湖南省常德市2025届高考数学（理）模拟考试试题一

湖南省常德市2025届高考数学模拟考试试题（一）理

总分：150分时量:120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.已知集合P={x|-5<x<6},Q={%|x2-5%-6<0},则PcQ=（桃源县第四中

学）

A>{A|-1<X<6}{%|-1<%<6}

C、{x|-1<x<6}D、{%|-1<x<6}

答案：由已知得Q=[T,6]P=（-5,6）故PCQ=[-1,6]故选C

2.设复数z满意z+3=i（l-z）,则下列说法正确的是（）（桃源一中）

A.z的虚部为2zB.z为纯虚数

C.|z|=y/5D.在复平面内，1对应的点位于其次象限

z=—+，）（-）=一会

答案：C由z+3=az）得1+i2,

目=J（-I）?+2?=

3.设等差数列{4}的前九项的和为S,，若S5=4%+7,ax=\,则“6=（）（桃

源一中）

A.37B.16C.13D.-9

答案：B设等差数列{%,}的公差为d,由S5=4%+7得：

u5?（51）“…、r

56+----——-d=4（。]+2d）+7,

将6=1代入上式解得d=3,故/=%+5d=1+15=16

（法二：S5=4a3+7,又85=543，所以4=7,由%=1得d=3,

故。6=%+5d=1+15=16

4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图,空气质量指数（AQI）小于100表示空气

质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污

染.则下列说法不正确的是（）（桃源一中）

A.这16日空气重度污染的频率为0.5

B.该市出现过连续4天空气重度污染

C.这16日的空气质量指数的中位数为203

D.这16日的空气质量指数的平均值大于200

Q

答案：D这16日空气重度污染的频率为一二0.5故A正确；12日，13日，14日，15日连

16

续4天空气重度污染，故B正确；中位数为:（192+214）=203,故C正确；

-1

x=200+-[（14+75+43+（-43）+

6

（-120）+（-48）+60+（-117）+（-40）+

(-21)+(-62)+14+21+63+23+(-8)]<200,(也可依据图形推断，8个数据大于200,

8个数据小于200,小于200的8个数据整体与200相差较大)，故D不正确.

5.已知P为抛物线C：/=4x上一点，/为C的焦点，若归同=4,则△”>b的面积为

()(桃源一中)

A.百B.3C.2月D.4

答案：A设尸(%,y0),抛物线的焦点/(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义可知：

|PF|=x0-(-1)=4

\/=3代入C的方程得为=?2g,SKOPF=gIOE|?|为Ig仓巾26=6

6.函数/(x)=Asin(@x+0)的图象如图所示，将函数/(%)的图象向

JT

右平移三个单位长度，得至y=g(x)的图像，则下列说法不正确的

12

是()(桃源一中)

A.函数g(x)的最大值为3B.函数g(x)关于点(5,0)对称

7T

C.函数g(x)在(0,万)上单调递增D.函数g(x)的最小正周期为7T

答案：B由图可知A=3,-T=-,\T=7U,a>=2,将点(二，3)代入

4123412

77TT

y=3sin(2%+0),得9=----+2氏(左？Z),故/(%)=3sin(2x-----),右平移一个单位

3312

长度得：

y=g(x)=3sin[2(x-^)-j]=3sin(2x-~)=~3cos2%,故A,C,D正确，选B

7.已知向量H与3+6的夹角为60。，Ia/=1,|b/=G,则助=()(桃源一中)

A.0B.-——C.--D.0或--

222

UUU1UUU1UUU11

答案：A如图，AB=a,BC=b,AC=a+b,由余弦定理：

BC~=AB2+AC2-2ABBCsinA,

已知A=60?,AB1,BC=73,代入上式得AC=2,\AB2+BC2=AC2,故

I111

5=90?,即。八b,\a?b0

法二：设；与方的夹角为8,由题设a\ab)=1?\acos60?,

r2rr।rr।rr

即。+alb—\a+b\,所以1+J3cos。二一|〃+,

22

\4(1+6cos8)2=3+bf-4+2A/3COS0(1)

即2cos2e+cos9=0,所以8$。=0或——,经检验，-走不符合(1)式，舍去，故

22

a?b0

8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通状况的调查，确定相邻两次亮红灯

与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过

60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（）（桃源一中）

6311

A.-B.-C.-D.—

75310

答案：C设亮绿灯的时间随机设置为t秒，贝八£6°,亮红灯的时间100-'?70,所以

30#t60,亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为尸50,由几何概型的概率公式知：

p=60-50_1

一60-30-3

9.（尤3-1）（«+2）6的绽开式中的常数项为（）（桃源一中）

A.240D.-80

答案：B(>/x+，所以（/-

炉或25丁和（一1）?屋22”,又C：24-C^22=240-60=180,所以

（丁-1）（6+2）6的绽开式中的常数项为RO

10.设函数〃x）=eK——二，则不等式/（x）＞/（2x+l）的解集为（）（桃源一

(x-1)2

A.(-1,0)B.(-?,-1)C.(-1,1)D.(-l,0)U(01)

]g（%）——

答案：D/（%）的定义域为{尤IV1},考虑函数k为偶函数，在（口转）上单

调递增，在（一叫°）上单调递减，g（x）的图像向右平移1个单位得到/（%）的图像，所以函数

/a）关于下1对称，在（一00』）上单调递减，在a+°°）上单调递增.

