第15讲数的整除单元测试卷(原卷版+解析)

第15讲数的整除单元测试卷1．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．182．下列说法正确的是（

）A．一个合数至少有3个因数； B．所有的偶数都是合数；C．所有的奇数都是素数； D．2个合数必定不互素．3．和是的（

）．A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数4．用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（

）A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除5．已知和都是自然数，且，那么和的最小公倍数是（

）A．1 B． C． D．6．已知甲数=，乙数=，甲数和乙数的最大公因数是________．7．定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为，例如：，根据上面的定义运算，______．8．两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数是__________9．甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲剩余的糖粒数就是乙现有糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍，那么甲、乙两个小朋友共有___________粒糖．10．在1后面添上三个数字，组成一个四位数，使它分别能被3、5、11整除，满足条件的最大的四位数是_________．11．从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？12．在圈内填上满足条件的数．13．下列说法正确的是（

）A．因为10÷4=2.5，所以10是4的倍数B．所有的偶数都是合数C．两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数D．1是所有正整数的因数14．若a、b为正整数，且，则下列何者不可能为a、b的最大公因数？（）A．1 B．6 C．8 D．1215．两个不同的质数相乘，积（

）．A．一定是倍数 B．一定是偶数C．一定是合数 D．一定是奇数16．正整数N的各个数位上的数字之积为20，则下列哪一项不可能是的各个数位上数字的乘积（）A．35 B．25 C．40 D．30 E．2417．下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（

）A．2和20 B．3和1.5 C．34和17 D．7和218．韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五．那么韩信的士兵最少有________人．19．在正整数、4、3中，______是______的倍数．20．如果A是不超过2017的所有质数的乘积，那么A的末尾数字有连续___________个0．21．50分解素因数为________________．22．如果甲数，乙数，甲、乙两数的最大公因数是6，那么A的值为_____．23．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数(1)和(2)和(3)和(4)、和24．用短除法求下列各组数的最大公因数．（1）48和72

（2）14、42和5625．在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“合8数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为1，且除以5余数为3，则称这个数为“合8数”．例如：，所以43是“合8数”；，但，所以22不是“合8数”．(1)判断64和148是否为“合8数”？请说明理由；(2)求大于300且小于400的所有“合8数”．第15讲数的整除单元测试卷1．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】由于6=2×3，8=2×2×2，则这个数能被12整除．【详解】解：由6=2×3，8=2×2×2，∴一个数能被6整除，又能被8整除，∴这个数能被12整除；故选：B．【点睛】本题主要考查求两个数的最大公约数的方法，解决此题关键是理解整除的含义．2．下列说法正确的是（

）A．一个合数至少有3个因数； B．所有的偶数都是合数；C．所有的奇数都是素数； D．2个合数必定不互素．【答案】A【分析】本题根据偶数与奇数、质数与合数的定义逐项分析即能得出正确选项．【详解】解：选项A，自然数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．即一个合数至少有三个因数，如9．说法正确．选项B，自然数中，能被2整数的数为偶数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，则最小合数是4．而偶数中的0与2不是合数．说法错误．选项C，自然数，不能被2整除的数为奇数；除了1和它本身外，没有别的因数的数为素数，则最小的素数是2，2是偶数，所以所有素数都是奇数说法错误．选项D，只有公因数1的两个数互为质数，则两个合数也可能互质，如8与9，都为合数，互质．则2个合数必定不互素说法错误．故选：A．【点睛】本题考查了偶数与奇数、质数与合数的定义，要注意自然数中，1只有一个因数，0没有因数．3．和是的（

）．A．因数 B．素因数 C．合数 D．素数【答案】A【分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数．【详解】∵，∴和是的因数，故选A．【点睛】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．4．用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（

