高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类(原卷版+解析)

考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类考点一平面的概念及基本性质考点二证明“点共面”、“线共面”考点三证明“点共线”及“线共点”考点四平面基本性质的应用考点五判断两条直线的位置关系考点六等角定理考点七异面直线所成的角考点八空间直线与平面位置关系判断考点九平面与平面位置关系的判断1.平面的几个特点平面是平的；平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的2.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．3.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外AlA在α内A∈αA在α外Aαl与m平行l

//

ml，m相交于Al∩m＝Al与m异面l在α内l⊂αl与α平行l

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα与β平行α

//

β4.平面的基本性质(1)基本性质基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α确定平面；判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l判定两平面相交；判定点在直线上(2)基本事实1与2的推论推论文字语言图形语言符号语言作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α（1）判定若干条直线共面的依据（2）判定若干平面重合的依据（3）判定几何图形是平面图形的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α5.证明点、线共面、点共线、线共点问题的常用方法证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．要证明点共线问题(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．6.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．7.判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.8.证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．9.证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；10.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系位置关系图形符号共面情况公共点个数共面直线相交直线在同一个平面内1平行直线a∥b在同一个平面内0异面直线不同在任何一个平面内0(2)空间中直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点个数无数个10图形表示符号∥当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.(3)空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面相交两个平面平行公共点个数有一条公共直线0符号表示α∩β＝aα∥β图形表示11.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．12.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．13.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.14.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．15.判定或证明两直线异面的常用方法：(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线．（证明两条直线既不平行又不相交．)(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．(3)推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线．(4)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.16.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立．17.直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.18.平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．19.常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.20.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．(2)范围：.21.求异面直线所成的角的方法(1)求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．(2)向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝.考点一平面的概念及基本性质1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽为20m；③平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为______．2．（2023春·高三课时练习）下面说法中正确的是（

）A．任何一个平面图形都是一个平面B．平静的太平洋面是平面C．平面就是平行四边形D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面3．（2023·全国·高三对口高考）一个平面把空间分为__________部分；两个平面把空间分为__________部分；三个平面把空间分为__________部分．4．（2023·高三课时练习）已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个．5．（2023·高三课时练习）一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.考点二证明“点共面”、“线共面”6．（2023·全国·高三对口高考）给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________．7．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线共面 B．直线与直线异面C．直线与直线共面 D．直线与直线异面9．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（

）A．三点共线 B．四点异不共面C．四点共面 D．四点共面10．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，E、F分别是、上的点，并且．求证：B、E、、F共面．

11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为________．12．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.13．（2023·广东·高三专题练习）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；(2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值.14．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（

）A．与共面；B．三棱锥的体积跟的取值无关；C．当时，；D．当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为．考点三证明“点共线”及“线共点”15．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．

16．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（

）A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上17．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．18．（2023·全国·高三对口高考）已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线．19．（2023·全国·高三对口高考）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：（1）D，B，E，F四点共面.（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.22．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱中，O为的中点，且点E既在平面内，又在平面内．

(1)证明：；(2)若，，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理由），并求线段的长．23．【多选】（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（

）

A．，，三点共线 B．异面直线与所成的角为C．点到平面的距离为 D．过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为24．（2023·青海西宁·统考二模）如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（

）A．A，M，O三点共线B．的长度为1C．直线与平面所成角的正切值为D．的面积为25．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．426．（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点，若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.27．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点．28．（2023·全国·高三专题练习）如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（

）A．直线，有可能平行B．直线，一定异面C．直线，一定相交，且交点一定在直线上D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为，，，的中点，且．(1)证明：直线，，交于一点；(2)设直线，，交于点，记关于平面的对称点为，求二面角的正弦值．考点四平面基本性质的应用30．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形31．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（

）

A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值32．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

33．（2023·高三课时练习）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．34．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（

）A． B． C． D．35．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.考点五判断两条直线的位置关系36．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（

）A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．a，b一定是异面直线38．（2023·广东·高三专题练习）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（

）A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D．直线c与平面可能平行39．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（

