2025年高考数学复习题型突破训练：函数的概念及其表示（解析版）

第01讲函数的概念及其表示

目录

第一部分：题型篇....................................................2

题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）...............2

题型二：重点考查函数定义域中的参数问题...........................5

题型三：重点考查求函数的解析式...................................7

题型四：重点考查分段函数求值及参数问题...........................9

题型五：重点考查分段函数单调性问题..............................11

题型六：重点考查分段函数不等式问题..............................14

题型七：重点考查分段函数值域问题................................18

题型八：重点考查分段函数零点问题................................20

第二部分：方法篇...................................................26

函数值域问题方法一：判别式法....................................26

函数值域问题方法二：分离常数法..................................28

函数值域问题方法三：基本不等式法................................30

函数值域问题方法四：分类讨论法..................................32

第三部分：易错篇...................................................35

易错一：换元必换范围............................................35

第一部分：题型篇

题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）

典型例题

例题1.（2023春・河北•高二统考学业考试）若函数/（x）的定义域是[0,4],则函数g（x）=£RD的定义域

X-1

是（）

A.{x|04xW2且xwl}B.{x[0<x<2且x/1}

C.{x|04x48且xwl}D.{x[0<x<8且xwl}

【答案】A

【详解】由函数“X）的定义域是[0,4],可得04x44,

从而042x44,解得04x42,所以函数/（2x）的定义域是[0,2]

又X-1H0,得xwl,函数g（x）=/R»的定义域是{x|0VxV2且xwl}

X-1

故选：A.

例题2.（2023春•广东河源•高一龙川县第一中学校考期中）求函数/（x）=Jl_2cosx+ln（sinx11j的定

义域为.

7T3冗

【答案】{x\-+2kK<x<—+2kn,keZ}

l-2cosx>0cosx<—

2

【详解】函数/（%）=J1-2cosx+ln（sin%——有意义，则<.后，即<

2sinx------->0.4i'

I2smx>——

1715兀

解cosx<—,得一+2E<x<----F2kn,keZ,

233

/DTT37rTT>TT

A?sinx>——，得一+2E〈x<-----\-2kit,ke.Z,于是一+2E<x<----卜2kn,keZ,

24434

Jr37r

所以所求定义域为{x|y+2kn<x<—+2ATE,keZ].

故答案为：{x|§+2析Wx<—^+2航，左EZ}

例题3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数、=/卜的定义域是[1,+向,则函数y=/（x）的定

\X+X—1）

义域是_______

【答案】。,2]

【详解】令g(x)=

则…十(X”

X

,.,y=x」在[l,+oo)上单调递增，x-->0,

X

\/(X)的定义域为(1,2].

故答案为：(1,2].

例题4.(2023•高一课时练习)已知函数，=〃》)的表达式/(月=，/一3依+2/,求函数J，=〃x)的定义

域.

【答案】答案见解析

【详解】注意到Y-3ax+2a2>0<4>1―2a)g—a)20

当a<0时，2a<a,(x-2a)(x-a)>0=>x<2a或xNa,得函数

定义域是(-°°,2a]u[a,+oo)；

当a=0时，(x-2a)(x-a)200一200尤eR,得函数定义域是R；

当a>0时，2a>0,1-2.)卜-4)20=%44或》22°,得函数

定义域是(-°°,。]O[2凡+00).

综上：当。<0时，函数定义域是(-°°,2a]Lj[a,+co)；

当。=0时，函数定义域是R；

当。>0时，函数定义域是(-℃,a]u[2a,+co).

精练核心考点

I.(2023・全国•高三专题练习)若函数/(x)的定义域为[0,6],则函数小”的定义域为

x-3

A.(0,3)B.[l,3)u(3,8]C.[1,3)D.[0,3)

【答案】D

【详解】函数/G)的定义域为[0,6].

由叱2烂6,解得0姿3.

又x-3邦，

所以函数/3的定义域为[0,3).

x-3

故选：D.