IX11

12x+1?

由/(%)>/(2%+1),可得l|>|(2x+1)-1],解得:0

11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为

两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图

中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的

外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为（）（桃源一

中）

答案：B由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为H,

设圆锥底面半径为r,则圆锥高h=2R,因为甲与乙的体积相等,

4a1

一兀K=-7rr92h

所以33,即2斤=r2,：.r=42R.设圆锥的外接球半径为4，则

与2=产+(无一居)2即居2=2火2+(2火一居)2,..&1-5火，故几何体甲的外接球与几何

4*9

体乙的表面积之比为4万尺24.

1°。

iIx+—x,x!0

12.已知函数/'(%)=I6,g(x)=/(%)-ax(其中a为常数)，则下列说法

tlnx八

—,x>0

中正确的个数为()(桃源一中)

①函数/(九)恰有4个零点；②对随意实数a,函数g(x)至多有3个零点；

③若aWO,则函数g(x)有且仅有3个零点；

④若函数g(x)有且仅有3个零点，则a的取值范围为(-8,0][-,L)(桃源一中)

62e

A.1B.2C.3D.4

,1

答案：B当x£0时，/(x)的图像为抛物线丁=必+—%的一部分

x?(e,?)时，/<%)<0,/(%)单调递减，画出/Xx)的图像如图所示，由图可知了(£)恰

有3个零点，故①不正确；

设了(%)的过原点的切线的斜率为匕，切点为

n.In/、Jn龙、，1-Inx,

P(x0,—^),(——)0=——)由

x0XX

/(幻在]=。处的切线的斜率为

「(d+：x)%=3+：)&=：<：'

因为g(x)=/(%)-办零点个数，即函数y=/(%)与y二双的交点个数,

由图可知：时，有1个交点；〃"时，有2个交点；^G[1,二-)时，有3个交点;

2e2e62e

aG吟时，有4个交点;ae(-8,0]时，有3个交点.所以②不正确；③④正确.

(说明：明显x=0是g(x)的零点，xwO时，也可转化为」支=。零点的个数问题，也可

x

以画图得出答案)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横

线上)

13.已知函数/(x)=x/+ln(x+1),则曲线y=/(九)在％=0处的切线方程为

__y=2x_.(桃源一中)

\-y+l>0

<3x-y-3<0,

14已知实数%》满意约束条件U+yT2°则z=3x-2y的最小值为件

a

15.已知数列｛2｝的各项为正，记S”为｛%｝的前〃项和，若一42—(n?N*),

a

n+i-2a,

q=1,

则S5二一⑵一.(桃源一中)

22

—7—斗"=l(a>0/>0)

16.已知双曲线C:矿b,0是坐标原点，/是C的右焦点，过少的直

线与C的两条渐近线的交点分别为AB,且NOA3为直角，记AQ4/和△。钻的面积分别

q1

为SROAF和臬。48,若SAOAB3,则双曲线C的离心率为

2.2」

答案.3成3

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12分)已知向量力二(sinx,-g),刀=(1,cosx),且函数/(%)二的.

57r2

(I)若％](0,—),且/(%)二—,求sinx的值；

63

(II)在锐角A43C中，角AB,C的对边分别为a,b,c,若4,A43C的面积为46，

且/(A+二)='csinB,求A46C的周长.(桃源一中)

32

解:

(I)/(x)=mn-(sinx,-石)>(1,cosx)=sinx-石cos%=2sin(x--)...........

(2分)3

Qf(x)=|\sin(x-g)=!

3，33

又xi(0,学)，\x-g?(cos(x--)=逑（4分）

633233

,.兀一啊2亚百1+2网

所en以.sin%=sm[(x--)+—1=—?—----?——--------（6分）

3332326

(II)因为/(A+鼻)=gcsinB,所以2sinA=^csinB,即4sinA=csinB

由正弦定理可知4a二a*,又。=4所以〃。=16...............(8分)

由已知AA3C的面积L"csinA=4百，可得sinA=—,又Ai(0,-)

222

7F

\A=-..............（10分）

3

由余弦定理得〃+。2-2bccosA=1,故廿+。2=32,从而（6+c）2=64

所以AABC的周长为12...............（12分）

18.（本小题12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面Q4£）_L平面ABCD,底面ABCD

是直角梯形，AD//BC,AB±AD,AD=2BC=2AB,。是AD的中点.

