2024年山西省太原市高考数学模拟试卷及答案解析

2024年山西省太原市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）已知集合4=｛尤[-2<x<3｝,B=U|2X>1｝,则（）

A.（-2,0）B.（0,3）C.（1,3）D.（-2,+°°）

2.（5分）在复平面内，（1+万）（2-i）对应的点的坐标是（）

A.（0,3）B.（3,0）C.（4,-3）D.（4,3）

3.（5分）已知|a|=|6|=1,©=百，a+b+c=0,贝!Ja与b的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.（5分）某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮

球或排球.在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概

率为（）

1123

A.-B.-C.—D.—

3234

5.（5分）已知｛斯｝,｛阮｝分别是等差数列和等比数列，其前"项和分别是8和T”，且ai=6i=l,a2+b2

—4,T3—3,则S3—（）

A.13B.3或13C.9D.9或18

6.（5分）已知圆锥的顶点为P,底面圆的直径AB=2V3,tan^APB=V3,则该圆锥内切球的体积为（）

7.(5分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,b=6,B=2A,贝Uc=()

A.5B.4或5C.6D.4或6

pXI]yV,1

'一，若方程/（x）-Mx+2|=0恰有三个不同实数根，则实

（-x2+4x-l,x>l

数%的取值范围是（）

A.（0,8-2V13）U（1,+8）B.（|,攀]

C.育，8—2—13）U（1,—^―]D.（净，1）U[―-^―,8+2V13）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求

的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：

（多选）9.（6分）函数/（x）=Asin（3无+0）（A>0,3>0,-ir<e<0）的部分图象如图所示，则下列

结论正确的是（)

B.f（x）的周期T=TT

C.f（x）图象关于点（-1工^,0）对称

D.f（x）在区间—亨）上递减

（多选）10.（6分）已知数列｛•｝满足m=l,厮+1=2即+”'”为奇数，则下列结论正确的是（）

,an-2n,xt为偶数

A.｛丽｝是递增数列

B.｛及"-2｝是等比数列

C.当"是偶数时，an=2-（1）?

D.3m,w6N*,使得协”-1＞。2〃

（多选）11.（6分）已知两定点A（-2,0）,B（1,0）,动点〃满足条件|MA|=2|M2|,其轨迹是曲线C,

过2作直线/交曲线C于尸，Q两点，则下列结论正确的是（）

A.|PQ取值范围是[2h，4]

B.当点A,B,P,。不共线时，△APQ面积的最大值为6

C.当直线/斜率kWO时，A3平分NB4。

D.tan/必。最大值为百

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）函数/（无）=无，的单调增区间为.

13.（5分）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取

了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170,方差为15,女生样本的均

值为160,方差为30,则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是,方差

是

XV

14.(5分)已知双曲线C：---=1(a>l,b>0)的右焦点是/(2,0),动点尸(x,y)(x>0)在

->—工+2V

C上.若过点尸作C的切线与直线x=l相交时，记其交点为0,PF-QF=0恒成立，则的取

z、z

y/x+y

值范围为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)一款便携式行李箱的密码是由数字1,2,3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密

码中至少出现一次，且它们出现的概率相等.

(1)求该款行李箱密码的不同种数；

(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望.

16.(15分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,过点。(2,1)且斜率为1的直线经过点尸.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若A,B是抛物线C上两个动点，在无轴上是否存在定点M(异于坐标原点O),使得当直线

经过点M时，满足若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

17.(15分)如图，在多面体ABC£>£F中，底面A8C。是正方形，平面A£)E_L平面ABC。，△AOE是边

长为8的正三角形，EF//AB,且EP=4,点G,H分别是BC,BF的中点.

EM

(1)设AE与平面DG”相父于点求77二的值；

(2)求平面与平面COM夹角的余弦值.

EF

1

18.(17分)已知函数尤)=or+l-(1+~)山(x+1).

(1)当。=1时，求函数/(尤)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)若函数/(彳)在(0,+8)上有零点，求实数a的取值范围.