）A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除【答案】A【分析】利用所有位上的数的和能被整除，这个数就能被整除【详解】∵组成的四位数如果是，∴就不能被或、整除，∵组成的四位数各个位上的数的和都为，∴组成的所有四位数能被整除，故选：A【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键5．已知和都是自然数，且，那么和的最小公倍数是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据得出，互质即可解决问题．【详解】解：，，互质数，和的最小公倍数是：，故选：D．【点睛】本题考查了最小公倍数，两数互质，解题的关键是掌握相关的概念．6．已知甲数=，乙数=，甲数和乙数的最大公因数是________．【答案】【分析】根据题意得，甲数和乙数的最大公因数是：，即可得．【详解】解：∵甲数=，乙数=，∴甲数和乙数的最大公因数是：，故答案为：．【点睛】本题考查了最大公因式，解题的关键是掌握公因数．7．定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为，例如：，根据上面的定义运算，______．【答案】63【分析】根据新运算知道，求，就是求12和15的最大公因数与最小公倍数的和，由此即可解答．【详解】解：因为，12和15的最大公约数是3，最小公倍数是60，所以，；故答案为：63．【点睛】本题考查了新定义的运算，解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可．8．两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数是__________【答案】36，4【分析】用两个数的积除以它们的最小公倍数，可得两个数的最大公约数，再根据两个数的最大公约数，最小公倍数，求得这两个数．【详解】解：两个数的最大公约数是，两个数的最大公因数是，最小公倍数是，可知这两个数有倍数关系，这两个数分别是和，故答案为：，．【点睛】本题解题关键是理解两个数的积除以它们的最小公倍数即得两个数的最大公约数，进而得解．9．甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲剩余的糖粒数就是乙现有糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍，那么甲、乙两个小朋友共有___________粒糖．【答案】24【分析】根据甲给乙一定数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的2倍，所以甲乙共有的糖的总数是3的倍数，又如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的3倍，所以甲乙共有的糖的总数是4的倍数，同时是3和4的倍数且总数不超过40的数有12，24，36，再进行分类讨论即可．【详解】如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的2倍，所以甲乙共有的糖的总数是3的倍数，又如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的3倍，所以甲乙共有的糖的总数是4的倍数，同时是3和4的倍数且总数不超过40的数有12，24，36，①甲乙总数为12：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为4颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为3颗．显然矛盾的；②甲乙总数为24：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为8颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为6颗，所以甲原先有17颗，乙有7颗．是合理的；③甲乙总数为36：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为12颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为9颗，这时甲的数量肯定大于24颗与题目矛盾，综上可得甲乙两个小朋友共有24颗糖．答：甲乙两个小朋友一共有24颗糖．故答案为：24．【点睛】本题考查倍数的应用．根据题意，得到甲乙共有的糖的总数既是3的倍数又是4的倍数，是解题的关键．10．在1后面添上三个数字，组成一个四位数，使它分别能被3、5、11整除，满足条件的最大的四位数是_________．【答案】1980【分析】设这个四位数为(其中，且都为整数)．根据能被3、5、11整除的特点，可得出1+a+b+c的值能被3整除、c的值为0或5、1+b=a+c．再根据要使这个四位数最大，即得出1+b=9，a+c=9，进而可求出a=9，b=8，c=0，即这个四位数为1980．【详解】设这个四位数为(其中，且都为整数)．∵这个四位数能被3整除，∴1+a+b+c的值能被3整除．∵这个四位数能被5整除，∴c的值为0或5．∵这个四位数能被11整除，∴1+b=a+c．∵要使这个四位数最大，∴1+b=9，a+c=9，∴a=9，b=8，c=0，∴这个四位数为1980．故答案为：1980．【点睛】本题考查能被3、5、11整除的数的特征．考查学生的思维能力，掌握能被3、5、11整除的数的特征是解题关键．11．从0、4、5、9这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2和5整除的三位数,这样的三位数共有几个？分别是什么？【答案】这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940．【分析】根据能够同时被2和5整除的三位数个位数字为0，写出这些数即可得出答案．【详解】解：能同时被2和5整除的三位数个位数字一定为0，所以这样的三位数分别为：450，490，540，590，950，940，共有6个，答：这样的三位数共有6个，分别是450，490，540，590，950，940．【点睛】本题主要考查了能够同时被2和5整除的数的特点，解题的关键是熟练掌握能够同时被2和5整除的三位数个位数必须为0．12．在圈内填上满足条件的数．【答案】见解析【分析】运用分解因数的方法找出9和12的因数，再找出两个数共同的因数即可．【详解】【点睛】本题考查了较小的数找因数的方法，以及找两个数公因数的方法．13．下列说法正确的是（

）A．因为10÷4=2.5，所以10是4的倍数B．所有的偶数都是合数C．两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数D．1是所有正整数的因数【答案】D【详解】解：A、2.5不是整数，故10不是4的倍数，故A选项错误，不符合题意；B、2是偶数，但2是素数，不是合数，故B选项错误，不符合题意；C、两个整数的积不一定是这两个数的最小公倍数，例如4和6的积是24，但最小公倍数是12，故C选项错误，不符合题意；D、1是所有正整数的因数，正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查倍数、合数、最小公倍数、因数，理解这些知识的概念是解答的关键．14．若a、b为正整数，且，则下列何者不可能为a、b的最大公因数？（）A．1 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根据，取a、b的不同值解题即可．【详解】解：最大公因数为a、b都有的因数，而，，a、b不可能都含有，不可能为a、b的最大公因数．故选：C．【点睛】本题考查实数中最大公因数的概念，掌握求两个数的最大公因数是解题的关键．15．两个不同的质数相乘，积（