2.(2023・北京•校考模拟预测)函数/(对二炮口+口+」的定义域为

X-1

【答案】(-M)U(l,+s)

【详解】因为函数/(x)=lg(x+l)+—1

x-1

fx+1>0

则|八，解得X〉—1且XW1

所以函数的定义域为(-l,l)U(l,+s)

故答案为：(-l,l)U(l,+°o)

A/tanx-1

3.(2023春•辽宁沈阳・高一沈阳二中校考阶段练习)函数〉=-7—西的定义域为

tanx+一

I6j

【答案】kn+亍，kn+3u]kn+£,kn+JkGZ)

tanx>1

【详解】根据题意，得<tan[x+5|w0

兀71

X+—W—+kTt(kGZ)

62

析阮(左GZ)

兀

解得xw-石+阮(左EZ)

+矶左EZ)

所以函数的定义域为kn+|,^n+^|U^n+1,kn+^|eZ).

故答案为：kn+亍，kn+U[kn+£,kn+keZ).

Q-Lyy，

4.(2023・全国•高三专题练习)设“x)=lgf，则/(；)+/(3的定义域为

2—x2x

【答案】(-4,-1)U(1,4)

【详日单】由二>0得一2<x<2,

2-x

x2

故—2<—<2且—2<—<2,

2x

X2、

—2<一<2=z>—4<%<4,—2<—<2=z<x<—1x>1

2x

解得：xe(-4,-l)U(l,4).

故答案为：(-4,-l)U(l,4)

题型二：重点考查函数定义域中的参数问题

典型例题

例题1.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考期末）若函数/（无）=log3（。--尤+1）的定义域为R,

则实数”的取值范围为（）

A.（0，；）B.（0,1）C.［；,+<»

D.。,+8)

【答案】C

【详解】因为函数/（x）=10g3（妙2-X+1）的定义域为R,

所以a尤2-x+l>0在R上恒成立,

当Q=0时，一%+1〉0,得X<1,不合题意,

Ja〉0

当QW0时，则解得小,

1A=1-4a<0

综上实数a的取值范围为+s

故选：C

X

例题2.（2023•全国•高三专题练习）若函数/（X）=T^^=的定义域为R,则实数冽的取值范围是（）

7mx-x+2

B.一,+8

8

D.

8

【答案】B

%

【详解】由题意可知，函数〃x）=/2的定义域为R,

yjmx—x+2

所以不等式//一x+2>0在R上恒成立.

当机=0时，当x=4时，-4+2=-2<0,

所以不等式-尤+2>0在R上恒成立显然不成立,

m>0i

当“ZWO时，则满足L2,cc，解得机>X，

❖=（-l）-4x2xm<08

综上，实数机的取值范围是（g，+：|.

故选：B.

?r-3

例题3.（2023・全国•高三专题练习）若函数〃x）=/2的定义域为豚，则实数。的取值范围是

7ax+6zx+1

【答案】［0,4）

【详解】A'）的定义域是R,贝1」52+分+1〉0恒成立，

。=0时，ax2+。%+1=1>0恒成立，

［«>0

〃W0时，则，2/八，解得0<。<4,

［A=〃一4。<0

综上，0<a<4.

故答案为：［0,4）.

精练核心考点

1.（2023・高一课时练习）已知函数了=，1+/4,，若此函数的定义域为（-*1］，求实数”的取值范围.

【答案】a=-y

【详解】解：由题知1+4-4'20=>入4>2—1,由题意知。<0,则xWlogj—：）,

因为函数y=Jl+a.4”的定义域为（-8,1］

所以，10g4H=1,解得。=-；.

所以，。二一!

4

2.（2023・高一课时练习）若函数/»）=/21的定义域为R,则实数加的取值范围是

yjmx-6mx+m+8

【答案】［0,1）

【详解】：函数/'（无）=/,1的定义域为R,...mx2-6mx+〃7+8>O在R上恒成立，

71nx-6mx+m+8

①当用=0时，符合题意,

m>0...,.

