双曲线-2025届高考数学一轮复习例题训练集

（27）双曲线一2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套

新教材】

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

2222

1.与曲线三+乙=1共焦点，且与双曲线土-乙=1共渐近线的双曲线的方程为（）

163646

22

2.设《，£分别为双曲线与-3=1（。>0,/?>0）的左、右焦点，双曲线上存在

ab

一点P使得|P4|+|P闾=33\PF^-\PF^=^ab,则双曲线的离心率为（）

22

3.已知双曲线C:'-3=1（。〉0］〉0）的左、右焦点分别为耳，F、,过片作倾斜角

ab

为45。的直线交双曲线C的右支于点P,交y轴于点△上"用的内切圆与M8相切

于点Q,若e=2SAMFE，|MQI=L则双曲线C的焦距为（）

A.72B.V2+1C.2A/2D.2&+2

22

4.已知双曲线C:5—1=1a>0,b>0）的虚轴长为4,C的一条渐近线与曲线

a~b

3.._......

y=sinx在x=—兀处的切线垂直，M,N为C上不同两点，且以A/N为直径的圆经过

4

坐标原点O,则一匚7+—~~7=（）

10Ml2|ON/

A.-B.4C.-D.2

42

22

5.已知双曲线C:土-J=l（〃z〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,圆。的方程为

5m

x1+y1^r\r>G）,过点鸟作圆。的切线，与C的右支交于M点，与y轴正半轴交于

R点、,且|。河|=四优闾.若△月是以R为顶点的等腰三角形，则厂=（）

CA/S+1

2

二、多项选择题

22

6.已知双曲线斗=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,以线段与巴为

直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P,过点P作x轴的垂线，垂足为。则下列说法

正确的是（）

A.若|P闾=c,则双曲线C的渐近线方程为y=土x

B.若点。为线段与心的三等分点，则双曲线C的离心率为3

22

C.若点Q为线段耳工的三等分点，100=1,则双曲线C的方程为三-餐=1

D.若△OPQ的面积为1,则双曲线C的焦距长的最小值为4

22

7.已知双曲线C：3-1=1（a>0,b>0）的一条渐近线与直线y=2x垂直，焦距

ab

为2石，尸是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一

条渐近线分别相交于点A,B,。是坐标原点，则下列结论中正确的是（）

A.双曲线的方程为土-y2=iB.双曲线的离心率为百

的面积为定值D.|PA|+|P5|的最小值为之

2

三、填空题

22

8.已知双曲线E:三-3=1（a>0,Z?>0）的左、右焦点分别为耳，工,过点片的

ab

直线/交E的左支于A,3两点.若1=|0巴|（。为坐标原点），点。到直线/的距离

为北，则E的离心率为.

3

22

9.已知双曲线4=1（«>0,Z?>0）的左、右焦点分别为£,F2,右顶点为

A,过点耳的直线与y轴交于点用，与E的右支交于点N（异于点A）,若

NMAF]=NNF2F],E的渐近线斜率为左，则/的取值范围是..

四、解答题

10.在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C:=-3=1(a>0,b>0)

ab

的左、右焦点分别为《，F2,工到渐近线的距离为由.

(I)求双曲线C的方程；

(II)过点-的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,3两点，过点工的直线交

双曲线C的右支于。，E两点，且左.•左DE=3，证明：|DE|-|AB|为定值.

参考答案

1.答案：A

22

解析：曲线上+工=1为椭圆，焦点在y轴上，且°?=36-16=20.因为所求双曲线与

1636

2222

双曲线L—2L=1共渐近线，所以设所求双曲线为土—LMXQVO),即

4646

22

上——J=l,则02=—62—42=20,解得2=—2,所以所求双曲线方程为

-62-42

22

匕—土=1.故选A.

128

2.答案：B

解析：根据双曲线的定义归用-|PR||=2a,可得|尸耳「-2|尸制尸段+归鸟『=4储.由已

知可得|P片「+2忸片"p闾+|尸其「=9吐两式作差得闾=4/—9加.又

\PF\-\PF^=\b,所以4a2+9m—处②=0,即(4a—3加《+33=0,得4a=3/7.两边平

方得16a2=9^,即16a2=9d一。2),即25a2=%2,则==2,所以双曲线的离心

v7a9

率e=2,故选B.

3

3.答案：D

解析：由题意可知直线班的方程为丁=兀+°,M(O,c),因为5"尸e=2S^M印,，所以

点P的纵坐标h,=2c,代入直线M耳的方程得与=。，所以P(c,2c).设APA招的内切

圆与尸工分别切于点凡S,由双曲线的定义得归制-归引=2。，易知

\MF^\MF2\,结合切线长定理可得

\PFl\-\PF2\^\RFl\-\SF2\^\MFl\+\MR\-\SF2\^\MF2\+\MQ\-\QF2\^2\MQ^2a,因为

\MQ\=l,所以a=l.

2

法一：所以双曲线C的方程为V-；=1,将尸(c,2c)的坐标代入，得

c-1

。2-率二=1,得c=0+l,故双曲线C的焦距为2&+2.故选D.

c-1

法二：易知尸轴，即△PK鸟为等腰直角三角形.由双曲线的定义可得

归娟=2a+L|=2+2c,贝I]2+2C=后X2C,得C=0+1,故双曲线C的焦距为

20+2.故选D.