7Tt

19.(17分)已知两个非零向量a,b,将向量a绕着它的起点沿逆时针方向旋转6(0G[O,2n))弧度后,

TT—T一TT

其方向与向量b的方向相同，则。叫做向量a到b的角.已知非零向量。到b的角为。，数量|a||b|s仇。叫

7T—T—T—T—T

做向量a与b的③运算，记作a0b,即a0b=\a\\b\sin3.根据此定义，不难证明以下性质：①a0b=

‘—>—>‘—>‘—>_—>—>—>—>—>~’—>

—b0a；②(2a)®h=a®(Ah)=A(a0b)；③(a+Z?)®c=a®c+b0c.

(1)利用以上性质证明：a®(fa+c)=a®Z?+a®c；

->—>i—>—>

(2)设。4到。8的角为3定义S[0A8]=W(040。8).当0<e<n时，则S[CM为表示△OAB面积;

当n<e<2ir时，则5[。4周表示△048面积的相反数.利用上述定义和性质证明：

①如图，四边形ABC。的两边A。，8C延长相交于点E,对角线AC,2。的中点为凡G,求证：四边

形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；

②在平面直角坐标系中，记向量；=(1,0),；=(0,1),ZXABC各顶点坐标分别为A(xi,")，8(x2,

、、1

”)，C(X3,*),求证：/XABC面积为5|%1丫2+%2丫3+%3丫1一%2、1一-

2024年山西省太原市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)己知集合4={尤|-2<尤<3},B={x|2x>l},则AAB=()

A.(-2,0)B.(0,3)C.(1,3)D.(-2,+°°)

【解答】解：集合A={x|-2<x<3},8={x|2x>l}={尤|x>0},

则ACB=(0,3).

故选：B.

2.(5分)在复平面内，(l+2i)(2-D对应的点的坐标是()

A.(0,3)B.(3,0)C.(4,-3)D.(4,3)

【解答】解：；(l+2i)(2-z)=2-z+4z-2f2=4+3z,

在复平面内，(l+2i)(2-0对应的点的坐标是(4,3).

故选：D.

3.(5分)已知|a|二网=1,|c|=遮，a+b+c=0,则a与b的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解答】解：设展与力的夹角为①0°WaW180。，

TTT

a+b+c=0,

—T—T-TT-

则一c=a+b,同时平方可得，c2=a2+b2+2a-b,

TTTL

|a|=\b\=1,|c|=V3,

则1+1+2X1X1XCOS8=3,解得cos0=分解得9=60。.

故选：C.

4.(5分)某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮

球或排球.在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概

率为()

【解答】解：校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打

篮球或排球，

设该班级有。名学生，则有0.6°名学生喜欢打篮球，0.4a名学生喜欢打排球，0.8a名学生喜欢打篮球

或排球，

则既喜欢打排球又喜欢打篮球的学生有0.6a+0.4a-0.8a=0.2a,

在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，

若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为P=糕=全

故选：A.

5.（5分）已知｛斯｝，｛加｝分别是等差数列和等比数列,其前“项和分别是金和非,且。1=加=1,42+62

=4,73=3,贝|S3=（）

A.13B.3或13C.9D.9或18

【解答】解：设等差数列｛Z｝的公差为d,等比数列｛m｝的公比为q,

由ai—bi—1,42+62=4,乃=3,

得此善二，解得群期比2.

，S3=3ai+3d=9或&=3ai+3J=18.

故选：D.

6.（5分）已知圆锥的顶点为P,底面圆的直径力B=2遍,tcm/APB=遍，则该圆锥内切球的体积为（

【解答】解：根据题意，设该圆锥底面的圆心为。，连接PO,

由于tanNAP8=g,贝l|NAPB=60°,故NAPO=30°,

又由4。=%8=百，则尸0=3,

设圆锥外接球的球心为N,外接球与PA的切点为M,

易得PN=2MN,即3-r=2r,解可得r=l,

故该圆锥内切球的体积V=驾二岁.