②36m2-4m（m+8）<0,由36"（加+8）<0,则加（吵1）<0,解得：0<m<l,

综上所述0<zn<l,

故答案为：［0,1).

3.(2023・全国•高三专题练习)函数=——的定义域为(-8,+8),则实数。的取值范围是

ax+4ax+3

【答案】0京

【详解】因为函数〃尤)=^^一的定义域为R,所以加+43+3片0的解为R,

ax+4ax+3

即函数丁="2+4办+3的图象与X轴没有交点，

(1)当。=0时，函数>=3与x轴没有交点，故。=0成立；

-3

(2)当。片0时，要使函数>="2+4办+3的图象与》轴没有交点，则A=(4a)-12a<0,解得0<。<工.

综上：实数。的取值范围是0,：1

故答案为：o,；］

题型三：重点考查求函数的解析式

典型例题

例题1.(2023・高一课时练习)已知“«+1)=X+26,则/(x)的解析式为()

A./(x)=x2-1B.f(x)=x2-l(x>1)

C.f(x)~x2-l(x>1)D./(x)-x2-l(x>0)

【答案】C

【详角单】因为y(6+1)=x+26=(V^+]-i

令/=4+i(/2i),所以

所以/(力=尤2-1(港1)

故选：c.

例题2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(尤)满足2/(x)+《[=x,则/■⑵=()

A"B.1C.-D.2

26

【答案】c

2〃元)+/］卜

解得/(x)=与二7

【详解】由已知可得其中xwO,因此，/(2)=4.

2m何=。6

故选：C.

例题3.(2023・全国•高三专题练习)已知/[〃x)]=4x+9,且/(x)为一次函数，求〃x)=

【答案】2尤+3或-2尤-9.

【详解】因为〃龙)为一次函数，所以设f(x)=b+b(左70),

所以/[/(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=尸x+6(4+1),

因为/[〃x)]=4x+9,所以/1+6(>+1)=4%+9恒成立,

k2=4\k=2\k=-2

所以八〃no'解得：L2或八o-

6(左+1)=9[6=3[b=-9

所以/■(x)=2x+3或仆)=-2工-9,

故答案为：2%+3或-2x-9.

例题4.(2023春呐蒙古呼和浩特•高一统考阶段练习)(1)已知〃x+l)=2x-3,求/(x)的解析式;

(2)已知/@)+3/(—)=尤3+/-2苫，求〃x)的解析式.

【答案】(1)/(x)=2x-5；(2)/(x)=-^x3+^-x2+^

【详解】⑴令f=x+l,则x=I,故/⑺=2«-1)-3=2-5,

所以〃X)=2A5；

(2)由题设/(一刈+3/(%)=-炉+/+2》①，结合/(尤)+3/(-尤)=x3+x2-2x②,

3x①-②得：8/(x)=-4x3+2x2+8x,故/(x)=-；/+：/+》.

精练核心考点

1.(2023・高一课时练习)若〃4-l)=x+4+l,则/(x)的解析式为()

A./(x)=x2+x+l(x>-l)B./(x)=x2-l(x>-1)

C./(x)=x2+3x+3(x>-1)D./(x)=(x-l)2(x>-1)

【答案】C

【详解】解：已知/(«-l)=X+«+l,

令/=4-i2-i，则6=1+1>x=(；+1)',

.-./(Z)=(Z+l)2+?+l+l=Z2+3f+3(?>-l),

f(x)=x2+3x+3(x>-1).

故选：c.

2.(2023•全国•高三专题练习)已知了(2X-1)=/+工一1求/(x)的解析式

【答案】/(幻=厂+：-1

【详解】令2x-l=f,贝!]x=,代入/(2x-l)=x?+x-l,

」+4/-1

得了⑴=

4

无2+4x—1

即“X)=

4

3.(2023・全国•高三专题练习)若对任意实数x,均有/(x)-2/(-x)=9x+2,求〃无)=

【答案】3x-2/-2+3x

[W1V/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

"(-x)-2/(x)=9(r)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3/(无)=-9x+6,

f(x)=3x-2(xeR).