）．A．一定是倍数 B．一定是偶数C．一定是合数 D．一定是奇数【答案】C【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的数；合数是指除了1和它本身以外，还有其他因数的数．能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数．奇数×奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数．【详解】质数可能是奇数也可能是偶数（例如2），所以两个不同的质数相乘，积可能是奇数也可能是偶数．但两个不同的质数相乘，这两个质数都是积的因数，所以积一定是一个合数．故选：C．【点睛】本题考查质数与合数、奇数与偶数的综合．要熟记各数的概念，并灵活运用特殊的质数举例进行排除．16．正整数N的各个数位上的数字之积为20，则下列哪一项不可能是的各个数位上数字的乘积（）A．35 B．25 C．40 D．30 E．24【答案】A【分析】根据，可知，当正整数为两位数时，为或，当正整数为三位或三位以上数时，有两种情况，一种是有一个数位上的数字为4，一个数位上的数字为5，剩余数位上的数字均为1，第二种是有2个数位上的数字为2，一个数位上的数字为5，当是四位或四位以上时，剩余数位上的数字均为1，逐一进行分析即可得出结论．【详解】解：因为，所以当正整数为两位数时，为或，或，的各个数位上数字的乘积为或；当正整数为三位或三位以上数时：①有一个数位上的数字为4，一个数位上的数字为5，剩余数位上的数字均为1，当尾数为1时，的尾数变为2，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为5时，的尾数变为6，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为4时，的尾数变为5，的各个数位上数字的乘积为：；②有2个数位上的数字为2，一个数位上的数字为5，当为四位或四位以上时，剩余数位上的数字均为1，当尾数为1时，的尾数变为2，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为2时，的尾数变为3，的各个数位上数字的乘积为：；当尾数为5时，的尾数变为6，的各个数位上数字的乘积为：；综上：的各个数位上数字的乘积可能为：；故均有可能，不符合题意；不可能，符合题意；故选A．【点睛】本题考查因数．解题的关键是将20分为或．17．下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（

）A．2和20 B．3和1.5 C．34和17 D．7和2【答案】C【分析】若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，我们就说b能被a整除（或说a能整除b），据此逐项判断即可．【详解】解：∵不是整数，∴2不能被20整除，∴选项A不符合题意；∵1.5不是整数，∴不能说3能被1.5整除，∴选项B不符合题意；∵，∴34能被17整除，∴选项C符合题意；∵不是整数，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了整数的性质及引用法，以及整除的含义和判断，要熟练掌握．18．韩信点兵：三个三个数，余数为一；五个五个数，余数为三；七个七个数，余数为五．那么韩信的士兵最少有________人．【答案】【分析】先求出3，5，7的最小公倍数，再根据被3整除余数为1即可求出答案．【详解】解：3，5，7的最小公倍数为，因为三个三个数，余数为一，所以韩信的士兵最少有人，故答案为：．【点睛】本题主要考查了数的整除，正确求出3、5、7的最小公倍数是解题的关键．19．在正整数、4、3中，______是______的倍数．【答案】3【分析】根据题意将18分解因数即可求解．【详解】解：∵∴是3的倍数．故答案为：，3．【点睛】本题考查了因数分解，将较大的数因数分解是解题的关键．20．如果A是不超过2017的所有质数的乘积，那么A的末尾数字有连续___________个0．【答案】1【分析】在不超过2017的所有质数中只有质数和质数相乘末尾为0，即：A的末尾数字只有一个0．【详解】解：在不超过2017的所有质数中只有质数和质数相乘末尾为0，∴A的末尾数字有连续1个0；故答案为：1．【点睛】本题考查质数．熟练掌握质数的定义，是解题的关键．21．50分解素因数为________________．【答案】【分析】根据题意直接进行分解素因数即可．【详解】解：50分解素因数为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查分解素因数，关键是根据分解素因数的方法直接分解即可．22．如果甲数，乙数，甲、乙两数的最大公因数是6，那么A的值为_____．【答案】3【分析】甲、乙二数的最大公因数等于它们共有因数的积，找出它们公共的因数相乘，根据甲、乙两数的最大公因数是6列方程解答即可．【详解】解：∵甲数，乙数，∴甲、乙两数的公因数是，∵甲、乙两数的最大公因数是6，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了公因数，解决问题的关键是熟练掌握公因数的定义，解方程．23．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数(1)和(2)和(3)和(4)、和【答案】(1)最大公因数，最小公倍数(2)最大公因数，最小公倍数(3)最大公因数，最小公倍数(4)最大公因数，最小公倍数【分析】（1）由，，即可求得最大公因数和最小公倍数（2）由，，即可求得最大公因数和最小公倍数（3）由，，即可求得最大公因数和最小公倍数（4）由，，，即可求得最大公因数和最小公倍数【详解】（1）∵，，∴和最大公因数为：，最小公倍数为：（2）∵，，∴和最大公因数为：，