2025高考数学一轮复习：等比数列 专项训练【含解析】

课时过关检测(三十一)

等比数列【原卷版】

1.等比数列｛。〃｝的前n项和S“=32"-i+r,则r=()

A.|B.

C.gD.

2.在各项均为正数的等比数列｛。"｝中，的=2—色，°5=也+1，贝!J+2«2«6+«3«7

=()

A.1B.9

C.5g+7D.3^2+9

3.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著

述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶

到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为

()

A.3B.6

C.96D.192

4.S”为正项等比数列｛斯｝的前〃项和，若。3。5=256,。4。6=1024,贝锻=()

A.2"—1B.2~2l~n

C.2—2「1D.2广"一1

5.已知数列｛a〃｝为等比数列，函数y=loga(2x—1)+2过定点(ai，㈤，bn=\og2an,数

列｛勿｝的前〃项和为S”,则Sio=()

A.44B.45

C.46D.50

6.(多选)设等比数列｛小｝的前"项和为S”且满足“6=8“3，贝!1()

A.数列｛斯｝的公比为2

B.数列｛斯｝的公比为8

C.探=8

D.f=9

03

7.（多选）设｛诙｝是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）

A.1白是公比为日的等比数列

B.｛“2”｝是公比为4的等比数列

C.｛2斯｝是公比为4的等比数列

D.｛诙斯+1｝是公比为2的等比数列

8.实数10,«1,“，7,40成等比数列，则如.

9-.若数列｛。〃｝的首项6=2,且斯+1=3诙+2562）.令b"=log3（a“+l）,则61+62+

63HF&loo—•

10.S”为等比数列｛诙｝的前〃项和，已知。4=9°2，$3=13,且公比q>0.

（1）求斯及必；

（2）是否存在常数九使得数列｛S.+%｝是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请

说明理由.

11.若数列｛%｝满足。”+尸3厮+2,则称｛以｝为“梦想数列”，已知正项数列依一“为

“梦想数列”，且61=2,则父=（）

,2r2

A-81B-27

C.gD.

12.《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，

莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一

天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天

数是（结果精确到0.L参考数据：1g2=0.30,1g3=0.48）（）

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

13.（多选）设等比数列｛诙｝的公比为q,其前见项和为前〃项积为G，并满足条件

6Z1>1,a2019a2020>1,_[<0,下列结论正确的是（）

«2020—I

A.S2019Vs2020

B.。2019。2021-1<0

C.T2020是数列｛%｝中的最大值

D.数列｛7；｝无最大值

14.已知数列｛斯｝为等比数列，若数歹！］｛3"—为｝也是等比数列，则数列｛斯｝的通项公式

可以为.(写出一个即可)

15.在①§3=17；②Si+S=4；③S=4SI这三个条件中任选一个，补充到下面的横线

上，并解答相应问题.

已知数列｛SJ满足S言0,且S“+i=3S,+2.

(1)证明：数歹U｛&+1｝为等比数列；

(2)若,是否存在等比数列｛④｝的前“项和为S”？若存在，求｛斯｝的通项公式；

若不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

16.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律

公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻

两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中m，痣，…，03表示这些半音的频率，

它们满足1。82券)12=1"=1,2,…，12).若某一半音与D#的频率之比为颤，则该半音为

()

频率a\"2的4445〃6an"8ag410anai2〃13

c(A

半音Cc#DD#EFF#GG#AA#B

度)

A.F*B.G

C.G#D.A

17.某新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底

资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始,

每年年底各项人员工资、税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设

第n年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为斯万元，第机(%GN*)年年底企业的剩余

资金超过21000万元，则整数机的最小值为.(1g2^0.3010,1g3Po.4771)

课时过关检测(三十一)

等比数列【解析版】

2.等比数列｛〃〃｝的前〃项和5〃=32〃一】+r,则r=()

A.|B.

C.§D.—g

2n12n32n32

解析：B当〃=1时，ai=Si=3+r；当〃22时，an=Sn~Sn-1=3--3-=3-(3

QQ1

-1)=8・32"-3=8.32"-2.3-1=]gm,所以3+厂=§,即厂=一§,故选B.

2.在各项均为正数的等比数列｛a〃｝中，＜23=2—取,°5=陋+1，贝U。1。5+2々2a6+。3。7

=()

A.1B.9

C.5^2+7D.3^2+9

解析：B因为｛斯｝为各项为正的等比数列，的=2—W，。5=也+1,所以。1。5+2°2。6

+。3。7=届+2。3a5+底=(的+a5)2=(2—也+也+1)2=9,故选B.