故答案为：3x-2.

4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)满足/(x)+2/(-x)=2x+3,则/(x)=.

【答案】-2x+l/l-2x

【详解】解：因为/(x)+2/(-x)=2x+3①，

所以/(F)+2/(X)=2.(T)+3②，

②x2-①得，f(x)=-2x+l.

故答案为：-2x+l.

题型四：重点考查分段函数求值及参数问题

典型例题

X+[x<]

例题1.(2023春•湖南长沙•高二长沙市明德中学校考期中)已知函数/(x)=.'，若/(a)=10,

[2x,x>1

则实数。的值是()

A.-3或5B.3或-3C.5D.3或-3或5

【答案】A

【详解】若a<1,则/(a)=/+i=io,・・.〃=_3(〃=3舍去)，

若Q21,则〃Q)=2Q=10,.,.Q=5,

综上可得，。=5或。=-3.

故选：A.

2Xx<0

例题2.(2023•陕西安康•统考三模)已知函数/(')二,；\八，则〃log23)=___________.

j(x—ll,x>U

3

【答案】-/0.75

4

,、2A,x<0

【详解】因为1=1”,2<题23<题,4=2,且/3=

/(x-l),x>0

则〃x)=〃log23-1)=/眦23-2)=/(log?1121O82t1.

3

故答案为：—.

4

2"x<0

例题3.(2023春•江西上饶•高一江西省余干中学校考阶段练习)若函数/(%)=〃"“八，

则以1000)=_.

【答案】1

【详解】由题，当X>1时，1卜-1)=/(X-2)-/(x-3),结合=则可得X>1

时,/(0-3).

即x>l时，/(尤+3)=-/(尤)n/(X+6)=-/1+3)=/(c).

则/(1000)=7(166x6+4)=/0).又/(力=-/(》一3),则

/(4)=-/(l)=/(-l)-/(O)=2-2°=l.

故答案为：1.

精练核心考点

0,x<1,

1.(2023春・河南•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=<x+l,lVx<2,若/(/(。))=1,则实数。=()

_ln(x-1)+1,2,

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】根据题意，当a<1时，/(/(«))=/(0)=0^1,不符合题意；

当14”2时，/(/(a))=/(a+l)=-lna+l=l,解得“=1；

当°=2时，/(/(«))=/(1)=2^1,不符合题意；

当0>2时，/(/(«))=/[-ln(«-l)+l]=0^1,不符合题意.

故选:B.

2.(2023•四川德阳•统考模拟预测)已知函数/(目=相二；°,则/.

【答案】y/0.25

4

【详解】解：由题知/1]=k)g3q=—2,f=/(—2)=2-2=；

故答案为：~~

4

"e*尤W1

3.(2023春・江苏南京•高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习)已知函数/(x)=,/，则

/(ln3)=.

3

【答案】-

e

【详解】因为ln3>l,所以/(ln3)=/(ln3-l),

因为ln37<l,所以〃ln3-l)=e1113T=所以〃ln3)=工

eee

、3

故答案为：-

e

题型五：重点考查分段函数单调性问题

典型例题

例题1.(2023秋・广东清远•高一统考期末)已知函数〃x)=八在R上单调递增，贝心的取值范

[ax+a,x>0

围是()

A.(0,+e)B.(0,1)C.(1,+«)D.[1,+w)

【答案】C

fnXX<0

【详解】根据题意，函数〃x)='，

[ax+a,x>0

若/(x)在R上单调递增，

(a>l

必有In、01，解得0>11

[0+QNQ=1

所以。的取值范围为(L+00).