）A． B．面C． D．面40．（2023·全国·高三对口高考）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）与平行；（2）与是异面直线；（3）与成角；（4）与垂直.以上四个命题中，正确的命题的序号是：_________．41．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面42．（2023·上海·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（

）A．直线直线CD B．直线直线EDC．直线直线PQ D．直线平面43．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（

）A．直线平面B．直线与是异面直线C．直线与可能垂直D．若，则二面角的大小为考点六等角定理44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（

）A．平行于同一条直线的两条直线必平行B．垂直于同一条直线的两条直线必平行C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补45．（2023·全国·高三对口高考）下列说法中，正确的是__________．①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；④若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是相交或异面．46．（2023·高三课时练习）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则______．考点七异面直线所成的角47．（2023·全国·高三对口高考）如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：①与所在直线平行；②与所在直线异面；③与所在直线互相垂直；④与所在直线成角是．以上四个命题中，正确命题的序号是（

）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④48．（2023·贵州遵义·统考三模）在长方体中，，连接AC，，则（

）

A．直线与平面ABCD所成角为B．直线与平面所成角为C．直线与直线所成角为D．49．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．50．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.51．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱的棱长均相等，E是的中点，则异面直线与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．52．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．53．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．54．（2023·江西抚州·统考模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（

）A． B． C． D．55．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在三棱锥中，，M在内，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．56．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）在长方体中，与和所成的角均为，则下面说法正确的是（

）A． B．C． D．57．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．

考点八空间直线与平面位置关系判断58．（2023·浙江·统考二模）已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（

）．A．存在直线，使 B．存在直线，使C．存在直线，使l，m相交 D．存在直线，使l，m所成角为59．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（

）A． B．C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于60．（2023·广西·校联考模拟预测）在三棱倠中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（

）A．直线 B．平面 C．平面 D．平面61．（2023·河北石家庄·统考三模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则62．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，若，则C．若，、分别与、所成的角相等，则D．若m//α，m//β，，则考点九平面与平面位置关系的判断63．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）已知平面，，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件64．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件65．（2023·山东日照·三模）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件66．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则67．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（

）A． B．C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH68．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类考点一平面的概念及基本性质考点二证明“点共面”、“线共面”考点三证明“点共线”及“线共点”考点四平面基本性质的应用考点五判断两条直线的位置关系考点六等角定理考点七异面直线所成的角考点八空间直线与平面位置关系判断考点九平面与平面位置关系的判断1.平面的几个特点平面是平的；平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的2.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．3.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外AlA在α内A∈αA在α外Aαl与m平行l

//

ml，m相交于Al∩m＝Al与m异面l在α内l⊂αl与α平行l

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα与β平行α

//

β4.平面的基本性质(1)基本性质基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α确定平面；判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l判定两平面相交；判定点在直线上(2)基本事实1与2的推论推论文字语言图形语言符号语言作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α（1）判定若干条直线共面的依据（2）判定若干平面重合的依据（3）判定几何图形是平面图形的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α5.证明点、线共面、点共线、线共点问题的常用方法证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．要证明点共线问题(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．6.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．7.判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.8.证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．9.证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；10.空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系位置关系图形符号共面情况公共点个数共面直线相交直线在同一个平面内1平行直线a∥b在同一个平面内0异面直线不同在任何一个平面内0(2)空间中直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点个数无数个10图形表示符号∥当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.(3)空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面相交两个平面平行公共点个数有一条公共直线0符号表示α∩β＝aα∥β图形表示11.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．12.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．13.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.14.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．15.判定或证明两直线异面的常用方法：(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线．（证明两条直线既不平行又不相交．)(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．(3)推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线．(4)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.16.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立．17.直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.18.平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．19.常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.20.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．(2)范围：.21.求异面直线所成的角的方法(1)求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．(2)向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝.考点一平面的概念及基本性质1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m，宽为20m；③平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为______．【答案】1【分析】根据平面的定义判断．【详解】平面是无限延展的，没有长度、厚度，通常用平行四边形表示平面，但平面不是平行四边形．题中只有③正确．故答案为：1．2．（2023春·高三课时练习）下面说法中正确的是（

）A．任何一个平面图形都是一个平面B．平静的太平洋面是平面C．平面就是平行四边形D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面【答案】D【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.故选：D.3．（2023·全国·高三对口高考）一个平面把空间分为__________部分；两个平面把空间分为__________部分；三个平面把空间分为__________部分．【答案】或或或或【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可；【详解】一个平面把空间分为部分；两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分，故两个平面将空间分成或部分；当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示；当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示；当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示；当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示；当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示；综上可得三个平面把空间分为或或或部分.

