空间直线、平面的平行-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）解析版

专题38空间直线、平面的平行（新高考专用）

■目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................14

【考点11直线与平面平行的判定与性质........................................14

【考点2】平面与平面平行的判定与性质........................................24

【考点3】平行关系的综合应用................................................32

【分层检测】...............................................................43

【基础篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................54

【培优篇】.................................................................62

考试要求:

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、

平面与平面的平行关系，并加以证明.

••知识梳理

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线

a____

与此平面内的一条直a,bua,a//b=>a

判定定理

线平行，那么该直线与//Q

此平面平行

一条直线和一个平面

平行，如果过该直线的a//a,au8,aCB

性质定理

平面与此平面相交，那=b^>a//b

么该直线与交线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的

auB,buB,aCib

两条相交直线与另

判定定理%%/=P,a//a,b//an

一个平面平行，那

X/a//J3

么这两个平面平行

两个平面平行，则

其中一个平面内的/a/a//0,aua0ali

性质

直线平行于另一个A.__/£

平面

两个平面平行，如

果另一个平面与这a〃£,a（~yy=a,

性质定理

两个平面相交,那八:与必J3r\y=b=>a//b

么两条交线平行

I常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a±/3,则a〃及

⑵平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃人/3//y,则a〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若b±a,则

2.三种平行关系的转化

性质定理

▼判定定理判定定理

线线平行空一线面平行.々面面平行

性质定理性质

国真题自测

一、解答题

1.（2024•全国,高考真题）如图，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/io,

=■为CO的中点.

(1)证明：EM〃平面BCF；

⑵求点M到ADE的距离.

2.（2023•全国•高考真题）如图，在三棱锥尸—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=26,PB=PC=R,

3尸,4尸,3。的中点分别为。,£,。，点厂在4?上，BF1AO.

⑴求证：〃平面ADO；

⑵若/POP=120。，求三棱锥尸-ABC的体积.

3.（2023・天津•高考真题）如图，在三棱台ABC-44G中，平面

ABC,AB±AC,AB=AC==2,=1,〃为BC中点.，N为AB的中点,

（2）求平面AMQ与平面ACQA所成夹角的余弦值；

⑶求点C到平面AMQ的距离.

4.（2022•全国•高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面

ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,应如均为正三角形，且它们所在的平面都

与平面ABCD垂直.

(1)证明：EF〃平面ABC。；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

5.(2022・北京・高考真题)如图，在三棱柱ABC-44G中，侧面BCC内为正方形，平面BCQ4，平面AB耳A,

AB=BC=2,M,N分别为A耳，AC的中点.

B[M

C

⑴求证：MN〃平面BCC4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A2与平面所成角的正弦值.

条件①：ABLMN-,

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

参考答案:

1.⑴证明见详解;

加6而

⑷-~-

【分析】(1)结合已知易证四边形EFCM为平行四边形，可证〃尸C,进而得证;

(2)先证明Q4，平面EDM,结合等体积法VM_ADE=VA_EDM即可求解.

【详解】(1)由题意得，EF//MC,且=

所以四边形是平行四边形，所以EM/AFC,

又u平面BCF,EMU平面BCF,

所以〃平面BCP；

(2)取。M的中点。，连接。4,0E,因为A3〃MC,且AB=MC,

所以四边形是平行四边形，所以AM=BC=W，

又AD二M,故△ADM是等腰三角形，同理是等腰三角形，

^^OAlDM,OE±DM,OA=JAD2=3,0E=]ED?等]=6,

又AE=2百,^VXO^+OE2=AE2,故OA_LOE.

又OA_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以Q4_L平面EDM,

易知S,E7Ml=gx2xJ^=G.

在VADE中，cosZDE4=4+12一,二0

2x2x2。4

所以sinZDEA=叵,S让4=^x2x2若、巫=叵.

4的242

设点M到平面ADE的距离为d,由VM_ADE=VA_EDM,

得gSg/qSEaOA,得〃=噜，

故点M到平面ADE的距离为5坦.

13

AB

B\

E‘F

2.(1)证明见解析

⑵巫

3

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形OD所为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【详解】(1)连接/，设=则BF=8A+A尸=(l-f)8A+fBC,AO=-BA+^BC,BF1AO,

1215

则BFAO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC-=4(t-V)+4t=0,

22

解得f=则/为AC的中点，由£>,瓦。产分别为PB,外,3C,AC的中点，

2

于是£)四〃43,。后=,43,0/〃4氏0歹=工48,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又EF<X平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