3.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著

述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶

到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为

()

A.3B.6

C.96D.192

解析：C根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设

塔顶灯盏数为则有$7=华匕3=381,解得。1=3,从塔底数第二层灯的盏数为恁=

41^5=3X25=96,故选C.

4.S〃为正项等比数列｛诙｝的前〃项和，若的的=256,〃4。6=1024,则9=()

A.2n-lB.2~2l~n

C.2—2〃-1D.21-n-l

侬=256,“4=16,|〃i=2,

解析：B由〃3。5=256,〃4〃6=1024,得j又a>0

[d=l024.nf的=32,]〃=2,

S2（2〃一1）

，恁=2",S〃=2（2〃一1）,办'=2_2L〃,故选B.

Cln乙

5.已知数列｛斯｝为等比数列，函数y=loga（2x—1）+2过定点（的，〃2），为=log2斯，数

列｛为｝的前〃项和为s〃,则810=（）

A.44B.45

C.46D.50

解析：B•・•函数y=log，2x—1)+2过定点(1,2),・・.s=l,z=2,・••等比数列｛斯｝的

公比4=2,斯=2〃一I.♦.儿=log2〃〃=〃-l,又数列｛。〃｝的前〃项和为则Sio=l°X2+9)

=45,故选B.

6.(多选)设等比数列｛诙｝的前〃项和为冬，且满足期=8的，贝1()

A.数列｛诙｝的公比为2

B.数列｛为｝的公比为8

解析：AD因为等比数列｛诙｝的前"项和为且满足恁=8的，所以詈="3=8,解

得4=2,所以/=]=l+q'=9.故选A、D.

7.(多选)设｛斯｝是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有()

A.小是公比为与勺等比数列

B.伍2"｝是公比为4的等比数列

C.｛2〃｝是公比为4的等比数列

D.｛a〃a“+i｝是公比为2的等比数列

解析：AB由于数列｛斯｝是公比为2的等比数列，则对任意的“GN*,a„^0,且公比

口八+1

为q==2.

On

1

对于A选项，竿=0=：=*即数列是公比为J的等比数列，A选项正确;

1an+\q2[an)2

an

对于B选项，噎『2=4,即数列*2〃｝是公比为4的等比数列，B选项正确;

对于C选项，筌i=q=2,即数列｛2斯｝是公比为2的等比数列，C选项错误;

对于D选项,如上皿=%=q2=4,即数列｛°a+i｝是公比为4的等比数列，D选项

。八+14八

错误.故选A、B.

8.实数10,机，n,f,40成等比数列，则机加=.

解析：因为实数10,优，40成等比数列，所以皿="2=400,因为〃>0,所以〃=

20,所以〃W=8000.

答案：8000

9-.若数列｛a〃｝的首项ai=2,且斯+i=3a”+2(aGN*).令-=log3(a”+l),则仇+岳+

63HFZ?ioo~•

解析：由。喈］=3a”+2(〃dN*)可知a〃+i+l=3(a〃+l),因为ai+l=3,所以数列｛呢+

1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以诙+1=3",所以劣=log3(即+1)="因此加

,,,,100X(1+100)

+历+人3+…+bioo=5=5050.

答案：5050

10.S”为等比数列｛小｝的前几项和，已知。4=9Z，8=13,且公比q>0.

⑴求斯及S”；

(2)是否存在常数九使得数列｛S.+储是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请

说明理由.

ai/=9aiq,

解：(1)易知qWl,由题意可得〈曳匕"=13,解得m=l,q=3,

。0,

1-3〃3n-l

・・=n1

an3,Sn~1一3一2

⑵假设存在常数九使得数歹I｛*+2｝是等比数列,

;Si+2=2+l,S2+A=2+4,53+4=2+13,

.,.(2+4)2=a+l)(2+13),解得;1=2,

115„+i+1呆3"+|

此时£+5=5x3〃，贝U厂=-i=3,

X3

Sn+^2"

故存在常数4宗使得数列卜+3是以1为首项，3为公比的等比数列.

