1.2集合间的基本关系课件高一上学期数学人教A版3

第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.在具体情景中，了解空集的含义．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．活动方案实数有相等关系、大小关系，如5＝5,5＜7，5＞3等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？活动一集合的基本关系思考1►►►观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)E＝{x|x为两条边相等的三角形}，F＝{x|x为等腰三角形}．【解析】

在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素．这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)中的集合C与集合D也有这种关系．(3)中集合E的元素与集合F的元素是一样的．思考2►►►如何用数学语言来表述思考1中两个集合的关系？【解析】

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记为A⊆B或B⊇A，读作“A包含于B”或“B包含A”．思考3►►►思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象的表示出来？【解析】

为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．因此，A⊆B可用Venn图表示为思考4►►►思考1中的集合E与集合F的元素是一样的，与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，你有什么体会？【解析】

一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.

符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.思考5►►►子集有什么性质？【解析】

①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且

B⊆C，那么A⊆C.思考6►►►对于实数a，b，a≤b含有a<b或a＝b两层含义，类比a≤b，集合A⫋B是怎样的含义？【解析】

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记为A⫋B或B⫌A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明A⊆B(即A中的任何元素都属于B)，二是证明A≠B(即B中的元素不是都属于A，或者说B中至少有一个元素不属于A)．思考7►►►方程x2＋1＝0没有实数根，所以方程x2＋1＝0的实数根组成的集合中没有元素，那么怎么来定义空集？【解析】

一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．思考8►►►你能举出几个空集的例子吗？【解析】{x|1＜x＜0}＝∅；{x∈R|x2＋x＋1＝0}＝∅.思考9►►►0，{0}，∅，{∅}有什么关系？思考10►►►包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例做出解释？【解析】{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．例

1写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．活动二写出集合的子集【解析】

集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．集合{a，b}的所有子集中我们把除它自身外的所有子集称为集合{a，b}的真子集．如果A⊆B，且A≠B，那以集合A是集合B的真子集．写出集合{a，b，c}所有的子集、真子集．任何一个集合的子集中都含有∅，同时∅也是任何非空集合的真子集．一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.思考11►►►若集合A中有n个元素，则集合A的子集有多少个？真子集又有多少个？【解析】

子集有2n个，真子集有(2n－1)个．例

2判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由．(1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x

是8的约数}；活动三判断集合之间的关系【解析】

因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】

因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．判断下列各组集合中，A是否为B的子集．(1)A＝{0,1}，B＝{－1,0,1，－2}；【解析】

因为0∈B,1∈B，即A中的每一个元素都是集合B的元素，所以A是B的子集．(2)A＝{0,1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．【解析】

因为1∈A，但1∉B，所以A不是B的子集.例

3满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有多少个？活动四有限集的子集个数探究【解析】

由{1,2}⫋M可知，M中必定有1,2两个元素，且至少还有异于1,2的“其他”一个元素；由M⊆{1,2,3,4,5}可知，上面所说的“其他”应当来自3,4,5这三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况)．故满足条件的集合M有7个(也就是集合{3,4,5}的非空子集的个数)．例

4已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．活动五含参问题探究已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3,2m－1}．若A⊆B，则实数m的值为________.【解析】

由m2＝2m－1，解得m＝1.经验证，满足互异性．【答案】1在子集的定义中，不能把集合A是集合B的子集理解为A是B中部分元素所组成的集合，因为集合B的子集也包括它本身，而这个子集是由集合B的全体元素组成的，另外，空集也是集合B的子集，而这个集合中并不含有集合B中的元素．检测反馈245131.若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x∈Z|x2－x－2≤0}关系的Venn图是(

)【解析】

由x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以N＝{x∈Z|x2－x－2≤0}＝{－1,0,1,2}．又M＝{－1,0,1}，所以M⊆N⊆U.【答案】D24513【答案】C24533.(多选)下列说法中，正确的是(

)A.空集没有子集 B.{1,2}⊆{x|x2－3x＋2＝0}C.{y|y＝x，x∈R}⊆{y|y＝x2，x∈R} D.非空集合都有真子集1【解析】

对于A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，故A错误；对于B，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，故B正确；对于C，因为{y|y＝x，x∈R}＝R，{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以{y|y＝x2，x∈R}⊆{y|y＝x，x∈R}，故C错误；对于D，空集是任何非空集合的真子集，故D正确．故选BD.【答案】BD2453【答案】14124535.(2022·上海崇明中学高一期末)设集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．(1)用列举法表示集合A；(2)若B⊆A，求实数m的值．1【解析】(1)因为A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，所以集合A为方程x2＋3x＋2＝0的实数解组成的集合．由x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝－2，所以A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}，所以用列举法表示集合A为A＝{－1，－2}．24531(2)因为B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，所以集合B为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的实数解组成的集合．由x2＋(m＋1)x＋m＝0，得Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，所以方程x2＋(m＋1)x＋m＝0有解，B≠∅.①当m＝1时，方程x2＋(m＋1)x＋m＝0即为x2＋2x＋1