高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第一册)1.1.1空间向量及其线性运算(练案)原卷版+解析

班级：姓名：日期：《1.1.1空间向量及其线性运算》练案1.下列说法中正确的是（）A．若，则，的长度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形中，一定有2.（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（）A． B．C． D．3.（2022·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．34.（2022广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．5.（2022江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A． B．C． D．6.在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.7.化简eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝___________.8.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，用表示。9.（多选题）下列命题是真命题的是（）A．若，则的长度相等而方向相同或相反B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若两个非零向量与满足，则D．若空间向量，满足，且与同向，则10.已知空间向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D11.(多选题)若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则下列四个式子能得出M，A，B，C四点共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))12.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).13.试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立.14.如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))是否共面．班级：姓名：日期：《1.1.1空间向量及其线性运算》练案1.下列说法中正确的是（）A．若，则，的长度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形中，一定有【答案】B【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.综上可知,正确的为B2.（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】作出平行六面体的图像如图，可得，则A正确；，则B正确；C显然正确；，则D不正确.综上，正确的有ABC.3.（2022·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．4.（2022广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，在平行六面体中，，故选C.5.（2022江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选B.6.在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.【答案】【解析】因为，分别是的中点,所以,所以.7.化简eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝___________.【答案】eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c【解析】原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.8.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，用表示。【解析】连接,，，如图：，，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形，且，又为线段中点，在中，9.（多选题）下列命题是真命题的是（）A．若，则的长度相等而方向相同或相反B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若两个非零向量与满足，则D．若空间向量，满足，且与同向，则【答案】BC【解析】A.若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C.若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D.若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选BC.10.已知空间向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A，B，D三点共线.故选A.11.(多选题)若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则下列四个式子能得出M，A，B，C四点共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【答案】ABD【解析】对于选项A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，A符合；对于B，D选项，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，又有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，所以B，D符合；选项C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，即M，A，B，C四点不共面．12.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).【解析】如图所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).从而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.13.试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立.