(2)过尸作PM垂直尸。的延长线交于点M,

因为PB=PC,。是3c中点，所以尸O18C,

在中，PB=a,BO==BC=后,

2

所以PO=JPB2-OB2=而^=2,

因为尸//AB,

所以OP_L3C,又POcOF=O,尸。,。/u平面尸。/，

所以3C人平面尸0斤，又孙/u平面尸。尸，

所以又BCFM=O,8C,FMu平面ABC,

所以PW_L平面ABC,

即三棱锥尸-ABC的高为PM，

因为4?0斤=120。，所以NPOAf=60。，

所以刊0=尸(尢皿60°=2*@=6，

2

又名树=|AB-BC=1X2X2A/2=2V2,

所以/ABC=-S.ABC-PM=-x2s/2xy/3=^-.

r-Aol^3ZAADC3/3

R

D,

3.⑴证明见解析

（靖

呜

【分析】（1）先证明四边形MW41G是平行四边形，然后用线面平行的判定解决;

（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；

（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解

连接MN，GA.由分别是8C,8A的中点，根据中位线性质，MN//AC,且阿=丁=1,

由棱台性质，AG//AC,于是MN//AG，由MN=A£=1可知，四边形/G是平行四边形，则4N〃

MCX,

又4N<Z平面G"A,MC]U平面GK4,于是AN〃平面AMG.

(2)过M作MELAC,垂足为E,过E作垂足为歹,连接M/，GE.

由MEu面ABC,AAJ■面ABC,A4,1ME,又ME_LAC,ACP\AAt=A,AC,A41u平面AC£4，则

平面ACGA.

由AGu平面4CC|4，故ME_LAG，又斯，AC］,MEcEF=E,平面MEF,于是AG，平

面MEF,

由Wu平面MEF,故AG，MF.于是平面AMC｛与平面ACCtA,所成角即ZMFE.

AB1.22

乂A/E=—=1,cosZCAC]>贝!|sinNCA。,故EF=lxsin/CAC],在RtMEF中,

（3）［方法一：几何法］

过C1作GPLAC,垂足为尸，作GQLAM,垂足为。，连接尸。，尸M,过尸作PR，G。，垂足为R.

由题干数据可得,GA=C\Cf,C[M=[CF+PM2=#>,根据勾股定理,

由GP，平面AMC,Akfu平面AMC,则GPLAM,又GQLAM,G。C,P=C1,C|Q,C/u平面C£Q,

于是A加2平面C/Q.

又mu平面。尸。，则尸尺，411,又尸穴，4。，CtQAM=Q,6彼人^^平面0^^故尸我,平面。］；^.

在Rt<PQ中'm=1詈=6=j

F

又C4=2PA,故点C到平面CXMA的距离是p到平面CXMA的距离的两倍,

,4

即点C到平面AMCt的距离是§.

［方法二：等体积法］

辅助线同方法一.

设点C到平面AMCX的距离为/Z.

V

ct-AMc=~xCtPxS=jx2x-x^V2)=-,

1

V_z,V_1z1R35/2_/z

xflxSxhxXX

%-C1MA=~,AMCl=--y^—^=--

h24

由％Cj—A/MWC=VCr—CMA2—3—，即〃3.

4.（D证明见解析；

⑵*

【分析】⑴分别取钿,3C的中点M,N,连接跖V,由平面知识可EM=FN,依

题从而可证平面ABCD,印，平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知应0/〃W,即可知四边形

£WF为平行四边形，干是EFIIMN,最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取AQOC中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体KmVL-EFGH的体积加上四棱

锥3-肱VFE体积的4倍，即可解出.

【详解】（1）如图所示：

G

分别取的中点M,N,连接MN,因为二E钻.ESC为全等的正三角形，所以,

EM=FN,又平面及1B_L平面ABCQ,平面E4Bc平面ABCD=AB,EMu平面E4B,所以EM_L平面

ABCD,同理可得EV，平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知应0///W,^EM=FN,所以四边形

EMNr为平行四边形，所以EFI/MN,又EP.平面A5C。，MNu平面ABCD,所以防〃平面ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如图所示：

分别取力D,OC中点K,"由（1）知，EF//MN&EF=MN,同理有，HEI/KM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GFLN,由平面知识可知，BDLMN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,

所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥3-MVFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4拒,EM=8sin60=46，点8到平面MNFE的距离即为点B到直线“V的

距离d，d=20，所以该几何体的体积

丫=（4@，4肉4、卜4必4昌2血=128用一百=等技

［方法二］:分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于0,连接。EQFQGQH.则该几何体的体积等于四棱锥0-EFGH的体积加上三棱锥A-0EH的4

倍,再加上三棱锥E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中点P,连接APQP.则EH垂直平面

AP0.由图可知，三角形AP0,四棱锥0-EFGH与三棱锥E-0AB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

V=1.4^-(4V2)2+4---4V2--472-4A/5+4---4^--4V2-472=-^^.

332323

5.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)取A3的中点为K,连接MK,NK,可证平面MKN〃平面BCC4,从而可证〃平面BCC4.

