2024年人教版八年级上册数学同步训练：因式分解-公式法与十字相乘法（原卷版）

第05讲因式分解一公式法与十字相乘法

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式

①公式法分解。

②十字相乘法2.掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字

相乘法。

思维导图

平方差公式

完全平方公式

知识清单

知识点01平方差公式分解因式

i.平方差公式分解因式的内容：

两个数的平方差等于这两个数的乘以这两个数的。

即：a2-b2=________

2.式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个，符号__________且都可以写成的形式。

②因式分解结果：等于写成平方形式时的的和乘以的差。

考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。

【即学即练1】

1.下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）

A.x2-25B.x3-4C.x2-2x+lD.x2+l

【即学即练2】

2.下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是()

A.-加2+〃2B.-冽22C.4冽2-1D.(加+〃)2-9

【即学即练3】

3.把下列各式因式分解：

(1)x2-25/.(2)-4m2+25/?2.(3)(a+b)2-4a2.

(4)/一i.(5)9(m+n)2-(m-n)2.(6)mx2-4my2.

知识点02完全平方公式分解因式

1.完全平方公式分解因式的内容：

a2+2ab+b~=。

2.式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个，其中两项符号__________&都能写成的形式，

第三项是平方两项乘积的。

②因式分解结果：等于的平方或的平方。若第三项与平方两项符号，

则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，

则在括号前添加负号。

题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值

【即学即练1】

4.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是()

A.a2+ab+b2B.9/-4yC.4a2+l-4aD.q2+2q-1

【即学即练2】

5.下列各式中：①/…；②/如尹;③一…+4叫④”-1到⑤3x2-

6xy+3y2,能用完全平方公式分解的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练31

6.把下列各式分解因式.

(1)层-6mn+9m2(2)a~-14aZ>+49Z>2

(3)a2-4加4后(4)m2-10m+25.

【即学即练4】

7.分解因式：

①/+6x+9=；②1-4"4廿=；

(3)-a~+2a-1=.

【即学即练5】

8.已知X2->2=69,x+y=3,贝!]x-y=.

【即学即练6】

9.若/+TMX+16=(x+n)其中〃?、〃为常数，则"的值是()

A.〃=8B.»=±8C.〃=4D.〃=±4

【即学即练7】

10.若/+5工+加=(x+〃)2,则加，"的值分别为()

A259R

A.加=上上B.m=-=^,n=5

424

5

C.掰=25,n=5D.m=5,n=—

2

知识点03十字相乘法分解因式

1.十字相乘法分解因式：

对于一个二次三项式+6x+c,若存在。=4].°2，C=C]-C2,且口1。2+口2。1=6，那么二次三项

式ax2+bx+c可以分解为：ax~+bx+c=(a1x+c1)(a2-^+C2)

举例说明：2X2+5X+3

2/3=3

xx3+2=5。；.2x~+5x+3=(2x+3*x+1)

11=2

对于初中所用的十字相乘法，二次项系数。都是等于1的，即》2+乐+。。若存在有。=。广。2,且

2

。1+。2=人贝IX2+bx+c可分解为：x+bx+c=(x+c^)(x+c2)

举例说明：X2+7X+12

：12=3x4且3+4=7

x2+7x+12=(x+3)(x+4)

题型考点：①十字相乘法分解因式。②根据十字相乘法分解因式求值。

【即学即练1】

11.十字相乘法分解因式:

(1)N+3%+2(2)x2-3x+2(3)X2+2X-3

(4)x2-2x-3(5)X2+5X+6(6)x2-5x-6

(7)N+x-6(8)x2-x-6(9)x2-5x-36

(10)X2+3X-18(11)2x2-3x+l(12)6X2+5X-6.

【即学即练2】

12.把多项式N-6x+加分解因式得(x+3)(x-〃)，则加+〃的值是.

【即学即练3】

13.把多项式/+办+6分解因式，得(x+1)(x-3),贝!Ja,b的值分别是()

A.Q=2,b~~3B.a~~~2,b=-3C.ci~~~2,b=3D.a=2,b~~~3

题型精讲

题型01公式法分解因式

【典例1】

因式分解：

(1)7M2-16；(2)(a2+l)2-4a2.

【典例2】

把下列各式因式分解:

(2)(x+y+1)2-(x-y+1)2.

【典例3】

把下列各式因式分解：

(1)(/+4)2-16x2；(2)-4ab-4a2-b2.

