2025年高考数学大题复习大题：圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（原卷）

专题11圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题

一、椭圆定点问题

1.已知圆E：(%+1)2+y2=16,点F(1,O),G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H

(1)求动点H的轨迹「的方程；

(2)经过点尸和7(7,0)的圆与直线/：x=4交于P,Q,已知点力(2,0),且力P、4Q分别与「交于M、N.试探究直

线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.

2.已知点4(2,0),B(一a―§在椭圆l(a>6>0)上.

(1)求椭圆M的方程；

(2)直线/与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于4B),过C作x轴的垂线分别交直线力于点P,Q,当P是CQ

中点时，证明.直线/过定点.

3.如图，椭圆。接+，=1(。>6>0)的左、右顶点分别为4,B.左、右焦点分别为尸1，F2,离心率为日,

点M(a,1)在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知尸，。是椭圆。上两动点，记直线/尸的斜率为心，直线80的斜率为的，的=2七.过点8作直线

尸。的垂线，垂足为〃.问：在平面内是否存在定点7,使得|7川为定值，若存在，求出点7的坐标；若不

存在，试说明理由.

22

4.已知椭圆C:%+£=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,A,B分别是C的右、上顶点，S.\AB\=V7,

。是C上一点，ABF?。周长的最大值为8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE过直线ZE,AD分别交直线x=-4于N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直

径的圆过定点.

5.已知椭圆。捻+，=1(。>6>0)的左顶点为力，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=川=3.

(1)求△力PQ的内心坐标；

⑵是否存在定点。，使过点。的直线咬C于M,N,交PQ于点R,且满足版•标=而•前？若存在，求出

该定点坐标，若不存在，请说明理由.

二、双曲线定点问题

6.已知点P(4,3)为双曲线l(a>0,6>0)上一点，E的左焦点％到一条渐近线的距离为旧.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于4,8两点，若直线E4,P8的斜率和为1,证明：直线y=kx+t

过定点，并求该定点的坐标.

7.双曲线。胃一r=l(a>0,6>0)的左顶点为4焦距为4,过右焦点尸作垂直于实轴的直线交C于B、D

两点，且△48。是直角三角形.

⑴求双曲线C的方程；

(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2,且MN的中垂线为直线I,是否存在半径为1的定圆E,

使得/被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.

8.已知双曲线。捺一/=l(a>0,b>0)的右焦点，右顶点分别为F,A,B(0,b),|明=1,点M在线段

上，且满足=b|M*，直线。M的斜率为1,。为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线I与双曲线C的右支相交于P,Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|-|FQ|=

|EQ|•[/PHI成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知双曲线。与双曲线《一号=1有相同的渐近线，且过点4(2夜,一1).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点D(2,0),E,尸是双曲线C上不同于。的两点，且反•而=0,DG1EF于点G,证明:存在定点区

使|GH|为定值.

10.已知双曲线c：/—，=1。＞0)的左、右焦点分别为B，F2,4是C的左顶点，C的离心率为2.设过尸2

的直线I交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线4P、AQ分别交直线x=2于M、N两点，证明：哂•福为定值;

(3)是否存在常数4,使得=442力/2恒成立？若存在，求出4的值；否则，说明理由.

三、抛物线定点问题

II.已知动圆M恒过定点F(0[),圆心M到直线y=—[的距离为d,d=|MF|+'

⑴求M点的轨迹C的方程；

(2)过直线y=K-1上的动点Q作C的两条切线匕/2,切点分别为48,证明：直线4B恒过定点.

12.已知抛物线的:/=2py(p>0)和圆。2：(%++产=2,倾斜角为45。的直线匕过J焦点，且匕与

相切.

(1)求抛物线Ci的方程；

(2)动点M在Q的准线上，动点4在的上，若的在点A处的切线G交V轴于点8,设丽=拓？+而，证明点N

在定直线上，并求该定直线的方程.

13.已知直线乙：久一y+1=0过椭圆C:―+巳=>0)的左焦点，且与抛物线My2=2p尤(p〉0)相

4b

切.

(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程；

(2)直线过抛物线M的焦点且与抛物线M交于4,3两点，直线OA,OB与椭圆的过右顶点的切线交于M,

N两点.判断以为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P,若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

14.在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,l),且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q

的轨迹为曲线匚

(1)求曲线r的方程；

(2)P为直线I：y=yo(M)<。)上一个动点，过点P作曲线「的切线，切点分别为4B,过点P作A8的垂线，

垂足为儿是否存在实数为，使点P在直线I上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求

出见的值，并求定点”的坐标.

