小升初数学考试卷-带答案

第第页小升初数学考试卷-带答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）在﹣2.5，﹣2，0，1.5这几个数中（）A．﹣2.5 B．﹣2 C．0 D．1.52．（4分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2022年6月26日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕，承担“大运会”开幕式的主体育场场馆规模为120000平方米．其中数据120000用科学记数法表示为（）A．12×104 B．12×105 C．1.2×105 D．1.2×1064．（4分）已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．（4分）下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（﹣x）2＝x2 C．x+x＝2x2 D．（2x）3＝2x36．（4分）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃7．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，则根据题意所列方程组正确的是（）A． B． C． D．8．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③b﹣a＞c；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．（4分）分解因式：3x2y﹣3y＝．10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜a，则实数a的取值范围是．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+3x+k与x轴只有一个交点，则k＝．12．（4分）以正六边形各边中点为顶点，可以组成一个新正六边形，则新正六边形与原正六边形的相似比为．13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，按一下步骤作图：①以点C为圆心，交AB于点D；②分别以点A和点D为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点E，则FB的长为．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）14．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．15．（8分）某校为了解七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度，学校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每位学生从A：非常喜欢，C：一般，D：不喜欢（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，解答下列问题：（1）求本次调查学生的总人数及扇形统计图中D部分的圆心角的度数；（2）请补全条形统计图；（3）若该校七年级共有750名学生，根据调查结果，估计对阳光跑操活动“比较喜欢”学生共有多少人？16．（8分）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为多少米？（≈1.73）17．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接BC，BD，交BA延长线于F．（1）求证：DE是半圆O的切线；（2）若BE＝10，求DF的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，4），B（﹣4，c）（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）过B的另一条直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，求点Q的坐标；（3）点M，N都在直线AB上，过M，设M，N的横坐标分别为m，n，n＞1，连接BE，若△ANF≌△BME，求点M的坐标．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知α、β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+2α﹣β+2022＝．20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上（4，3）在⊙A上，若⊙A与y轴相切．21．（4分）从﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为．22．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在边BC上，且AD＝DC＝2，连接AD′，以AB、AD′为边，连接DE，AE，AE的最大值与最小值分别是．23．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍（3，4），B（6，8），以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，则r的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）24．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，每件“冰墩墩”毛绒玩具的进价比每件“雪容融”毛绒玩具的进价多20元，且购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元．（1）求购买一件“冰墩墩”毛绒玩具、一件“雪容融”毛绒玩具各需多少元；（2）考虑顾客需求，要求购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件．