全国版2025届高考数学二轮复习专题检测二十基本初等函数函数与方程理含解析

PAGE专题检测（二十）基本初等函数、函数与方程A组——“12＋4”一、选择题1．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是()A．(0，0) B.(0，－1)C．(－2，0) D.(－2，－1)解析：选C令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2，0)．故选C.2．(2024·福建五校其次次联考)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝logeq\f(1,5)，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B.b>a>cC．b>c>a D.c>a>b解析：选Da＝log3eq\f(7,2)，c＝logeq\f(1,5)＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35>log3eq\f(7,2)>log33，所以c>a>1.借助指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的图象易知b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))∈(0，1)，故c>a>b.故选D.3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A．1 B.2C．3 D.4解析：选B函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数为2.故f(x)＝|logx2|＋x－2的零点个数为2.4．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B.(－∞，1)C．(1，＋∞) D.(4，＋∞)解析：选D由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D.5．已知函数f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是()A．(－1，－log32) B.(0，log52)C．(log32，1) D.(1，log34)解析：选C∵函数f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1.故选C.6．已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为()A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1，1)上的减函数D．(－1，1)上的增函数解析：选D由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))＝lgeq\f(x＋1,1－x)，令eq\f(x＋1,1－x)>0，则－1<x<1，解除A、B，又y＝eq\f(2,1－x)－1在(－1，1)上是增函数，∴f(x)在(－1，1)上是增函数．故选D.7．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)满意f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为()解析：选C由a|x|≤1(x∈R)，知0<a<1，又函数y＝loga(x＋1)的图象是由y＝logax的图象向左平移一个单位而得，故选C.8．若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)，则f(2)＋g(4)＝()A．3 B.4C．5 D.6解析：选D法一：∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)＝2x，∴g(x)＝log2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.故选D.法二：∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)，∴f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2，4)，∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，∴函数g(x)的图象经过点(4，2)，∴f(2)＋g(4)＝4＋2＝6.故选D.9．设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B.x1x2＝1C．x1x2>1 D.0<x1x2<1解析：选D作出函数y＝10x，y＝|lg(－x)|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1，0)之间，不妨设x1<－1，－1<x2<0，则10x1＝lg(－x1)，10x2＝|lg(－x2)|＝－lg(－x2)．两式相减得：lg(－x1)－(－lg(－x2))＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lg(x1x2)＝10x1－10x2<0，即0<x1x2<1.故选D.10．(2024·唐山模拟)已知函数f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0，2π]，则f(x)的全部零点之和等于()A．5π B.6πC．7π D.8π解析：选Cf(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0，可得cos2x＝0或sinx＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，∴x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的全部零点之和等于7π.故选C.11．(2024·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝2x＋log3eq\f(2＋x,2－x)，若不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞) B.(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选D由eq\f(2＋x,2－x)>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3eq\f(2＋x,2－x)＝log3eq\f(x－2＋4,2－x)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(4,x－2)))在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>3成立等价于不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))>f(1)成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<\f(1,m)<2，,\f(1,m)>1，))解得eq\f(1,2)<m<1.故选D.12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对随意的x都满意f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x<1时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为()A．2 B.3C．4 D.5解析：选B依题意，可知函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|的图象的交点个数．设－1≤x<0，则0≤x＋1<1，此时有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)，又由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)以2为周期的周期函数．而y＝ln|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,ln（－x），x<0，))在同一坐标系中作出函数y＝f(x)的图象与y＝ln|x|的图象如图所示，由图可知，两图象有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－ln|x|有3个零点．故选B.二、填空题13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，,log\s\do9()x，x>0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝________．解析：由题可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq\f(1,4)＝2，因为log2eq\f(1,6)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log2\f(1,6))＝2log26＝6，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,6)))＝8.答案：814．有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③明显不满意题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满意在(0，1)内单调递减．答案：②④15．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1.答案：(0，1]16．(2024·河北模拟调研改编)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝loga3＝0，,f（0）＝loga1＝－1，))无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递增，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝loga3＝－1，,f（0）＝loga1＝0，))解得a＝eq\f(1,3).∵g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x＋m)－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．答案：eq\f(1,3)[－1，＋∞)B组——“5＋3”1．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1解析：选D与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e－x的图象，∴f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.2．(2024·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r满意方程：eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).设α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似计算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，则r的近似值为()A.eq\r(\f(M2,M1))R B.eq\r(\f(M2,2M1))RC.eq\r(3,\f(3M2,M1))R D.eq\r(3,\f(M2,3M1))R解析：选D由α＝eq\f(r,R)得r＝αR，代入eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3)，整理得eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq\f(M2,M1).又∵eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，∴3α3≈eq\f(M2,M1)，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.故选D.3．(2024·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B.10.1C．lg10.1 D.10－10.1解析：选A由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，所以lgeq\f(E1,E2)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故选A.4．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．a＋b>0 B.a＋b>1C．2a＋b>0 D.2a解析：选A作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)(a<b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0，∴0＝ab＋a＋b<eq\f(（a＋b）2,4)＋a＋b，即(a＋b)·(a＋b＋4)>0，又易知－1<a<0，b>0，∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0.故选A.5．(2024·江西八所重点中学联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满意x>0时，f(x)＝eq\f(2,π)x－lnx＋lneq\f(π,2)，则函数g(x)＝f(x)－sinx的零点个数是()A．1 B.2C．3 D.5解析：选C函数g(x)＝f(x)－sinx的零点个数即函数f(x)的图象与y＝sinx图象的交点个数．当x>0时，f(x)＝eq\f(2,π)x－lnx＋lneq\f(π,2)，则f′(x)＝eq\f(2,π)－eq\f(1,x)＝eq\f(2x－π,πx)，令f′(x)＝0，则x＝eq\f(π,2).当0<x<eq\f(π,2)时，f′(x)<0；当x>eq\f(π,2)时，f′(x)>0.则f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))上单调递增，所以当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最小值，且最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1.函数y＝sinx在x＝eq\f(π,2)处取得最大值1，所以当x>0时，f(x)的图象与y＝sinx的图象的交点有且只有一个，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)).又f(x)和y＝sinx均为奇函数，所以依据对称性知当x<0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f(x)的图象与y＝sinx图象的交点个数为3，即函数g(x)＝f(x)－sinx的零点个数是3.故选C.6．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满意0<b<1<a，则n的值为________．解析：由题意得函数f(x)＝ax＋x－b为增函数，所以f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以函数f(x)＝ax＋x－b在(－1，0)内有一个零点，故n＝－1.答案：－17．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,\f(1,2)f（x－2），x>2，))则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的全部零点之和为________．解析：令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝eq\f(1,x)的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的大致图象，如图所示，由于y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6，6]上的全部零点之和为0，而当x＝8时，f(x)