11.若数列｛。“｝满足诙+1=3诙+2,则称｛诙｝为“梦想数列”，已知正项数歹!J，^一1｝为

“梦想数列”，且加=2,则d=()

22

A-8lB-27

C』D1

J8u,4

解析：B若.一1｝为“梦想数列”，则有£—1=3值一1)+2,即十一1=a一1,

即誓且"=2,所以数列｛6〃｝是以2为首项，以W为公比的等比数列.则久=2义自3

2

=方，故选B.

12.《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，

莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一

天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天

数是(结果精确到0.1.参考数据：1g2=0.30,1g3=0.48)()

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

解析：C设蒲的长度构成等比数列｛斯｝,其首项的=3,公比为求其前〃项和为莞

,、、30-

的长度构成等比数列｛为｝,其首项6=1,公比为2,其前〃项和为则4=-------j—,

1-2

2〃一1%1一列2〃一1io30

B〃=2_],由题意可得5Xj=2_]，解得2"=30或2"=1(舍去).n—log230—2

「1-2—

1g3+11.48“0兴、­

=%万一24.9.故选C.

13.(多选)设等比数列｛诙｝的公比为q,其前见项和为S”前〃项积为G，并满足条件

(11>1,02019a2020>1>一°"_|<0,下列结论正确的是()

。2020—1

A.S2019<S2020

B.〃2019〃2021—1<0

C.T2020是数歹!l｛T"｝中的最大值

D.数列｛〃｝无最大值

解析：AB当q<0时，。2019。2020=〃3()194<0,此时〃2019〃2020>1不成立；当乡21时，

“2019>1,。2020>1,此时——7<。不成立；故。<4<1,且。2019>1,0<。2020<1,故$2020>S2019,

“2020—1

A正确；(2201902021—1—02020-1<0,故B正确；於019是数列｛4｝中的最大值，C、D错误.故

选A、B.

14.已知数列｛斯｝为等比数列，若数歹U｛3"—斯｝也是等比数列，则数列｛诙｝的通项公式

可以为.(写出一个即可)

解析：设等比数列｛为｝的公比为4，：数歹1｛3"—诙｝也是等比数列，...(32—014)2=(3—

GI)(33—aiq"),化简得q2—6q+9=0,解得q=3,取的=1,则a”=3"L

答案：&=3「1(只要公比为3的数列即可)

15.在①阳=17；②N+S2=4；③S=4SI这三个条件中任选一个，补充到下面的横线

上，并解答相应问题.

已知数列｛SJ满足S会0,且S〃+i=3S,+2.

(1)证明：数歹!I｛斗+1｝为等比数列；

(2)若,是否存在等比数列｛斯｝的前“项和为S”？若存在，求｛斯｝的通项公式；

若不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解:(1)证明：数列｛SJ中，S.20,且S"+i=3S“+2,

所以5n+l+l=3(Sn+l),

所以数列｛8+1｝是公比为3的等比数列.

(2)选择条件①，不存在.

因为$3=17,所以$3+1=18,

因为｛S.+1｝是公比为3的等比数列，所以(SI+1>32=18,

解得SI=1,所以S,+l=2X3"r,S„=2X3n-1-l.

,,-1

所以S,i+i=3S„+2=6X3-l,

斯+1=4义3”一1所以为=4-3「2(〃22),

因为41=1,不符合上式，

所以数列｛诙｝不是等比数列，所以不存在.

选择条件②，不存在.

因为｛S〃+l｝是公比为3的等比数列，所以S2+1=3(SI+1),

13

又SI+S2=4,得SI=1,所以Sz+l=]X3"-I

3—9

S〃=1X3〃—1一1,所以&+1=]乂3"一1一1,

所以斯+1=3",所以斯=3〃-1(几22),

因为〃1=3，不符合上式,

所以数列｛““｝不是等比数列，所以不存在.

选择条件③，存在.

因为｛S.+1｝是公比为3的等比数列，所以S2+1=3(S1+1),

又S2=4SI,得SI=2,所以S“+l=3",

S„=3n~l,所以S“+i=3X3”一1,

所以。“+1=2义3",所以斯=2乂3"-1(〃》2),

因为＜21=2,符合上式，

所以数列｛诙｝是等比数列，所以存在，此时诙=2X3"』.

16.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律

公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻

两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中的，。2,…，。13表示这些半音的频率，

它们满足1唯空12=1(=1,2,…，12).若某一半音与D#的频率之比为名,则该半音为

()

频率a\〃244"546。7〃9〃10awan〃13

c(A

半音CC*DD#EFF#GG#AA#B