（I）在线段上4上找一点E,使得5E〃平面PC。，并证明；

（II）在（1）的条件下，若八4=。£>=4£>=2,求平面05E与平面POC所成的锐二面角的

余弦值.（桃源一中）

解：（I）E是线段PA的中点，................（1分）

证明：连接BE,0E,0B,

•；0是AD的中点，.二OS〃尸

又平面尸C。，。0匚平面尸。。，，0£〃平面尸。0,..............（3分）

又•••底面ABCD是直角梯形，AD=2BC=2AB,：.OB//CD,

又平面尸CD,CDu平面PCD,；.OB〃平面PC。，................（4分）

平面OBu平面OEOB=O,

平面OBE〃平面PC。，

又BEu平面OBE,...BE〃平面PCD...............（6分）

（也可通过线线平行来证明线面平行）

（II）：平面平面ABCD，PA=PD=AD=2,

POJLAD,平面ABC。，且OC=1,PO=6

以。为原点，如图建立空间直角坐标系O-孙Z,…（8分）

得0（0,0,0）,5（1,-1,0）,P（0,0,A/3）,C（l,0,0）,

（1百）

得OE=0,--,^-,OB=（1,-1,0）,

I22J

设加=（%,y,z）是平面OBE的一个法向量，

m±OEf-y+V3z=0厂

则，得一，取工=5

m±OB［x-y=0

得加=（6,小,1）,.............................（10分）

又易知«=（0,1,0）是平面POC的一个法向量,设平面OBE与平面尸0。所成的锐二面角为

0，

ec/\百V21

则cos，=cos（m,n）।J=厂=-----,

''UUV7-17

即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为叵..............................（12分）

7

19.（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2024年中国快递量世界第

一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名.某快递公司收取

费的标准是：不超过1kg的包袱收费8元；超过1kg的包袱，在8元的基础上，每超过1kg（不

足1kg,按1kg计算）需再收4元.

该公司将最近承揽（接收并发送）的100件包袱的质量及件数统计如下（表1）：

包袱质量（kg）(0,1](1,2](2,3](3,4](4,5]

包袱件数43301584

公司对近50天每天承揽包袱的件数（在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据）、件数范

围及天数，列表如下（表2）：

件数范围(0,100](100,200](200,300](300,400](400,500]

天数5102555

每天承揽包袱的件数50150250350450

表2：

（I）将频率视为概率，计算该公司将来3天内恰有1天揽件数在（100,300］内的概率；

（II）①依据表1中最近100件包袱的质量统计，估计该公司对承揽的每件包袱收取快递费的

平均值：

②依据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余

用作其他费用.目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元.公

司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你

是公司决策者，依据公司每天所获利润的期望值，确定是否裁减前台工作人员1人？（桃源一

中）

解：（I）将频率视为概率，样本中包袱件数在（100,300］内的天数为10+25=35,

3577

频率为/=3=，，故该公司1天揽件数在（100,300］内的概率为‘……（2分）

501010

7

将来3天包袱件数在（100,300］内的天数X听从二项分布，即X8（3,—）

10

所以将来3天内恰有1天揽件数在［100,299］内的概率为:

PY°3二10)310)2-1坨000（5分）

（II）①由题可知，样本中包袱质量（kg）、快递费（元）、包袱件数如下表所示:

包袱质量（kg）(0,1](1,2](2,3](3,4](4,5]

快递费812162024

（元）

包袱件数43301584

所以每件包

袱收取快递费的平均值为

(

^43x8+30x12+15x16+8x20+4x24)=12（7分）

②依据题意及①，揽件数每增加1,公司快递收入增加12（元）

若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数状况如下:

件数范围(0,100](100,200](200,300](300,400](400,500]

天数5102555

每天承揽包袱的50150250350450

件数Y

概率P0.10.20.50.10.1

每天承揽包袱的件数Y的期望E(Y)=50X0.1+150X0.2+250X0.5+350X0.1+450X0.1=240

.•.公司每日利润的期望值为240x12义工—5x80=560元.....（9分）

3

若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数状况如下:

件数范围(0,100](100,200](200,300](300,400](400,500]

天数5102555

每天承揽包袱50150250350400

的件数Y

概率P0.10.20.50.10.1

每天承揽包袱的件数Y的期望E(Y)=50X0.1+150X0.2+250X0.5+350X0.1+400X0.1=235

二.公司每日利润的期望值为235义12><,―4义80=620元......（11分）

3

因为560〈620,所以公司应将前台工作人员裁员1人......（12分）

20.有一种曲线画图工具如图1所示.。是滑槽AB的中点，短杆0N可绕0转动，长杆MN通过

N处较链与0N连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，&DN=ON=L,DM=1.当栓子

2

D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕。转动，M处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，AB