故答案为：；或；或或或4．（2023·高三课时练习）已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个．【答案】1或无数【分析】根据三点的位置关系，结合确定平面的依据，即可判断.【详解】当三点A、B、C不共线时，则经过三点的平面有1个，当三点A、B、C共线时，则经过三点的平面有无数个.故答案为：1或无数5．（2023·高三课时练习）一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.【答案】4【分析】分情况讨论每种可能的结果，最后再取最多的那个即可.【详解】(1)如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线平行，可确定1个平面；如果直线外三点共线,且所在直线与已知直线相交,可确定1个平面；(2)如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线异面，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线平行，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线相交，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面,第三条与已知直线相交，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，一条与已知直线均异面，其它两条与已知直线相交，可确定3个平面；(3)如果直线外三点不共线，且任意两点所在直线与已知直线均异面，可确定4个平面；综上所述，最多可确定4个平面.故答案为：4考点二证明“点共面”、“线共面”6．（2023·全国·高三对口高考）给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________．【答案】①②④【分析】根据平面的基本性质，逐项判断选项即可得出结论.【详解】对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；对于②，不妨设，，，，则、唯一确定一个平面，所以，，所以，又，，所以，所以，又，，所以，故三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面，所以②正确；对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；对于④，因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，所以由直线在平面内的判定性质知满足条件的第四条直线必在该平面内，故④正确．综上①②④正确．故答案为：①②④．7．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.故选：A.8．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线共面 B．直线与直线异面C．直线与直线共面 D．直线与直线异面【答案】ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.9．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（

）A．三点共线 B．四点异不共面C．四点共面 D．四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线,再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上,同理判断,即可判断各选项的正误.【详解】因为,则四点共面.因为,则平面,又平面,则点在平面与平面的交线上,同理,也在平面与平面的交线上,所以三点共线;从而四点共面,都在平面内，而点B不在平面内，所以四点不共面，故选项B正确；三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即四点不共面，故选项C错误；，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面，故选项D正确.故选:C.10．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，E、F分别是、上的点，并且．求证：B、E、、F共面．

【答案】证明见解析【分析】根据正方体的性质以及已知，，.然后结合图象，即可得出，进而得出，即可得出结论.【详解】

如图，连结.根据正方体的性质可知，，，.又因为，所以，.因为，显然不共线，所以，所以，B、E、、F共面．11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为________．【答案】【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得，取，根据平行关系可得//，进而可知点即为直线与平面的交点，即可得结果.【详解】∵，所以，分别过作，垂足分别为，分别过作，垂足分别为，可得均为平行四边形，则，过点作//，交直线于点，则，可得，即，在上取点，使得，∵//，//，则//，可知：//，，即为平行四边形，∴//，，又∵为平行四边形，则//，，可得//，，故为平行四边形，则//，又∵//，则//，即四点共面，故点即为直线与平面的交点，∴.故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及性质定理分析判断.12．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.【答案】/【分析】将四棱锥补为三棱柱，由求解.【详解】解：如图所示：补全四棱锥为三棱柱，作，且，因为ABCD为平行四边形，所以，则，且，所以四边形和四边形都是平行四边形，因为N为中点，则延长AN必过点E，所以A，N，E，H，M在同一平面内，因为，所以，又因为M是棱上靠近点D的三等分点，所以，则，故答案为：13．（2023·广东·高三专题练习）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；(2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明即可证得，，，四点共面，根据，证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）在图2中，由题意得，所以，所以图2中的，，，四点共面，由已知得，又平面，所以平面，又因平面，所以平面平面；（2）连接，在菱形中，，则为等边三角形，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.14．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（