如果该商家刚好用了30600元购进这两种毛绒玩具25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（﹣4，﹣2），连接AP，AB（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B在直线y＝﹣x上，且∠ABC+∠OAP＝45°，求点C的坐标；（3）设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值．26．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D，AC上的点，连接CD（1）如图1，若AE＝1，EC＝2，求∠ADE的度数；（2）如图2，若AE＝1，EC＝5，求AD的长；（3）如图3，若AE＝BD，当最大时，求参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）在﹣2.5，﹣2，0，1.5这几个数中（）A．﹣2.5 B．﹣2 C．0 D．1.5【分析】根据有理数的大小比较法则：负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．【解答】解：∵|﹣2.5|＝7.5，|﹣2|＝2∴﹣2.5＜﹣3＜0＜1.8∴这几个数中，最小的数是﹣2.5．故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．2．（4分）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看，一共有三列、1、2．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．（4分）2022年6月26日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕，承担“大运会”开幕式的主体育场场馆规模为120000平方米．其中数据120000用科学记数法表示为（）A．12×104 B．12×105 C．1.2×105 D．1.2×106【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：120000＝1.2×102故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．（4分）已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【解答】解：∵A（m，2）与点B（1∴m＝﹣2，n＝2∴m+n＝﹣1+5＝1故选：B．【点评】本题考查了点的对称，正确理解点对称的性质是解题关键．5．（4分）下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（﹣x）2＝x2 C．x+x＝2x2 D．（2x）3＝2x3【分析】根据完全平方公式，合并同类项的法则，乘方运算逐一判断即可．【解答】解：A．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故A错误；B．（﹣x）2＝x2，故B正确；C．x+x＝2x；D．（2x）5＝8x3，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握乘法公式与法则并灵活运用是解题的关键．6．（4分）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃【分析】根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得极差是：30﹣20＝10℃，故选项A错误众数是28℃，故选项B正确这组数按照从小到大排列是：20、22、26、28，故中位数是26℃平均数是：＝℃，故选项D错误故选：B．【点评】本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．7．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，大致意思是：“用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，则根据题意所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据用一根绳子对折去量一根木条，绳子剩余5尺，将绳子三折再量木条，木条剩余2尺，可以列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③b﹣a＞c；④若B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧∴ab＜0由图象可知：c＞0∴abc＜3故①不正确；②由对称知，当x＝2时，即y＝4a+5b+c＞0故②正确；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜5∴b﹣a＞c故③正确；④∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1）＞∴y5＜y2故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大，y＝a+b+c而当x＝m时，y＝am8+bm+c所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）故⑤正确．故②③⑤正确．故选：C．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．（4分）分解因式：3x2y﹣3y＝3y（x+1）（x﹣1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3x2y﹣8y＝3y（x2﹣4）＝3y（x+1）（x﹣6）故答案为：3y（x+1）（x﹣6）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜a，则实数a的取值范围是a≤3．