故选：C.

p

7.(5分)已知△ABC的内角A,B,。的对边分别是mb,c,若a=4,b=6,B=2A,则c)

A.5B.4或5C.6D.4或6

【解答】解：〃=4,b=6,B=2A,

ab46

由正弦定理可知,----=-----,即----=----------，解得cosA=I，

sinAsinBsinA2sinAcosA

A为三角形的内角,

则sinA=V1—cos2A—

q

1

故cosB=cos2A=l—2sin2A=不,

o

同理可得，sinB=挈,

o

9

cosC=-cos(A+B)(cosAcosB-sinAsinB)=玄,

c2=a2+b2-2ab-cosC=16+36-2x4x6x^=25,解得c=5.

故选：A.

ex+1/x<1

8.(5分)已知函数/(%)=，若方程/(x)-Mx+2|=0恰有三个不同实数根，则实

—x2+4%—LX>1

数上的取值范围是()

A.(0,8-2V13)U(1,+oo)B-4,竽

C.(可，8—2V13)U(1,1]D.(可，1)U[―^—,8+2、13)

【解答】解：作出函数y=/(x)的图象,如右图:

方程/(x)-枢+2|=0恰有三个不同实数根，等价为y=/(x)与产枢+2|的图象有3个交点.

—k(x+2),x4—2

y=k\x+2\=

fc(x+2),x>—2

y=44+2］的图象恒过定点(-2,0),

当x>-2时，y=k(x+2)与y="+l相切，设切点为(xi,yi),可得e%1=%,且左(xi+2)=eX1+1,

可化为(xi+1)eX1=1,设g(x)=(x+1)x>-2,可得屋(x)=(x+2)/>0,g(x)在(-

2,+8)递增，且g(0)=1,

则xi=Ok=l,此时y=/(%)与y=%|x+2|的图象有2个交点，

又>=左(龙+2)的图象经过(1,e+1),可得e+l=3Z,即有左=燮，

则1〈正攀时，y=f(x)与尸川x+2］的图象有3个交点；

当了>-2时，y=k(x+2)经过点(1,2),即有2=3左，解得仁呈

由,y-k(:+?可得/+(左-4)尤+2左+1=0,

ly=—x+4%—1

由>=无(1+2)与丁=-f+4x-1相切，可得△=(左-4)2-4(24+1)=0,WWk=8-2713(8+2713#

去)，

2

由图象可得，］4<8-2旧时，y=/(x)与产如+2|的图象有3个交点；

当代0时，y=f(x)与>=如+2］的图象只有1个交点.

2e+1

综上，可得实数上的取值范围是(-，8-2V13)U(1,——］.

33

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求

的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：

(多选)9.(6分)函数/(x)=Asin(3x+。)(A>0,w>0,-n<9<0)的部分图象如图所示，则下列

结论正确的是()

B.f（x）的周期T=TT

C.f（x）图象关于点（—罂，0）对称

D.f（x）在区间（―*,—亨）上递减

1

【解答】解：由函数/（x）=Asin（a）x+0）的部分图象知，A=2,/（0）=2sin8=-1,解得sin8=—],

又因为-n<e<o,所以e=—看或e=-福

因为3>o,且/（x）在（0,y）内取得最小值2,所以。=一詈，选项A错误；

,27r27T1汗27r1万万，，

又因为/（/-）=2sin（刀3-管）=2,所以三力一景=%解得3=2,

所以/（x）=2sin（2x—曾），f（x）的周期为了=竿=71,选项B正确；

f（―-^-）=2sin[2X（-）—邺]=0,所以/（%）的图象关于点（-产1，0）对称，选项C正确；

.乙.乙O.乙

xE（—时，2x—V晓（—所以/（x）在区间（―.,—$上递增，选项O错误.

故选：BC.

八为奇数

（多选）10.（6分）已知数列｛即｝满足ai=l,即+1=，则下列结论正确的是（）

,dn—271/h为偶数

A.｛珈｝是递增数列

B.｛破厂2｝是等比数列

C.当〃是偶数时，厮=2-（罗

D.3m,〃丘N*,使得及，〃-1＞。2〃

1Q“5

【解答】解：对于A,由41=1,得的=2。1+1=2，。3=。2-4=一牙

根据及<小，可得｛金｝不是递增数列，故A项错误;