）A．与共面；B．三棱锥的体积跟的取值无关；C．当时，；D．当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为．【答案】ABD【分析】对于选项A：可得，可判断；对于选项B：点到平面的距离为定值，且的面积为定值可判断；对于选项C：分别求出的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对于选项D：先将过，，的截面分析做出，再求周长可判断.【详解】对选项A：在中，因为，为，的中点，所以，所以与共面，所以A正确；对选项B：由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；对选项C：当时，,可得，，取的中点分别为，连接,则在直角三角形中,则，所以不成立，所以C不正确．对选项D：当时，取,连接,则,又所以所以共面,即过，，三点的正方体的截面为，由,则是等腰梯形,且所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；故选：ABD．考点三证明“点共线”及“线共点”15．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．

【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论.【详解】O是中点，则O是中点，故平面，与截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交线上.故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线.16．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（

）A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上【答案】B【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．【详解】如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．故选：B．17．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正确.对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.故选：C18．（2023·全国·高三对口高考）已知在平面外，三边、、所在的直线分别与平面交于．求证：共线．【答案】证明见解析【分析】推导出都在平面与平面的交线上，即可证明.【详解】∵，∴，平面.又平面，∴平面.∴由基本事实3可知：点在平面与平面的交线上，同理可证也在平面ABC与平面α的交线上,∴共线.19．（2023·全国·高三对口高考）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，可得以及，所以，进而得出四点共面；（2）因为是平面和平面的交线，只需证明点是平面和平面的交点，即可证得，进而得到三点共线.【详解】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以.在中，因为，所以，所以，所以.所以E，F，G，H四点共面.（2）因为，所以.由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC.所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面平面，所以，所以P，A，C三点共线.20．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证；（2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证【详解】（1）证明：连接，，正方体中，E，F分别是的中点，∴且，∵且，∴且，∴EC与相交，设交点为P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P为两平面的公共点，∵平面平面，∴，∴三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，则FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：（1）D，B，E，F四点共面.（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）求证EF∥BD，再由两条平行线可以确定平面即可求证；（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.【详解】（1）连接B1D1，如下图所示：

因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面.即证.（2）因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因为A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三点共线，即证.【点睛】本题考查空间中四点共面，三点共线的问题，只需熟练掌握和应用公理即可.22．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱中，O为的中点，且点E既在平面内，又在平面内．

(1)证明：；(2)若，，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理由），并求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)取CD的中点F，连接AF，H为AF的中点，理由见解析，【分析】（1）由基本事实3可证；（2）先找到点在底面ABCD内的射影F，由线面垂直的性质定理，可得，则可在中可求解.【详解】（1）证明：连接．在正四棱柱中，，则A，，，D四点共面，所以平面．因为侧面为矩形，且O为的中点，所以，所以O为平面与平面的一个公共点，所以平面平面，即平面平面，故．（2）取CD的中点F，连接OF，AF，则H为AF的中点．理由如下：因为F，O分别为CD，的中点，所以．在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD内的射影为H．因为底面ABCD，所以．因为，所以．

23．【多选】（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（

）

A．，，三点共线 B．异面直线与所成的角为C．点到平面的距离为 D．过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD【分析】通过证明，，三点都是平面与平面的公共点，可知A正确；利用线面垂直的判定与性质可证异面直线与所成的角为，可知B不正确；通过证明平面，得的长度就是点到平面的距离，计算的长度可知C正确；取的中点，可得等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，计算等腰梯形的面积可知，D正确.【详解】因为为底面的中心，所以为和的中点，则，，因为平面，平面，所以平面，平面，所以点是平面与平面的公共点；显然是平面与平面的公共点；因为交平面于点，平面，所以也是平面与平面的公共点，所以，，三点都在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A正确；因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即异面直线与所成的角为，故B不正确；根据证明的方法，同理可得，因为，平面，所以平面，则的长度就是点到平面的距离，显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1，所以正三角形的边长为，所以，又，所以，即点到平面的距离为，故C正确；取的中点，连，，，，因为，所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：