故选：C

2x,x＞0,

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=＜1Y若f（a）＜/（6-。），则实数。的取值范

一匕卜＜0,

围是（）

A.（-3,+oo）B.（-oo,-3）C.（3,+oo）D.（一8,3）

【答案】D

【详解】由解析式易知:/（%）在R上递增,又/（。）＜/（6-。）,

所以Q＜6—Q,则。＜3.

故选：D

例题3.（2023秋・湖北武汉•高一武汉市第十七中学校联考期末）已知函数/（x）=.八，满

［（a-2）x+3a,x＞（）

足对任意网片起，都有,（Xi）一"%）〉。成立,则。的取值范围是（）

芭-x2

A.ae（O,l）B.ae（2,+（»）C.aD.aej,21

【答案】B

【详解】不妨设%＞%，由^^*^＞0=/（网）-/仁）＞0=/（网）＞7•仅2），

因此该函数是实数集上的增函数，

a>\

于是有<〃—2〉0=>〃〉2,

«(Q—2)♦0+3a

故选：B

(2-a)x-3a+3,x<l

例题4.（2023春•新疆阿克苏•高一校考阶段练习）已知。＞0且awl,函数/卜）=

logax,^>l

满足国h当时，恒有玉/（』）+2/。2）＞2/（七）+为/（2）成立，那么实数。的取值范围（）

A.（1,2）B.C.（1,+℃）D.

【答案】D

【详解】因为函数/（X）满足X产乙时，恒有再/（吃）+2/（2）＞赴/&）+占/（%）成立，

即函数/（X）满足X产3时，恒有（芭-X2）［/（尤1）-/（x2）］＞0成立，

，一小「+“＜1在R上单调递增,

所以函数/（x）=

logax,x＞l

2—q>0

所以1>1，解得

(2--34+3(logQl

故选：D.

精练核心考点

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/=在R上单调，则。的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,。)D.[3,-K»)

【答案】D

【详解】y=-f+2x+l的开口向下，对称轴是直线X=l,

所以函数y=f2+2X+1在(-8,1)上单调递增，

依题意可知，/(无)在R上单调递增，

\a>\

所以1八/°-解得心3,

[a-1>-r+2x1+1

所以。的取值范围是[3,+8).

故选：D

1—2,x>1

2.(2023春・安徽马鞍山•高一马鞍山二中校考开学考试)己知/(x)==<a是R上的增函数，则实

(4--)x,x<l

数。的取值范围()

A.[4,8)B.(4,8)

C.(1,8)D.(1,+◎

【答案】A

(-a>1

ar-2,x>1

【详解】因为/(x)=一始，是R上的增函数，所以4-：>0,解得44a<8,即实数。的取值

4——\x,x<l2

k2>a

a-2>4--

[2

范围是[4,8)

故选：A.

ax,x<0

3.(2023秋・陕西宝鸡・高一统考期末)已知函数/(')=1，满足对任意占R%，都有

(3-tz)x+—tz,x>0

/（网）-/（三）>0成立，则。的取值范围是（）

芭-x2

A.（1,3]B.[2,3）C.（2,3）D.（1,3）

【答案】B

【详解】对任意王都有A?[,'）>0成立,即玉<马时，/。|）</（七）恒成立,

•♦./（X）是增函数，

a>\

<3—tz>0,解得2<tz<3,

cio4W—1a

I2

故选：B.

4.（2023秋・湖南湘潭•高一校联考期末）已知=是R上的减函数，那么a的取值

可能是（）

1134

A.§B.-C.-D-7

【答案】AC

【详解】依题意，/（x）在R上递减，

3〃一2<0

1?

所以。<"1,

33

3a-2+3a>log/

所以AC选项符合，BD选项不符合.