【分析】根据口诀：同小取小，结合不等式组的解集可得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元一次不等式组的解集为x＜a∴a≤3故答案为：a≤4．【点评】本题考查的是不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+3x+k与x轴只有一个交点，则k＝．【分析】由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4k＝0，即可求解．【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝7﹣4k＝0解得k＝故答案为：．【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（4分）以正六边形各边中点为顶点，可以组成一个新正六边形，则新正六边形与原正六边形的相似比为．【分析】根据正六边形的性质，求出原正六边形的边长与新正六边形的边长的关系即可．【解答】解：如图，设原正六边形的边长为a则新正六边形的边长为a•sin60°＝a∴新正六边形与原正六边形的相似比为＝a：a＝故答案为：．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，求出两正六边形的边长的比是解题的关键．13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，按一下步骤作图：①以点C为圆心，交AB于点D；②分别以点A和点D为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点E，则FB的长为．【分析】利用基本作图得到AF＝DF，CF⊥AB于F，由勾股定理逆定理证得∠ACB＝90°，由三角形的面积公式求出CF，利用勾股定理计算出AF，即可计算出BF．【解答】解：∵AC2+BC2＝22+47＝52，AB6＝52∴AC4+BC2＝AB2∴∠ACB＝90°由作法得CE垂直平分AD∴AF＝DF∵S△ABC＝AC•BC＝∴CF＝＝在Rt△ACF中，CF＝＝＝∴BF＝AB﹣AF＝5﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理的逆定理，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）14．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，开立方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可；（2）利用分式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值进行运算即可．【解答】解：（1）＝2×﹣7+2+＝1﹣2+3+＝；（2）＝＝＝＝当时原式＝＝＝1﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．15．（8分）某校为了解七年级学生对“阳光跑操”活动的喜欢程度，学校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每位学生从A：非常喜欢，C：一般，D：不喜欢（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，解答下列问题：（1）求本次调查学生的总人数及扇形统计图中D部分的圆心角的度数；（2）请补全条形统计图；（3）若该校七年级共有750名学生，根据调查结果，估计对阳光跑操活动“比较喜欢”学生共有多少人？【分析】（1）从两个统计图中可以得到A组的有40人，占调查人数的20%，可求出调查人数，用360°乘D部分所占比例可得D部分的圆心角的度数；（2）求出C组的人数即可补全条形统计图（3）样本估计总体，样本中B组的占40%，因此估计总体中也有40%的学生属于B组．【解答】解：（1）调查人数为：40÷20%＝200（人）D部分的圆心角的度数为：360°×（1﹣20%﹣25%﹣40%）＝54°；（2）C组的人数为：200﹣40﹣80﹣30＝50（人），补全条形统计图如图所示：（3）估计对阳光跑操活动“比较喜欢”学生共有：750×40%＝300（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．16．（8分）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为多少米？（≈1.73）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，再由矩形的性质CF＝BE＝（57﹣30）米，然后证△DCF是等腰直角三角形，得DF＝CF＝（57﹣30）米，即可解决问题．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°∴tan∠DAE＝tan30°＝∴AE＝DE＝30∴BE＝AB﹣AE＝（57﹣30）（米）∵四边形BCFE是矩形∴CF＝BE＝（57﹣30）米在Rt△DCF中，∠DFC＝90°∴△DCF是等腰直角三角形∴DF＝CF＝（57﹣30）米∴BC＝EF＝DE﹣DF＝30﹣（57﹣30）＝（30答：教学楼BC的高度为（30﹣27）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接BC，BD，交BA延长线于F．（1）求证：DE是半圆O的切线；（2）若BE＝10，求DF的长．【分析】（1）连接OD、AC，证明OD∥BE即可推出结论；（2）连接AD，根据勾股定理求出BD的长，证明△ADB∽△DEB，得出，代入数据得出AB的长，再根据OD∥BE得出比例式求出DF的长即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD∵D为弧AC中点，OD是半径∴OD⊥AC∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴BC⊥AC∴OD∥BE∵DE⊥BE∴∠ODF＝∠E＝90°即OD⊥EF∴DE是半圆O的切线；（2）解：如图，连接AD在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝∵AB是直径∴∠ADB＝∠E＝90°∵D为弧AC中点∴∴∠ABD＝∠DBE∴△ADB∽△DEB∴∴∴AB＝12∴OD＝7∵OD∥BE∴∴∴DF＝3．