所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(I)求曲线c的轨迹方程；

(2)设工为曲线C的右焦点，P为曲线C上一动点，直线尸工斜率为《左W0),且尸耳与曲

线C的另一个交点为Q,是否存在点T(01)，使得/7PQ=NTQP若存在，求，的取值范围;

若不存在，请说明理由.(芷兰试验学校退兴明供题)

解⑴设M(x,y)则D(1,0),则卜―泉2+/=i及!+/=1…5,

(2)设直线PQ的方程为y=—百)，

将y=左（％—代入---FJ=1,得（1+4左2）%2—8^/5/%+12左2—4=0；

设p(4x),。(入2,%)，线段PQ的中点为

%十%

21+4小％一2口°勺-1+4〃

’4辰―品、

、1+4左2'1+4左2,…8'

因为ZTPQ=ZTQP所以直线IN为线段PQ的垂直平分线,

-瓜

所以力V_L尸。，则kTN-kPQ=-1,即4左。+1-’.1，

]

36k364/+1

所以1—4左？+]一」，…i(y

T"/VI

k

/

当左＞0时，因为4左+工之4,所以/C0,3出

~T~

1r3百、

当k<0时，因为4左+—4—4,所以/e---,0.

k4J

综上，存在点T,使得17PHTQI，且才的取值范围为

…12'

21.(本小题12分)已知函数/(x)=xe*-a(x+lnx),其中e=2.71828为自然对数的底数.

(1)若/(x)21,求实数a的值；(2)证明：x2ex>x(2+Inx)-2(1-sinx).(常德市

一中)

解：(1)法一：

当a<0时，加3=正-。(工+皿3=亚-aln巫4逅<1与恒成立冲突，不合题意;

2222222

当a>0时，/(x)=(%+1*'———,4^h{x}=xex-a,则/f(x)=(x+l)e">0,

x

aa

所以h(x)在(0,+oo)上递增,又/z(0)=-a<0fh(a)=ae-a=a(e-1)>0

故存在工。£(0,+oo),使/z(Xo)=O,且Inx0+x0=Intz

当了£(0,%0)时，h(x)<0,f*(x)<0,/(%)递减，

当无£(%,+00)时，h(x)>0,/(%)>0,/(%)递增

所以/(x)minuAxoXxoe^-aanXo+XohQ-alnQ

故/(x)21,BPa—a]na—l>0,令夕(a)=a-alna—l,

则0(a)=-lna,知夕(a)在(0,1)上递增,在(1,+oo)上递减，

所以0(a)max=。⑴=。，要使o(a)=a-Mna-1N。，当且仅当a=l

综上，实数〃的值为1

法二：/(x)=xex-a(x+lnx)=**+*-«(x+lnx),令/=x+

则等价于e‘一点一12。，对随意,£尺恒成立，4*h(t)=el-at-1,

当avO时，〃Q)=e"—2<e°—2<0与/z«)NO恒成立冲突，不合题意；

当a=0时，//⑺=3-1,力(一1)=71—1=1—1<0与/2«)上0恒成立冲突，不合题意；

e

当a>0时，h\t)=el-a,/z⑺在(-oojna)上递减，在(lna,+oo)上递增，

所以力⑺的最小值为h(\na)=a-aina-l

(p(a)=a-alna-l,则o(a)=-lna,知夕(a)在(0,1)上递增，在(l,+oo)上递减，

所以=0(1)=。，要使0(a)=a-alna—12。，当且仅当a=l

(2)由(1)知，当a=l时，xex-x-lnx>l,BPxex>x+lnx+l,

所以fe*>%2+xlnx+x,

下面证明x2+xlnx+x>x(2+Inx)-2(1-sinx),即证：x2—x+2-2sinx>0

令g(x)=/一x+2-2sinx,g*(x)=2x-1-2cosx

jr

当Ovx<l时，明显g<%)单调递增，g*(x)<g*(1)=1-2cosl<1-2cos—=0,

所以g(x)在(0,1］上单调递减，g(%)>g⑴=2—2sin1>0,

当%>1时，明显九2一元>,2—2sinxN0,BPg(x)>0

故对一切无£(0,+oo)，者B有g(%)>0，即x2+xlnx+x>x(2+Inx)-2(1-sinx)

故原不等式x2ex>x(2+In%)-2(1-sinx)成立

22.（本小题满分10分）

\x=acos（p

在平面直角坐标系xOy中，直线G：X+y-1=。，曲线。2：\（°为参