因为，，，所以等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确.故选：ACD24．（2023·青海西宁·统考二模）如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（

）A．A，M，O三点共线B．的长度为1C．直线与平面所成角的正切值为D．的面积为【答案】C【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断D.【详解】对于A，连结，则，四点共面，平面，，平面，又平面，在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上.三点共线，故A正确：对于B，设直线与平面的交点为，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，为中点，为中点，同理可得为的中点，，故B正确；对于C，取中点，连接，，平面，则即为直线与平面所成角，又平面平面，故即为直线与平面所成角，又，，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：C25．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依题意可得且，且，即可得到平面，再判断与为相交直线，即可判断②③，由四边形为梯形，所以与必相交，设交点为，即可得到，从而判断④；【详解】解：因为，所以且，又分别为的中点，所以且，则，又平面，平面，所以平面，因为为的中点，为的一个三等分点，所以与为相交直线，故与平面必不平行，也不平行平面，因为为梯形，所以与必相交，设交点为，又平面，平面，则是平面与平面的一个交点，所以，即直线交于一点，故选：B.26．（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点，若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.【答案】证明见解析【分析】先证明点在直线上，再利用直线在平面内可得点在平面内，再利用公理3可证得结论.【详解】因为EH与FG相交于点K，所以K∈EH，因为EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.27．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角形的中位线证明，从而得到四点共面；（2）根据平面的性质，证明点P∈平面ABCD，点P∈平面ADD1A1平面，从而证明CE，D1F，DA三线共点.【详解】（1）证明：如图所示，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EF∥BA1.又A1B∥D1C，EF∥CD1，E，C，D1，F四点共面．（2）证明：EF∥CD1，EF<CD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，P∈直线DA，CE，D1F，DA三线共点．【点睛】本题主要考查点共面，线共点的证明，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.28．（2023·全国·高三专题练习）如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（

）A．直线，有可能平行B．直线，一定异面C．直线，一定相交，且交点一定在直线上D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上【答案】C【分析】由已知可得四边形为平面四边形，且，，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】解：，，，则，且，又，，，则，且，，且，四边形为平面四边形，故直线，一定共面，故错误；若直线与平行，则四边形为平行四边形，可得，与矛盾，故错误；由，且，，，可得直线，一定相交，设交点为，则，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，，即直线，一定相交，且交点一定在直线上，故正确，错误．故选：．29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，分别为，，，的中点，且．(1)证明：直线，，交于一点；(2)设直线，，交于点，记关于平面的对称点为，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，得直线，相交，记，再证明即可；（2）根据≌得，进而得为棱中点，再，以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】（1）解：如图，连接，因为在长方体中，，，，分别为，，，的中点，所以，，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，，所以，直线，相交，记，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以，直线，，交于点.（2）解：由（1）知，所以≌，因为所以，所以关于平面的对称点为棱中点，所以，如图，以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由于，，所以，即，令得，设平面的一个法向量为，，由于，，所以，即，令得，所以，所以二面角的余弦值为，所以二面角的正弦值为，考点四平面基本性质的应用30．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】设分别为的中点，证明6点共面，为六边形，再证明此平面满足条件即可得解.【详解】如图，设分别为的中点，连接，，，，同理可得，，，共面，平面，平面，平面，同理可得平面，为的中点，到平面的距离与到平面的距离相等，即平面为所求的平面，故与正方体交线为正六边形.故选：D31．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（

）

A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值【答案】BC【分析】作出辅助线，得到平面，从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定值.【详解】将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体V，在上取一点，作，，再作，，，则六边形即为平面，

V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值.当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.

