高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第一册)2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时)(分层练习)(原卷版+解析)

班级：姓名：日期：2.5.1直线与圆的位置关系1.（2022·河北衡水中学）已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（）A． B． C．2 D．2.（2022·河南高二月考）为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．3.（多选题）（2022·江苏省响水中学高二月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A． B． C． D．4.（2022·湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（）A． B．1 C．2 D．5.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]6.（2022·山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.

7.（2022·甘肃高二期末）圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.8.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,(1)求圆C的方程;(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.9.点在直线上,，与圆分别相切于A，B两点，O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．410.（多选题）（2022·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（）A．圆M上点到直线的最小距离为2B．圆M上点到直线的最大距离为3C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是11.（2022·湖北襄阳三中高二月考）如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约秒(精确到0.1).

12.已知点点在圆上运动，点为线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.13.已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.14.（2022·上海市金山中学高二期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.（1）求圆的方程；（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？班级：姓名：日期：2.5.1直线与圆的位置关系1.（2022·河北衡水中学）已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】圆圆心，则圆心直线的距离，要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，由图得：.故选A.2.（2022·河南高二月考）为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线上的点的最小距离，故选A．3.（多选题）（2022·江苏省响水中学高二月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()A． B． C． D．【答案】AB【解析】，所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形即，在直线上，圆心距，计算得到，故选AB.4.（2022·湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故选C.5.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]【答案】A【解析】设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤66.（2022·山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.

【答案】251【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=51,所以此时水面宽251m.7.（2022·甘肃高二期末）圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】把圆的方程化为标准式为，所以圆心坐标为，半径则圆心到直线的距离，由题意得，即，即解得：或，即实数的取值范围为.8.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,(1)求圆C的方程;(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.【解析】(1)依题意知:圆C的半径r=|OA|圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=|3+∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.9.点在直线上,，与圆分别相切于A，B两点，O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．24 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】因为切线，的长度相等，所以四边形PAOB面积为的面积的2倍．因为，所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求的最小值．当取最小值时，取最小值．的最小值为点P到直线的距离.因为圆的圆心坐标为，半径为．进而可求切线的长度的最小值，最小值为．可求四边形PAOB面积的最小值．10.（多选题）（2022·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（）A．圆M上点到直线的最小距离为2B．圆M上点到直线的最大距离为3C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，所以点到直线的距离为，所以圆M：，对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选ACD.11.（2022·湖北襄阳三中高二月考）如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约秒(精确到0.1).

【答案】4.4【解析】以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得|2.5t-202-t+10|1+(20-2.5t20)212.已知点点在圆上运动，点为线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.【解析】（1）因为点是的中点，，即又，即.所以点的轨迹方程为.（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.圆心到直线的距离.所以点到直线的距离的最大值为，最小值为.13.已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【解析】（1）设圆的方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为（2）如图四边形的面积为即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.14.（2022·上海市金山中学高二期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在