1

对于8,当九=1时，g—2=^(ai—2),

当时,a如一2二2a2九一1+2n—1—2=,[a2n-2—2(2n—2)]+2n—3=2a2九—2-1=

1

2(a2n-2-2)，

综上所述，数列｛。2"-2｝是首项为-与公比为]的等比数列，故B项正确；

n-1—n,

对于C,由8的分析可得a2n—2=(一引X(2)=(2)所以a20=2—眩)”，

因此当〃是偶数时，an=2-(1)1可知C项正确；

=maam-1

对于。，由8、C的分析,得a2m2—(2)，结合2m=22m-i+2m—1,得a2ni-i=6—4m—(2)，

因为(^MTeCO，1],所以当机=1时，CZ2m-l=6—4m一&)m-l=6-4—1=1,

n

当机22时，a^m-i=6—4m-<0,而a2n=2-(^)e(1,2),所以a2">a2〃”1恒成立，故D

项错误.

故选：BC.

(多选)11.(6分)已知两定点A(-2,0),B(1,0),动点M满足条件|MA|=2|M8|,其轨迹是曲线C,

过8作直线/交曲线C于P,。两点，则下列结论正确的是()

A.|尸。|取值范围是[2b，4]

B.当点A,B,P,。不共线时，△APQ面积的最大值为6

C.当直线/斜率左W0时，A8平分NB4。

D.tan/BA。最大值为百

【解答】解：设M(x,y),由1MAi=2|MB|得：+2产+产=2—1尸+*,

化简整理得(x-2)2+y2=%

所以曲线C：(x-2)2+/=4,如图：

易知点B在圆C内，则过点8作直线/,直线/截圆C所得最长弦为直径，

所以IP。”皿=4,直线/截圆C所得最短弦为过点3且垂直于过点B的直径的弦，

因为8(1,0),C(2,0),

所以|2。|=1,

则|PQLm=2V¥^T=2B,

所以|PQ的取值范围是[2百，4],故A正确.

当点A,B,P,。不共线时，直线/的斜率不为0,设直线/：尤=/1,P(xi,yi),Q(X2,")，

联立得广祟：24,

((%—2)"+=4

消去x得：(尸+1)/-2什-3=0,A>0,

2t—3

所以为+y2=落五，声山=洒二五，

133_________________

x2

又|A3|=3,所以%4PQ=S21ABp+SAABQ=2MB|X\yr—y2\=^^一丫21=]V(71+Y2)~4y1y2=

3小忌-2尸M<3V3<6,

11

(提小：-2----2<—If故(-5-----2)2>1),

r+1r+1

故5错误.

由题意知，震=器=2,

\PB\\QB\

又因为当直线/的斜率上W0时，

|PA|=|PB||QA|=|QB|

sinZ-ABPsinZ-PAB'sin乙ABQsinZ.QABf

所以smZABP=2sinZPAB,sinZABQ=2sinZQAB,

又因为sinZABP^sinZABQ,

所以sinZPAB=sinZQAB,

所以当直线/的斜率左WO时，AB平分/B4。，

故C正确.

由余弦定理得：3/必。=叫踹好

乙|二A|IQA|

4\PB\2+4\QB\2-QPB\+\QB\2）

=8\PB\\QB\

_3|PB|IQBJ1>3.（WFM_1_1

一8（|QB|十|PB|）4-41|QB|\PB\4一2'

当且仅当|P8|=|QB|时等号成立，

显然NE4QC[0,J],

7T

又因为y=taiu'在[0,上单调递增，

所以（tan/朋。）max=V3,故。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）函数/（无）=尤一的单调增区间为（-1,+8）.

【解答】解：•函数/⑴=xd,：.f（x）=eK+xex=ei（x+1）,

又/>0,当，（无）=/（尤+1）>0时，尤>-1.

...函数/（x）=xe*的单调递增区间是（-1,+8）.

故答案为：（-1,+°°）.

13.（5分）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取

了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170,方差为15,女生样本的均

值为160,方差为30,则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是」方差是45.

【解答】解：由题意可知，该校高一年级学生身高的均值是1^xl70+XI60=166,

方差为|^x[15+（170-166）21+|§X[30+（160-166）2]=45.