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，4），B（﹣4，c）（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）过B的另一条直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，求点Q的坐标；（3）点M，N都在直线AB上，过M，设M，N的横坐标分别为m，n，n＞1，连接BE，若△ANF≌△BME，求点M的坐标．【分析】（1）把点A（1，4）代入y＝即可求出a＝4，进而求得B（﹣4，﹣1），然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）分两种情况：Q在y轴的正半轴和负半轴，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可解答；（3）由题意可知，M（m，m+3），N（n，n+3），E（m，），F（n，），根据ME＝NF，点B到EM的距离＝点A到FN的距离，列方程可解答．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（1，B（﹣4∴a＝6×4＝﹣4c∴a＝2，c＝﹣1∴反比例函数解析式为：y＝∵一次函数y＝kx+b经过点A（6，4），﹣1）∴解得：∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）分两种情况：①如图8，过点B作BC⊥x轴于C∵△ABP的面积与△ABQ的面积比为3：4∴＝∵BC⊥x轴，OQ⊥x轴∴BC∥OQ∴△PCB∽△POQ∴＝＝∵BC＝1∴OQ＝∴Q（0，﹣）；②如图2，过点B作BC⊥x轴于C∵△ABP的面积与△ABQ的面积比为3：5∴＝∴＝2同理得：BC∥OQ∴△PCB∽△POQ∴＝＝3∵BC＝1∴OQ＝∴Q（0，）；综上，点Q的坐标为（0，﹣，）；（3）如图3由题意可知，M（m，N（n，E（m，），）∵﹣4＜m＜0，n＞7∴ME＝m+3﹣，NF＝n+7﹣∵△ANF≌△BME∴ME＝NF，点B到EM的距离＝点A到FN的距离∴m+3﹣＝n+3﹣①由②得：n＝m+4③把③代入①得：m﹣＝m+5﹣解得：m1＝﹣4，m2＝﹣4∵﹣6＜m＜0∴m＝﹣1∴M（﹣8，2）．【点评】本题是反比例函数的综合题，也是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式，用方程的思想去思考问题．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知α、β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+2α﹣β+2022＝2027．【分析】利用根与系数的关系求出α+β与αβ的值，再将x＝α代入方程得到α2+3α﹣2＝0，原式变形后将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根∴α+β＝﹣3，αβ＝﹣6，α2+3α﹣3＝0则原式＝（α2+6α﹣2）﹣（α+β）+2024＝0﹣（﹣5）+2024＝3+2024＝2027．故答案为：2027．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上（4，3）在⊙A上，若⊙A与y轴相切．【分析】连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，设⊙A的半径为r，则OA＝AB＝r，AC＝4﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：如图，连接AB∵B（4，3）∴BC＝5，OC＝4设⊙A的半径为r，则OA＝AB＝r∴AC＝4﹣r在Rt△ABC中，由勾股定理得AB7＝AC2+BC2∴r6＝（4﹣r）2+82解得r＝故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，切线的性质，坐标与图形性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（4分）从﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为．【分析】利用方程的解和反比例函数的性质可得m的取值范围，进而可得m的值，然后再利用概率可得答案．【解答】解：＝52x﹣m＝3x+2x＝﹣3﹣m∵方程的解是负数∴解得：m＞﹣2，且m≠﹣2∵关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大∴m﹣4＜0∴m＜3∴﹣8＜m＜3，且m≠﹣2∴m＝﹣6或0或1或2，有4种可能故概率为故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质和分式方程的解，以及概率，关键是正确确定m的取值范围．22．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在边BC上，且AD＝DC＝2，连接AD′，以AB、AD′为边，连接DE，AE，AE的最大值与最小值分别是、4．【分析】求点A到线段BC的距离即点A到BC的垂线段距离AF，等腰三角形三线合一构建直角三角形，易求BF，由BC＝6，CD＝2，易求BD，继而求得DF，根据勾股定理即可求得AF的长；在求出这些线段的长容易发现△ABC是底角为30°的特殊三角形，继续能求得∠BAD＝90°，线段AB的长，线段CD绕点C旋转时就易得特殊三角形，当点A、D、D’在一条直线上时，平行四边形变矩形，就可求得AE的最大值；当点D、C、D’在一条直线上时，可求得AE的最小值．