要不充分条件的定义，先求出p的范围，在确定q即可；（2）由题意可转化为p是q的充分不必要条件，再根据充分不必要条件的定义求解即可.【解答过程】（1）由题意可得p:−2≤x≤10，q不是空集，因为p是q的必要不充分条件，所以−2≤1−m10≥1+m，解得0<m≤3即实数m的范围m0<m≤3（2）因为¬p是¬q的必要不充分条件，，所以p是q的充分不必要条件，故1−m≤−21+m≥10，解得m≥9所以实数m的范围为mm≥94．（2324高一上·贵州·阶段练习）已知A(1)当m=5时，求A∩B；(2)设p:x∈A，q:x∈B，若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解题思路】（1）应用交集的运算即可；（2）先断出B⊂【解答过程】（1）由A当m=5时，B={−4≤x≤6}A∩B=（2）因为p是q的必要不充分条件,所以B⊂①若B=∅时，1−m>1+m，则m<0.②B≠∅时，则有m≥0，要使得B⊂≠A，则1−m≥−2综上所述，实数m的取值范围为{m|m≤3}.题型9题型9充要条件的证明1．（2023高一·江苏·专题练习）设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0【解题思路】设两个方程公共实数根x0，代入方程化简得到(a−c)x0+b2=0，求得x0=b2【解答过程】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0则x两式相减并整理，可得(a−c)因为b≠0,a−c≠0，所以x0=b整理得b2+c充分性：因为∠A=90°，可得b2+c将b2=a2−即(x+a−c)(x+a+c)=0，将b2=a2−即(x+c−a)(x+c+a)=0故两方程有公共实数根x=−(a+c).所以关于x的方程x2+2ax+b2=02．（2324高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合A=x|x2(1)若“∃x∈B，x∈A”为假命题，求m的取值范围；(2)求证：A至少有2个子集的充要条件是m≤−5，或m≥3．【解题思路】（1）由已知，先求解出集合B=−1,0,1，然后根据A∩B=∅，将集合A分为A=∅和A≠∅（2）由已知，先有m≤−5或m≥3，证明A至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据A至少有2个子集，求解参数的范围与m≤−5或m≥3比较即可证明其必要性.【解答过程】（1）由已知，集合B=x∈Z|因为“∃∈B，x∈A”为假命题，所以A∩B=∅．当A=∅时，Δ=m+12当A≠∅时，要使A∩B=∅，则Δ≥0，−1∉A，且0∉A，1∉A即Δ≥0(−1)2+(m+1)×(−1)+4≠002+(m+1)×0+4≠012综上，实数m的取值范围为−∞（2）证明：充分性：若m≤−5，或m≥3，则A至少有2个子集．当m≤−5，或m≥3时，Δ=m+12集合A=x|x2必要性：若A至少有2个子集，则m≤−5或m≥3．若A至少有2个子集，则A=x|方程x2+m+1x+4=0有解，Δ=必要性得证．综上，A至少有2个子集的充要条件是m≤−5或m≥3．3．（2324高一上·海南海口·阶段练习）△ABC中，边BC内上有一点D，证明：AD是∠A的角平分线的充要条件是ABAC【解题思路】证明两个命题为真：一个是由AD是∠A的角平分线证明ABAC=BDDC，一个是由ABAC【解答过程】证明：设p：AD是∠A的角平分线，q：ABAC如图，过点B作BE//AC交AD的延长线与点E，（1）充分性（p⇒q）：若∠  1=∠  2，则∠  1=∠  E，所以∠  2=∠  E（2）必要性（q⇒p）：反之，若ABAC=BDDC，则∵BE//AC，∴△BDE∽△CDA，∴BEAC=BDDC，所以AB=BE，所以∠  

由（1）（2）可得，AD是∠A的角平分线的充要条件是ABAC4．（2024高一·全国·专题练习）当m,n∈Z时，定义运算⊗：当m,n>0时，m⊗n=m+n；当m,n<0时，m⊗n=m⋅n；当m>0,n<0或m<0,n>0时，m⊗n=m+n；当m=0时，m⊗n=n；当n=0时，(1)计算−2⊗(2)证明，“a=0,b=−2或a=−2,b=0”是“a⊗b=−2”的充要条件．【解题思路】（1）先理解⊗的运算，然后求解即可；（2）先证充分性，再证必要性即可．【解答过程】（1）−2⊗（2）先证充分性：当a=0,b=−2或a=−2,b=0时，则a⊗b=−2，即a=0,b=−2或a=−2,b=