故选：AC

题型六：重点考查分段函数不等式问题

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=则不等式〃/（x））<”（x）+l的解集是（）

A.-?0

C.(0,2)

【答案】D

【详解】令仁/(X),则/V(x))<4/(x)+l即为％)<4,+1,

当”0时,f(t)=3t+l>4t+l,故/⑺<4+1无解,

当:20时，/(Z)=3z,/(Z)<4/+1即为〜<4t+l,

在同一平面直角坐标系下画出了=3,和y=4f+l的大致图像如图,

由图可得当且仅当0</<2时，才<4/+1,

综上所述，%)<4，+1的解为0</<2,又，=/(x),

所以0</(x)<2,

当x<0时，/(x)=3x+l,

故0<3x+l<2,解得：—<x<—,所以—<x<0,

333

当x20时，/(尤)=3工，

故0<3*<2,解得：x<log32,所以0Vx<log32,

综上所述，不等式/(/(x))<4/(x)+l的解集是1g,logs21

故选：D.

例题2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数则不等式八(1呜%)2-3)<”(皿2丫)的

解集为()

A.(0,3)B.(1,8)

C.(0,^-)u(^-,8)D.(；2)

22o

【答案】B

【详解】当xNO时,/(x)=2x2>0,4/(X)=8X2=/(2X),且/⑴在［0,+oo)上递增，

当x<0时,/(X)=-2X2<0,4/(X)=-8/=/(2X)>且/*)在(一。,0)上递增，

所以/⑴在R上有4/(尤)=〃2尤)，且函数/(X)是R上的增函数,

-

于是原不等式可化为(log?X)-3<21og2x,

2

(10g2x)-21og2x-3<0,(log2x+l)(log2x-3)<0,

得-1<log2x<3

解得g<x<8,

故选：B

例题3.(2023•云南昆明•安宁市第一中学校考模拟预测)已知函数/(X”［，)，X-°,则

l-3x,x>0

/(/(-1))=;若/(2/-3)>八5a),则实数。的取值范围是.

【答案】-5--<a<3

2

【详解】解：由/■(x)=」!'X，°,得/(-1)=2,

l-3x,x>0

所以/(/(一功=/(2)=1-6=-5,

因为>=,y=l-3x都是减函数，

且当x=0时，y==l,j=l-3x=l,

所以函数〃x)是R上的减函数，

则/(2/一3)>〃50，

即为2a2-3<5。，解得-2<a<3.

2

故答案为：-5；--<a<3.

2

精练核心考点

—f+2xx>0

2。’二，满足/(〃)</(-。)，则。的取值范围是()

{x+2x,x<0

A.(-«,-2)U(0,2)B.(-a>,-2)u(2,+«)

C.(-2,O)u(O,2)D.(-2,0)U(2,+s)

【答案】D

【详解】解：当a<0时，/(a)=a2+2a,f^—a^——a~~2a,

所以/"(a)</(—a)=/+2a<—a?—2a,BPa2+2a<0,解得一2<a<0,

当〃>0时，/(a)=-/+2a,/-2a,

所以/(a)</(—〃)o—/+2〃<4—2。，即/一？〃>。，解得a>2,

所以，。的取值范围是(-2,0)U(2,+8)

故选：D

x-1

I,X<1

2.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(%)=，2,则不等式/(x)42的解集为()

1-logj(x-l),x>l

A.[0,3]B.(-a),3]

C.[0,+e)D.[0,l]U[3,+oo)

【答案】A

【详解】依题意，当尤VI时，由/(月=(；广七2得；21<2,解得xNO,则OWxWl,

当x>l时,由〃x)=lT°gi(xT)<2得：log2(x-l)<l,BP0<x-l<2,解得1<XV3,则l<x<3,

2

所以不等式/(x)<2的解集为[0,3].

故选：A

___f2x+l,x<03

3.(2023秋・江苏南京・高一南京师大附中校考期末)设函数/(%)=,则满足/(x)+/(x-彳)〉3

Is>u，

的尤的取值范围是.