4.答案：A

解析：依题意，2/?=4,所以匕=2.又y=sinx,所以y'=cosx,贝！J

yl3n=cos型=-受，所以双曲线C的一条渐近线为＞=瓜，即2=0,所以

442a

22

"收所以双曲线C的方程为=L又以MN为直径的圆经过坐标原点。连

接。“，ON,所以OMLON,依题意可设直线。”的方程为y=H,易求

ke（-拒l，-也与、U（手五血£，则直线ON的方程为丁=」x，联立--2^-41'消去y

k

2JI2）卜=点，

整理得（2-公卜2=人即将=$,故城=片，所以

Z—KZ—K

1_1_2-k24k21

同理可得说=言7,故其,所以

10Ml2F+yj-4（1+左2）Z/C—12k--1

」_=」_=2J,所以」_+」_=1+-」

故选A.

|0N/就+44（1+F）10Ml2|QN|24（1+F）4

5.答案：C

解析：如图，由是以R为顶点的等腰三角形，知|MR|=|鸟升.由对称性得

闺用=|乙M，故R为线段6M的中点，所以N"片耳=90。.由|。河|=行怩闸，知

△。鸟M为等腰直角三角形，所以|O£|=W用.易知工(c,0)，所以Mc,^-m2,所以

I57

c=—m2,即疗=石°.又°?=疗+5,故c?一6c-5=0,解得c=5+也(负值舍

52

A/52

---ITI

去).易知圆。的切线耳M的斜率左=二一=-,故切线方程为y=^(x+c),即

2c22

x-2y+c=0.由点到直线的距离公式，可得r=.故选C.

解析：由题意得圆的方程为必+产=02.对于A,不妨设点尸在第一象限，则

|0口=|0闾=c.若忸闾=°,则△OP6为等边三角形，所以直线。P的斜率为百，所

以双曲线C的渐近线方程为y=±后，故A错误.对于B,方法一：不妨设点尸在第

一象限，点。的坐标为(％,0),%0>0,则「卜]/].因为点尸在圆好+^=°2上，

所以北+化％[=02,所以心生片=02.又4+尸=02,所以需=/,所以

\a)a

(负值已舍去)，则点。为双曲线。的右顶点.又点。为线段耳入的三等分点，所以

c—a=—x2c,即C=3Q,所以双曲线。的禺心率C=9=3,故B正确.方法二：不妨设

3a

点P在第一象限，则点。在x轴的正半轴上.因为点。为线段耳耳的三等分点，所以

匚殳=L所以％='c,即点。的横坐标为则点p的坐标为因为点p

2c333<33a）

在圆公+丁=02上，所以U+（如丫=°2.又°2=储+廿，所以）02+1—.）。2=/.

^（3）[3aJ99a2

整理，得,2=9储，即c=3a,所以双曲线C的离心率6=工=3,故B正确.对于C,由

a

选项B可知|OQ|=a=；c=l,则c=3,。=1,所以尸=8,所以双曲线C的标准方程

b

y=一%,

2ar_

为好一II”故©错误.对于D,不妨设点尸在第一象限.联立B+yZ.,得x=a,

8片+i2”

所以点尸的坐标为（。力）.因为S4OPQ=gaZ?=1,所以必=2,所以

c2=a2+b2>2ab=4,当且仅当a=b=血时等号成立，所以c»2,则双曲线C的焦

距长的最小值为4,故D正确.选BD.

7.答案：AC

解析：选项A,B：由题意得双曲线的一条渐近线的斜率为-工，又焦距为2百，所以

2

b_1

---ar-2

<a2,得<,

2y1a2+b2=275也=]

因此双曲线的方程为二-丫2=1,离心率e=£=或，故选项A正确，选项B错误；

4a2

选项C：设P（x0,%），易知双曲线的渐近线的方程为y=±gx,则由

.11

y=——x

2

<],解得<]],不妨取A[]XO_-区毛+5yoJ，同理可

xx

y-y0=-（-o）y=-7x0+7^o

I08|=曰g5+为,

|03|=/+出瓦-0|=当；~)+%)

于是|PA|・|P8HOB|」OA|=¥gxo+%.日g%o—%=|^o-Jo，由于点P在双曲

2S

线上，所以号-需=1,因止匕|PA|-|P3|=2,所以△PA6的面积

44

S=-\PA\\PB\sinZAPB=-sinZAPB,由于ZAPS是定值，所以S=»sin/APB也为

288

定值，故选项C正确；

选项D：易矢口|DA|+|P3巳25PA[[PBI=2X£=B当且仅当|PA|=|P5|时取等

号，所以|PA|+|P5|的最小值为百，故选项D错误.

8.答案：晅

3

解析：如图，连接居3,因为国@=|。用=|。8],所以N耳3名=90。.

又防=|陷,

Qxy

所以。。为RtAB4月的中位线，所以忸闾=2|。。|=三.又忸闾-忸£|=2a,所以

Rl=y-

令双曲线的半焦距为c,在Rt△JB2谯中，忸片「+忸阊2=E阊2,即

f-aT+f-J=(2c)2,得£=姮，所以E的离心率为晅.

\3J7a33

9.答案：(2+20,+8)

解析：设耳(-c,0),工(c,0)，N(x0,y0),易知A(a,O),则直线N6的方程为

y=.%(x+c),

x0+C

令尤=0,得

x0+C

(\

所以M0,9」，

I/+c)

因为/肱4耳=/般片,

9

所以^AM~^F2N

即-/◎)、=^^，

a(x0+c)x0-c

「2—ciC

由题意知%00,所以~吧,

a+c

因为点N在E的右支上，所以x0=U」〉a,故°2一片>24，又+护,

a+c

I---------------A4(*、

所以加>26/户万