故答案为:166；45.

x2y2

14.（5分）已知双曲线C--77=1（〃>1，匕>。）的右焦点是尸（2,0）,动点尸（x,y）（x>0）在

—>—>x+2y

。上.若过点尸作。的切线与直线x=l相交时，记其交点为Q,PF•(?/=()恒成立，则的取

yjx2+y2

值范围为-一孚」券)

(X=ty+m

【解答】解：设切线方程为x="+机，联立x2y2_1，贝！J(Z?2?-a2)y1+2b1tmy+b1ni1-a2b2=0,

277

\a,k

A=4Z?4?m2-4Z?2(m2-a2)(信於-/)=0,

可得a2=b2t1+m2.

22.,2.,2.22,

2btm2bt.bt七nrbt、bkt、

有2yp=---,贝mtUyp=—，有「(-----Ttif—)

a2—b2t2mmvmFmJ

1—m>

令x=1,则y0=—有Q(L

t.

227

nlr<7c、八、inbt1-mrbt乙Q,21一瓶

PF-QF=(2-Xp,-yp)•(1,-yQ)=yPyQ+2—盯=—------F2-一血=2+b'----

次

—=0,

m

则a2+(m-1)8=2m,

又/+房=22=4,解得/=2,b2=2,

则。的方程为/-『=2,

故％=Jy2+2,

x+2y2y+Jy2+2

yjx2+y2,2+2y2

设9+1=小则〃对‘当小。时，

故了(〃)在(0,1]上单调递减，故f(1)=1wf(&)</(0)=货,

因此/(〃)6[1/~^~)9

小…什2y+Jy2+2-2后1+近江

当产。时，/+2、2=一局一

/2-2iz+212+2iz

设九(〃)=—“—2〃+J—则"(〃)=

故〃(〃)在(0,1)上单调递增，则/2(0)=泻<h(M)<h(1)=1,

因此/i(u)6(—，1)，

故答案为：(-¥，•

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)一款便携式行李箱的密码是由数字1,2,3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密

码中至少出现一次，且它们出现的概率相等.

(1)求该款行李箱密码的不同种数;

(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望.

【解答】解：(1)根据题意，分2种情况讨论：

①在密码中，只有1个数字出现3次，其余两个数字各出现1次，有盘底鹿=60种密码，

②在密码中，只有1个数字出现1次，其余两个数字各出现2次，有废吗废废=90种密码,

则共有60+90=150种密码；

(2)根据题意，X可取的值为1、2、3,

212

。5。342_60_2

P(X=2)150=150=5

Q9

量度_20_2

P(X=3)35(r=150=15)

P(X=l)=1-P(X=2)-P(X=3)=金

故X的分布列为：

X123

P2_£_L

15515

其期望E(X)=lx/+2x|+3x导=|.

16.(15分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为E,过点。(2,1)且斜率为1的直线经过点?

(1)求抛物线C的方程；

(2)若A,8是抛物线C上两个动点，在无轴上是否存在定点M(异于坐标原点。)，使得当直线A3

经过点M时，满足OALO8?若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)易知过点。(2,1)且斜率为1的直线方程为y-1=尤-2,

即y=x-1,

令y=0,

解得％=1，

即F(1,0),

所以日=1,

2

解得p=2,

则抛物线。的方程为y=4%；

(2)由(1)知抛物线。的方程为y=4元

假设存在定点M(m,0)满足条件，

不妨设直线A3的方程为兀="+机(怎R),A(xi,yi),B(X2,>2),

联立小，消去X并整理得y2-4ty-4m=0,

由韦达定理得yi+y2=4byiy2=-4m,

因为04_L03,

—>—>

所以。力-0B=0,

—>—>

2

即。A•OB=%1%2+y/2=(tyi+6)(ty2+血)+yiy2=(产+l)yiy2+tm{yr+y2)+m

222

=-4m(P+1)+4mt+m=m-4m=0f

解得根=4或m=0(舍去)，

当机=4时，点M的坐标为(4,0),

此时满足04_L。艮

故存在定点M(4,0)满足条件.