【答案】(1,+8)

【详解】当xWO时，/(x)+/^x-|^=2x+l+2^-|^+l=4x-l<-l,贝lj/(x)+/1x-|j>3在xWO时无

解；

当0<xv|时，/(x)+/1x-1^=3'l+2(x-|j+l=3，+2x-2,在R单调递增，x=1时1+2x1.2=3，则

〃x)+/[x-；]>3的解集为11,|；

当x>|时，/(耳+/)-|)=3，+3'(>31+3°>3,贝+在x>|时恒成立；

综上，/3+/1-3>3的解集为(1,+8).

故答案为：(1,+°0).

题型七：重点考查分段函数值域问题

典型例题

例题1.(2023春•四川雅安・高一雅安中学校考开学考试)已知函数〃x)=Jbg"I)i<*<6的值域为

R,则实数。的取值范围是()

A.(0,+e)B.(-<«,2)C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【详解】由题意知当l<x<6时，/(x)=log02(x-l)e(-l,+a)),

/、\\-ax.x>6

由于函数/无=1zI-A的值域为R,

log02(x-l),l<x<6

故x26时，/(x)=n-ax的取值范围应包含,

故止匕时a>0,J3.H-6a>-l,.-.a<2,故0<042,

即实数a的取值范围是(0,2],

故选：D

,、|x+6,x<a,、

例题2.(2023春•广东广州•高一广州市第五中学校考阶段练习)已知函数〃无)=2一;>，若函数/(x)

的值域为R,则实数。的取值范围是.

【答案】[TO,6]

【详解】当时，由于〃x)=x+6为(-叫0上的增函数，其值域为(-8,6+〃)；

当xNa时，/(_¥)=/-4》=(》-2)2-4为顶点在(2,-4)开口向上的抛物线，对称轴尤=2.

i.若aV2,则二次函数的最小值为-4.

要使/(x)的值域为R,只需：6+a>-4,解得：a>-10.

所以—10WaV2；

ii.若。>2,则二次函数在[a,+s)上单调递增，所以最小值为a2-4a.

要使/(x)的值域为R,只需：6+a>a2-4a,解得：-1<a<6.

所以2<aW6；

综上所述：实数/的取值范围是[-10,6].

故答案为：[-10,6]

例题3.(2023春•全国•高一校联考开学考试)已知函数/x=；'的值域为R,则实数。的

log?>1)

取值范围为

【答案】(一叫-4]U[0,+s)

【详解】当x>l时，/⑺二^^工的值域为包+的；

记g(x)=f2+ax+a(x<1),g(无)的值域为A,

；/(x)的值域为R,0仁/；

当■|加，即.22时，g(x)在(-叫1]上单调递增，

^(X)max=S(1)=-1+2a>0,解得：a>1,:.a>2-,

当即"2时，g(x)在~,|]上单调递增，在(|,1上单调递减，

g(x)m*x==5+。,解得：a<-4s^a>0,,aV-4或0Wa<2；

综上所述：实数。的取值范围为(-叫-4]U[0,+8).

故答案为：(-m,-4]U[0,+m).

精练核心考点

31"Tx<1

1.(2023秋•贵州安顺・高一统考期末)已知函数〃x)='~,若/⑴是/(x)的最小值，则实数a的

x+2,x>l

取值范围为()

A.[1,2]B.[-1,0]C.[1,2)D.[1,+℃)

【答案】A

【详解】由已知可得，/(l)=3M<l+2=3,所以,一1归1,解得0VaV2.

y-x,x<a

当0Va<1时，/(x)=<3x~a,a<x<1,

x+2,x>l

显然/(x)在(-8,a]上单调递减，在上单调递增，所以/(X)在X=a处取得最小值，于题意不符；

3"xx<1

当14.W2时，〃X)=；~,，此时函数/(x)在(-叫1]上单调递减，在(1,+⑹上单调递增，且满足/⑴W3,

x+2,x〉1

所以有/⑴是的最小值.

故选：A.

(Axr<1

2.(2023春•上海嘉