【典例4】

把下列各式因式分解：

⑴-x2-4y2+4xy；(2)16a2-(2〃+3b)2

【典例5】

因式分解：

(1)-4x2+12xy-9y2；(2)4-12(y-x)+9(x-y)2.

【典例6】

分解因式：

(1)(3x-2)2-(2x+7)2；(2)(N+2)2-6(N+2)+9.

题型02公式法的应用一一求值

【典例1】

若4/-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是(

A.13B.13或-11C.-11D.无法确定

【典例2】

已知x2-2ax+b=(x-3)2,则b2-a2的值是()

A.-72B.-45C.45D.72

【典例3】

已知9/+加口+16y2能运用完全平方公式因式分解，则加的值为()

A.12B.±12C.24D.±24

【典例4】

若小+(加-3)x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数加的值为()

A.1或5B.7或-1C.5D.7

【典例5】

已知4/+2(左+1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则―.

题型03十字相乘法分解因式

【典例1】

把多项式x2-3x+2分解因式，下列结果正确的是()

A.(x-1)(x+2)B.(x-1)(x-2)

C.(x+1)(x+2)D.(x+1)(x-2)

【典例2】

分解因式：

(1)x2-⑵+36=；X2+2X-15=；

(2)(x-2)(x-3)-20.

【典例3】

阅读下列材料：将一个形如x2+px+g的二次三项式因式分解时，如果能满足q=且/>="+",则可以把

x2+px+q因式分解成(x+机)Cx+n).

例如:①/+4x+3=(x+1)(x+3)；

②/-4x-12=(x-6)(x+2).

根据材料，把下列式子进行因式分解.

(1)X2-6x+8；

(2)X2-2x-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【典例4】

阅读下面的材料.

材料一：当仍=0时，6Z=0,或b=0.

材料二：把等式(X+Q)(X+6)=/+(q+b)x+ab的左右两边交换位置后，得到/+(Q+6)x+ab=

(x+q)(x+b),也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如/+31+2=(x+1)

(x+2).

所以在解方程N+3x+2=0时，可以把方程变形为(x+1)(x+2)=0,所以x+l=0,或x+2=0.所以干

=-1,%2=-2.

根据以上材料回答下列问题：

(1)因式分解：N+7X-18=；

(2)解方程：x2-5x+4=0；

(3)若/-孙-12y2=0,则x与y的关系式是.

题型04十字相乘法的应用一一求值

【典例1】

把多项式N+5x+冽因式分解得(x+n)(x-2),则常数冽，〃的值分别为()

A.m=-14,n=7B.m=14,n=-7

C.冽=14,n=lD.m=-14,n=-7

【典例2】

若(x+3)(x-5),则p、q的值分别为()

A.-15,-2B.-2,-15C.15,-2D.2,-15

【典例3】

若/-办-1可以分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【典例4】

若将多项式/-ax+b因式分解为(x-2)(x+5),则(-3Q+6)2023的值为()

A.0B.-1C.1D.1或-1

强化训练

1.下列各式不能运用公式法进行因式分解的是()

A.-源+房B.16m2-25n2C.4X2+4X+1D.a2+2ab-b-

2.已知x2+fcv+36可以用完全平方公式进行因式分解，则左的值为()

A.±6B.±12C.6D.12

3.下面分解因式正确的是()

A.4*-4Q+1=4Q(Q-1)+1

B.a2-4b2=(q+4b)(Q-4b)

C.4Q2-12Q+9=(2Q-3)2

D.lab-a2-b2=-(a+b)2

4.若多项式N+g：+〃可因式分解为(x-2)(x+3),贝！J加〃的值为()

A.6B.-6C.-5D.1

5.已知多项式4/-(y-z)2的一个因式为2x-y+z,则另一个因式是()

A.2x-y-zB.2x-y+zC.2x+y+zD.2x+y-z

6.现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数

法可表示为()

A.1.1111111X1016B.1.1111H1X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

7.若(q-b-2)2+|q+b+3|=0,贝1J片一乂的值是()

A.-1B.1C.6D.-6

8.若二次三项式"2+bx+c=(Q1%+C])(〃2]+。2)，则当Q>0,b<OfC>0时，C1，。2的符号为()

A.ci>0,。2>0B.ci<0,c2VoC.0i>0,c2VoD.c\,。2同号

9.分解因式：x6-28X3+27=.

10.分解因式：(y+2x)2-(x+2y)2=