故选：BC32．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

【答案】【分析】利用已知作出截面，进而利用分割法即可求得以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积.【详解】延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面.因为，则，又因为，所以，即，解得，同理可得，则，，因为，所以，又，则，同理可得；所以，，，，，.故答案为：

33．（2023·高三课时练习）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．【答案】(1)图象见解析；(2)【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出；（2）利用三角形相似分别求出，即可求得.【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面．如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为.（2）由N为的中点，易得，所以，因为，所以，得，所以，，，所以，．所以．34．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得.【详解】延长交的延长线于，连接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直线即为直线，取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点，∴，∴，，∴，即.故选：B.35．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.【答案】【分析】根据已知条件及基本事实1中的推理2和基本事实3得到点M的区域，利用三角形相似及梯形的面积公式即可求解.【详解】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E，则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合，当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域，因为∽，所以，所以，所以.故答案为：.考点五判断两条直线的位置关系36．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（

）A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线【答案】D【分析】设直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，讨论点与点的位置关系即可求解.【详解】已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，

根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面，所以直线的位置关系是异面或相交.故选:D．37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．a，b一定是异面直线【答案】A【分析】对于选项A，利用线面平行的性质即可判断出结果的正误；对于选项BCD，利用长方体中的点线面的位置关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A，因为，，，所以，所以选项A正确；选项B，如图，在长方体中，取平面为平面，平面为平面，则，取直线为，直线为，显然有，，但与不垂直，所以选项B错误；选项C，如图，取平面为平面，平面为平面，则，取直线为，此时有，但，所以选项C错误；选项D，如图，取平面为平面，平面为平面，则，取直线为，直线为，此时，所以选项D错误.故选：A.38．（2023·广东·高三专题练习）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（

）A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D．直线c与平面可能平行【答案】C【分析】先由点，线，面的位置关系得到直线a，b，c必然交于一点，AB错误，C正确；再利用假设法推出D错误.【详解】ABC选项，因为，，，所以，因为，所以，所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；D选项，假设直线c与平面平行，假设直线c与平面α平行，由，可知，这与矛盾，故假设不成立，D错误.故选：C39．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（

）A． B．面C． D．面【答案】BC【分析】根据异面直线的定义可判断A；取为的中点，连接，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可判断B；由，为的中点，可判断C；取为的中点，连接，由线面垂直的性质定理和判定定理可得平面，，与为等边三角形矛盾可判断D.【详解】对于A，因为平面，平面，直线，平面，所以与是异面直线，故A错误；对于B，取为的中点，连接，所以，，又，，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以面，故B正确；对于C，因为，为的中点，所以，因为，所以，故C正确；对于D，若面，面，所以，因为四棱锥的所有棱长相等，所以底面是正方形，取为的中点，连接，所以，因为，平面，所以平面，平面，所以，又，所以，这与为等边三角形矛盾，故不垂直于平面，故D错误.故选：BC.

40．（2023·全国·高三对口高考）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，（1）与平行；（2）与是异面直线；（3）与成角；（4）与垂直.以上四个命题中，正确的命题的序号是：_________．【答案】③④【分析】把平面展开图还原成正方体，由异面直线的定义判断①；证得为平行四边形即可判断②；（或其补角）为与所成角，求解可判断③；由题意，，可得平面，即可判断④．【详解】把平面展开图还原成正方体，如图，由异面直线的定义可知，与是异面直线，故①错误；因为，，，所以且，则四边形为平行四边形，则，故②错误；因为，所以（或其补角）为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；因为平面，平面，所以，又，,平面，故平面，又平面，所以，则④正确．故答案为：③④．41．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面【答案】C【分析】当点和点重合时，可判断A；通过线面平行的判定定理，当点为线段的中点时，即可判断B；当点和点重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断C；直线PQ与另一条线所在的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断D.【详解】正方体中，易得平面，因为点在直线上，为线段的中点，当点和点重合时，平面，，故A正确；连接、，当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故B正确；平面，当点和点重合时，平面，所以直线和在同一平面内，故C错误；平面，平面，，所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以直线与直线是异面直线，故D正确；故选：C42．（2023·上海·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（

）A．直线直线CD B．直线直线EDC．直线直线PQ D．直线平面【答案】B【分析】由，，可得四边形和都为矩形，进而得到，，进而得证即可判断A；根据异面直线的定义即可判断