15.已知抛物线C：y2=2p%(p>0),直线x+y+1=0与抛物线。只有1个公共点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线y=左卜一与与曲线。交于4,8两点，直线CM,08与直线x=1分别交于M,N两点，试判断

以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

四、椭圆定值问题

16.已知椭圆C：N+]=1(。>b>。)的离心率e=短■轴长为2V3.

(1)求椭圆C的方程；

⑵己知经过定点P(l,l)的直线/与椭圆相交于3两点，且与直线y=-"相交于点0,如果而=%点,

QB^liPB,那么4+4是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由.

17.在椭圆C：^2+p-=1(a>>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆「：/+y2=/+°2上，称

此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(l,当，

⑴求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M,作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N,若koM，岫N存在，证明：k0M-k0N

为定值.

18.已知。为坐标原点，定点尸式―1,0),F2(l,0),圆0:乂2+y=2,M是圆内或圆上一动点，圆。与以线段

尸2M为直径的圆。1内切.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)设M的轨迹为曲线E,若直线2与曲线E相切，过点出作直线，的垂线，垂足为N,证明：|0N|为定值.

19.设椭圆E：摄+《=19>6>0)过点叭鱼,1),且左焦点为F式-夜,0).

⑴求椭圆E的方程；

(224BC内接于椭圆E,过点P(4,l)和点力的直线2与椭圆E的另一个交点为点0,与BC交于点Q,满足

|布||而|=|而||而证明：APBC面积为定值，并求出该定值.

20.椭圆嗒+[=1的右焦点为尸(1,0),离心率为:

(1)求椭圆C的方程；

⑵过广且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM,PF,PN的斜率

成等差数列.

五、双曲线定值问题

21.在平面直角坐标系中，圆片：(久+2)2+产=4,F2(2,0),尸是圆％上的一个动点，线段的垂

直平分线/与直线PF1交于点记点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)过点B作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于4,8两点，线段的垂直平分线交x轴于点X,求证：

黑为定值.

尸2小

22.已知双曲线/一步=1的左、右顶点分别为出，A2,动直线/：y=kx+m与圆/+产=1相切，且

与双曲线左、右两支的交点分别为Pi(xi，%)，P2(x2>y2).

(1)求后的取值范围；

(2)记直线尸/出的斜率为股，直线上出的斜率为石，那么心电是定值吗？证明你的结论.

23.已知P是圆C:(久+2)2+产=12上一动点，定点M(2,0),线段PM的垂直平分线"与直线PC交于点T,记

点T的轨迹为C'.

⑴求C’的方程；

⑵若直线，与曲线C‘恰有一个共点，且2与直线=苧居L：y=-亨x分别交于力、B两点,△。48的面积是

否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

24.已知双曲线C：5一，=1(a〉0,b>0)的渐近线方程为丫=±焦距为10,&,42为其左右顶

点.

(1)求。的方程；

(2)设点P是直线心久=2上的任意一点，直线P&、P42分别交双曲线C于点M、N,A2Q1MN,垂足为Q,

求证：存在定点R,使得|QR|是定值.

25.已知％，尸2分别为双曲线。捻一，=l(a>0,b〉0)的左，右焦点，点P(2,2佝在C上，且双曲线C的渐

近线与圆刀2+y2_6y+8=0相切.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点外且斜率为人的直线咬双曲线C的右支于48两点，Q为乂轴上一点，满足|QA|=|QB|,试问

所十|普|一4是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

六、抛物线定值问题

26.已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点为F,准线为Z,过点F且倾斜角为方的直线交抛物线于点M在

第一象限)，MN1I,垂足为N,直线NF交x轴于点D,\MD\=4V3.

⑴求p的值.

(2)若斜率不为0的直线人与抛物线C相切，切点为G,平行于。的直线交抛物线C于P,Q两点，且NPGQ=],

点F到直线PQ与到直线匕的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

27.已知抛物线的:y=2Px(p>0)上一点Q(l,a)到焦点的距离为3.

⑴求a,p的值；

(2)设P为直线x=—1上除(—1,—百)，(—1,旧)两点外的任意一点，过P作圆。2：(无一2/+y2=3的两条切

线，分别与曲线的相交于点4B和C,D,试判断4B,C,。四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定

值；若不是，请说明理由.

