高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册4.4.2 数学归纳法的简单应用 教案

第四章数列4.4数学归纳法4.4.2数学归纳法的简单应用一、教学目标1、正确理解数学归纳法原理，培养不完全归纳法下的归纳、猜想与证明思维体系；2、通过数学归纳法原理证明简单的猜想，如等式、不等式命题等.二、教学重点、难点重点：数学归纳法原理难点：数学归纳法原理的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】数学归纳法(mathematical

induction)（1）归纳奠基证明当时命题成立（2）归纳递推以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.由（1）（2）可知，命题对任何都成立.【用途】数学归纳法用于解决关于正整数的猜想与命题.（二）阅读精要，研讨新知【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3、例4（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）例2用数学归纳法证明：①证明：（1）当时，①式的左边，右边,

所以①式成立.（2）

假设当时，①式成立，即所以时，即当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.例3已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解：由，可得由可得，同理可得归纳上述结果，猜想①下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当时，①式的左边，右边,

猜想成立.（2）

假设当时，①式成立，即那么即当时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.例4设为正实数，为大于1的正整数，若数列的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法1：由已知可得当时，,由，可得；当时，,由，可得由此，我们猜想，当且时，.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）

当时，由上述过程知，不等式成立.（2）

假设当,且时，不等式成立，即，由，可得，所以于是所以，当时，

不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是当时，,由，可得；当时，,由，可得由此，我们猜想，当且时，.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）

当时，由上述过程知，不等式成立.（2）

假设当,且时，不等式成立，即，由，知所以又，所以所以，当时，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.设数列的前项和为,且对任意都有.（1）求；（2）猜想的表达式并予以证明.解：（1）由已知，当时，，所以.又.（2）猜想.下面用数学归纳法证明:①当时,，猜想正确；②假设当时,猜想正确,即,那么,即时,猜想也成立,由①②可知，猜想对任何都成立.2.已知的三个内角分别对应于三边，其中三边长都是有理数.（1）求证：是有理数；（2）求证：对任意正整数是有理数.解：（1）由为有理数及余弦定理知是有理数.（2）用数学归纳法证明和都是有理数.①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数.②假设当时，和都是有理数.当时，由，，由①和归纳假设，知和都是有理数.即当时，结论成立.由①、②可知，对任意正整数是有理数.3.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式成立．证明：（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立（2）假设时不等式成立，即那么，即时不等式也成立．由（1）（2）可知，对一切大于1的正整数不等式都成立.（四）归纳小结，回顾重点数学归纳法(mathematical

induction)（1）归纳奠基证明当时命题成立（2）归纳递推以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.由（1）（2）可知，命题对任何都成