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为F∵AB＝BC，AF⊥BC∴BF＝FC＝BC＝2∵BD＝6，DC＝2∴BD＝BC﹣DC＝6∴DF＝BD﹣BF＝1在Rt△AFC中∵AD＝DC＝2根据勾股定理得：AF＝；同理可得AB＝2，根据勾股定理逆定理可得：AB7＝AF2+BF2∴∠BAD＝90°当点A、D、D′在同一直线上时，▱ABED′是矩形；当点D、C、D′在同一直线上时，且点D为▱ABED′对角线AE，可得最小值AE＝2AD＝4．【点评】此题是三角形与四边形的综合题，画图分析条件结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形的特性，及有关旋转的知识，是解决问题的关键．23．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的圆和点P给出如下定义：对于圆上的动点Q，若点P到动点Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍（3，4），B（6，8），以坐标原点O为圆心，r为半径画圆，则r的取值范围是≤r≤5或10≤≤20．【分析】依据题意，设半径为r的圆O，与x轴交F，G两点，分别求得A，B到圆心的距离，根据题意作出图形，分别求得最小值和最大值，根据“三分点”的定义列出不等式组，解不等式组求解即可．【解答】解：如图，设半径为r的圆O与x轴交FAB上存在点P即DE上存在P∵点A（3，4），3）∴OD＝OA＝5，OE＝OB＝10设P（x，0），8），0）∴D（5，3），0）．由题意：FP＝3GP，|x+r|＝3|x﹣r|①x+r＝3x﹣3r，4x＝4r，x1＝3②x+r＝3r﹣3x，x2＝P在DE上∴6≤x≤10．∴5≤2r≤10或6≤≤10．∴≤r≤5或10≤≤20．故答案为：≤r≤5或10≤≤20．【点评】本题主要考查了点与圆心的位置关系求最值，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）24．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、北京冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，每件“冰墩墩”毛绒玩具的进价比每件“雪容融”毛绒玩具的进价多20元，且购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元．（1）求购买一件“冰墩墩”毛绒玩具、一件“雪容融”毛绒玩具各需多少元；（2）考虑顾客需求，要求购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件．如果该商家刚好用了30600元购进这两种毛绒玩具【分析】（1）根据购买20件“冰墩墩”毛绒玩具和10件“雪容融”毛绒玩具共需3400元列出方程求解即可；（2）设购买“雪容融”毛绒玩具a个，根据总价得到购买“冰墩墩”毛绒玩具的个数，进而根据购买“冰墩墩”毛绒玩具的数量不少于“雪容融”毛绒玩具数量的2倍，且“雪容融”毛绒玩具的数量不少于80件列出不等式组求解，找到符合题意的解即可．【解答】解：（1）设购买一件“冰墩墩”毛绒玩具需要x元，则购买一件“雪容融”毛绒玩具需要（x﹣20）元．根据题意，得：20x+10（x﹣20）＝3400．解得：x＝120．∴x﹣20＝100．答：购买一件“冰墩墩”毛绒玩具需要120元，则购买一件“雪容融”毛绒玩具需要100元；（2）设购买“雪容融”毛绒玩具a个，则购买“冰墩墩”毛绒玩具a）个．根据题意得：．解得：80≤a≤90．∵255﹣a为正整数∴a可取的整数值为84，90．∴商家有2种进货方案．方案一：购买“雪容融”毛绒玩具84个，购买“冰墩墩”毛绒玩具185个；方案二：购买“雪容融”毛绒玩具90个，购买“冰墩墩”毛绒玩具180个．【点评】本题考查分式方程及不等式组的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键；难点是根据总价得到“冰墩墩”毛绒玩具的个数；易错点是根据“冰墩墩”毛绒玩具的个数为正整数得到符合题意的解．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（﹣4，﹣2），连接AP，AB（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B在直线y＝﹣x上，且∠ABC+∠OAP＝45°，求点C的坐标；（3）设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值．【分析】（1）根据题意得出h＝﹣4，k＝﹣2，将O点坐标代入求得a的值；（2）作PE⊥x轴于E，作BD⊥x轴于D，可求得B（﹣16，16），进而得出∠ABD+∠ABO＝45°，根据tan∠ABD＝，tan∠OAP＝得出∠ABD＝∠OAP，进一步得出结果；（3）将y轴向左平移4个单位，此时原点是Q点，作直线CD：y＝﹣4，交y′于G，作NC⊥CD于C，作MD⊥CD于D，作NE⊥y′于N，作MF⊥y′于M，可得出抛物线的解析式为：y＝，设M（m，﹣），N（n，﹣），可计算得出MD＝QM，QN＝NC，结合MD＝FG，NC＝EG得出FG＝QM，EG＝QN，由FG＝QG﹣QF＝4﹣QM•cos∠MQF，可得出QM＝，QN＝，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点P的坐标为（﹣4，﹣2）∴抛物线的解析式为：y＝a（x+4）2﹣5∵抛物线过点O（0，0）∴3＝a•42﹣8∴a＝∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+4）6﹣2＝；（2）如图1作PE⊥x轴于E，作BD⊥x轴于D由得x8＝﹣16，x2＝0∴B（﹣16，16）∴OD＝BD＝16∴∠OBD＝∠BOD＝45°∴∠ABD+∠ABO＝45°∵P（﹣2，﹣2）∴A（﹣8，7），PE＝2∴AD＝OD﹣OA＝8∴tan∠ABD＝，tan∠OAP＝∴∠ABD＝∠OAP∵∠ABC+∠OAP＝45°∴∠ABC＝∠ABO∴点C和点O重合∴C（0，0）；（3）如图