17.(15分)如图，在多面体ABCDEF中，底面A8CD是正方形，平面AZJ£；_L平面ABC。，△&£)£是边

长为8的正三角形，EF//AB,且所=4,点G,H分别是BC,BF的中点.

EM

(1)设AE与平面QGH相交于点M,求——的值；

MA

(2)求平面与平面C6W夹角的余弦值.

【解答】解：(1)取的中点0,连接0E,则0ELA。，

因为平面AOEJ_平面A8CD,平面AOEA平面4BCO=A。，OEu平面AOE,

所以0瓦L平面A8C。，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

贝IJA(4,0,0),D(-4,0,0),E(0,0,4V3),G(0,8,0),F(0,4,4次)，B(4,8,0),

H(2,6,2V3),C(-4,8,0),

—>—>—>

所以DE=(4,0,4V3),DG=(4,8,0),DH=(6,6,2V3),

'TT

设平面。GH的法向量为益=(xi,yi,zi),则"=4/+8为=0,

m•DH=6/+6yl+2y/3zr=0

取yi=l,则xi=-2,zi=V3,所以薪=(-2,1,V3),

—»—>

设EM=/IE力=入(4,0,-4V3),

所以以=法+赢=(4,0,4V3)+(4入，0,-4V3A)=(4+4入，0,4g-4百人),

因为AE与平面DGH相交于点M,

所以OMu平面DGH,

所以mDM=0,即(-2,1,V3X4+4A,0,4遍一4遍入)=0,解得;I=#

所以EM=七瓦4,

EM1

故77二的值为：.

MA4

lr-2416A/3^TT

(2)由(1)知，DM=(4+4入，0,4V3-4V3X)=(事，0,-y-),DB=(8,8,0),DC=(0,

8,0),

(T24,16V3n

Hi•DM=-g-xH——g—z=0

设平面BDM的法向量为?I】=(x,y,z),贝小

TT

jir-DB=8%+8y=0

取x=-2,则y=2,z=V3,所以a=(-2,2,百),

；二〃24,16V3

n•DM=-g-a4——g—c=n0

设平面COM的法向量为几2=(。，b,c),则2

n2•DC=Sb=0

取a=-2,则6=0,z=V3,所以元=(-2,0,V3),

—>T

I丐力2114+3|V77

设平面BDM与平面COM夹角为3则cos0=|cosm，n2>\=

I而扃I7nxy7TT

V77

故平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为7r

1

18.(17分)已知函数/(x)=ax+l-(l+1)In(x+1).

(1)当。=1时，求函数了(无)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)若函数/(x)在(0,+8)上有零点，求实数a的取值范围.

【解答】解：(1)因为/(尤)=ax+l-(1+1)In(x+1)(x>-1),

1

所以，当a=l时，f(x)=%+1-(1+-)Zn(x+1),xE(-1,+°°),

则.(X)=1-(-白伍(X+1)—(1+》*=1+-p

所以/(1)=l+ln2-]=ln2,/(1)=1+1-2历2=2-2历2,

所以切线方程为J-(2-2历2)=ln2(x-1),即y=xln2+2-3历2；

1

(2)函数f(x)=ax+l-(1+-)In(x+1),定义域为(-1,+00),

则-⑺=a+吗*-1=黑(x+1),

X乙XX乙

令f(x)=0,即a%+1—(1+-)Zn(x+1)=0,得a=(%+D1n

xX乙

当x>0时，/>(),令h(x)=(x+1)In(x+1)-x,

1

则九'(％)=Zn(x+1)+(%+1)-—1=ln(x+1),

当x>0时，In(x+1)>/几1=0,

所以九(x)在(0,+8)单调递增，所以%(x)>h(0)=0,

,、(%+l)Zn(x+l)-x

又因为+8时，h(x)f+8,-----------------------T+8,

xz

故当a>0时，方程a=(久有解，即/(X)在(0,+8)有零点.

所以实数a的取值范围为(0,+°°).

19.(17分)已知两个非零向量乙b,将向量[绕着它的起点沿逆时针方向旋转0(0G[O,2TT))弧度后，

其方向与向量b的方向相同，则0叫做向量[到6的角.己知非零向量之到6的角为0,数量位||b|sine叫

—TtT