28.已知点F是抛物线C：产=2px(p>0)的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交

y轴于。，E,\DE\=2V3.

(1)求抛物线C的方程；

⑵过(一1,0)作直线［与抛物线C交于4B,求际A+MB的值.

29.贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行

了图形化应用的测试，提出了"。金招私0算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画

出地物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线「:/=2py,其中

p>0为一给定的实数.

(i)写出抛物线r的焦点坐标及准线方程；

(2)若直线/:y=kx-2pk+2P与抛物线只有一个公共点，求实数k的值;

(3)如图，A,B,C是〃上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点。，E,尸，证明：喘=黑=黑.

30.已知点a为直线/：x+i=o上的动点，过点a作射线AP(点P位于直线2的右侧)使得力PLo),设

线段2F的中点为B,设直线PB与久轴的交点为T,PF=TF.

⑴求动点P的轨迹C的方程.

⑵设过点Q(0,2)的两条射线分别与曲线C交于点M,N,设直线QMQN的斜率分别为自也，若2+*=2,请

左1K-2

判断直线MN的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定

点.

七、椭圆定直线问题

31.椭圆£的方程为。+==1,左、右顶点分别为力(—2,0),B(2,0),点P为椭圆£上的点，且在第一象

4o

限，直线/过点P

⑴若直线/分别交X,y轴于C,。两点，若PD=2,求PC的长；

⑵若直线/过点(一1,0),力交椭圆£于另一点。(异于点/,B),记直线4P与直线BQ交于点试问点M

是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由.

32.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mGR).

(1)若曲线C是椭圆，求加的取值范围.

(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为/,3(点/位于点8的上方)，直线2:y=kx+4与曲线C交于不同

的两点M,N.设直线/N与直线3M相交于点G.试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若

不是，说明理由.

33.已知椭圆C:%+(=l(a>0,b>0)过点M(2半,g),且离心率为当.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l:y=x+ni与椭圆C交y轴右侧于不同的两点/,B,试问：△的内心是否在一条定直线上?

若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

34.已知椭圆0,+]=1(£1>b>0)过点(2(11),且离心率为去

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点P(l,2)的直线I交C于4、B两点时，在线段上取点M,满足|4P|•|MB|=MM|•|PB|,证明：点M

总在某定直线上.

35.椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为4(-2,0),8(2,0),点(1,连)在椭圆£

上.

⑴求椭圆£的方程.

⑵过点(一1,0)的直线/与椭圆E交于尸，0两点(异于点4B),记直线4P与直线30交于点试问点

M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.

八、双曲线定直线问题

36.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的

反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:。—5=l(b〉0)的左、右焦点分别为％、F2,从&发出的

40

光线经过图2中的48两点反射后，分别经过点C和。，且tanNC4B=—IAB1BD.

4

⑴求双曲线E的方程；

(2)设4、42为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P(4,0)的直线/与双曲线C交于M、N两点，试探究直线

与直线4的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由.

37.已知曲线C上的动点P满足|P%|-|PF2l=2,且尸1(一2,0),F2(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直线4B与C交于4、B两点，过4B分别做C的切线，两切线交于点P’.在以下两个条件①②中选择一个

条件，证明另外一个条件成立.

①直线2B经过定点”(4,0)；

②点P'在定直线x=；上.

4

38.已知点(2,3)在双曲线C。—悬=1上.

(1)双曲线上动点。处的切线交C的两条渐近线于48两点，其中O为坐标原点，求证：△力。B的面积S是定

值；

⑵已知点P6,l),过点P作动直线I与双曲线右支交于不同的两点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点H,

满足黑=黑，证明：点H恒在一条定直线上•

39.已知双曲线C。—，=1(”。，人＞。)经过点。(4,3),直线小A分别是双曲线。的渐近线，过。分别作。

和办的平行线。和1'2,直线八交%轴于点M,直线1'2交y轴于点N,且|OM|-|ON|=2次(。是坐标原点)

(1)求双曲线C的方程；

(2)设41、4分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点尸的直线交双曲线C于P、Q两个不同点，直线&P与4Q

相交于点G,证明：点G在定直线上.

40.已知双曲线Cr9=1((1>0/>0)的离心率为鱼，过点E(l,0)的直线/与。左右两支分别交于

N两个不同的点(异于顶点).

(1)若点P为