(2)选①②均可证明平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面

角的正弦值.

【详解】(])取A3的中点为K,连接

由三棱柱ABC-AgG可得四边形人344为平行四边形，

而百则

而平面BCC[4，平面BCC内，故MK〃平面BCC4,

而CN=NABK=KA,则腿〃3C,同理可得NK〃平面BCC1耳，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面〃平面BCC4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

(2)因为侧面8CC内为正方形，故C3L8耳，

而CBu平面BCCtBt,平面CBB]G，平面ABB}4，

平面CBBXCXn平面ABBlAi=BBt,故C8_L平面AB4A,

因为NKHBC,故NK_L平面AB44，

因为ABu平面ABBiA,故NKJ_AB,

若选①，则AB,朋N,而NKLAB,NKMN=N,

故ABI平面肱VK,而AIKu平面肱VK,故AB_L"K,

所以而CBcAB=B,故8月，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),

故3A=(O,2,O),BN=(l,l,O),BM=(O,l,2),

设平面BMW的法向量为〃=(x,y,z),

n-BN-0fx+y=0t,、

则…c,从而:n>取z=—l,贝|J〃=-2,2,-1,

设直线A3与平面BMW所成的角为6,则

sin。=卜os(w,AB，=2~3=J'

若选②，因为NKHBC,故NK_L平面而KMu平面43与A，

故NK1KM,=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB=MN,故BBtM=MKN,

所以NBB、M=ZMKN=90°,故4旦_LBB,,

而C2J.8瓦，CBcAB=B,故2瓦_1平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),

故朋=(O,2,O),3N=(l,l,O),8M=(O,l,2),

设平面BNM的法向量为"=(x,y,z),

n-BN=0y=0/、

则，从而:c，取z=—1,则〃=一2,2,-1,

n-BM(y+2z=0

设直线A3与平面BNM所成的角为。，则

考点突破

【考点1】直线与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024•江西景德镇•三模）已知6是空间内两条不同的直线，a,B,7是空间内三个不同的平面，

则下列说法正确的是（）

A.若aua,则a_L/7

B.若aL/3,则aPa

C.若ac0=a,a_L/,则。

D.若ac0=a,bVa,则/?_1_<2或

2.（2024•内蒙古・三模）设a,0是两个不同的平面，m，/是两条不同的直线，且a尸=/则"加〃"是"力//

且加〃tz”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

3.（2024•湖北黄冈,模拟预测）如图，正方体ABCD-AgGA的棱长为3,点E、FG分别在棱，RG，

D.ED.F1

4人上，满足亍缄=染=£，AG=X4A，记平面与平面ABC。的交线为/,贝（）

£7]3£7.CxiJ

Fc.

A.V2e（O,l）,AC〃平面£FG

B.平面所G截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是240,1）

2

C.4=1时，三棱锥A-瓦6的外接球表面积为24兀

D.4=g时，直线/与平面ABC。所成角的正弦值为唱

4.（2023•辽宁沈阳•二模）在正方体ABCO-A4Gp中，AB=1,点尸在正方体的面内（含边界）

移动，则下列结论正确的是（）

7T

A.当直线男尸〃平面A3。时，则直线用尸与直线CQ成角可能为;

4

B.当直线耳尸//平面43。时，P点轨迹被以A为球心，!■为半径的球截得的长度为：

4/

7TJT

C.若直线与尸与平面CGR。所成角为;，则点P的轨迹长度为g

42

D.当直线4PLA8时，经过点8,P,2的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为］当,拒

三、解答题

5.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知平面BCE,CD//AB,3CE是等腰直角三角形，其中

⑴设线段BE中点为p，证明：CF〃平面ADE；

（2）在线段A3上是否存在点M,使得点B到平面CEM的距离等于受，如果存在，求MB的长.

2

6.（2024•北京顺义•三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，ZABC=6Q°,AE//DF,AE.LAD,

AB=AE=2DF=4.

E

⑴判断AD是否平行于平面CEF,并证明；

(2)若面田:_1_面A6CD；求：

(0)平面ABCD与平面CEF所成角的大小；

(团)求点A到平面CEF的距离.

参考答案：

1.C

【分析】借助于模型，完成线面关系的推理可得c项正确，可通过举反例或罗列由条件得到的所有结论,

进行对A,B,D选项的排除.

【详解】对于A,由a_L/7,aua,设a(3=1,当。///时，可得。〃故A错误；

对于B,由。_1_£,a，/?可得a〃a或aua,故B错误；

对于C,如图，设=BY=c,在平面a作不与。重合的直线机，使机_Lb,

因aJ_/,则加J_/,因/?J_/,muB,则〃M/月，因ac£=a,则加//a,于是a_L7,故C正确;

对于D,当c_L£,ac[5=a,时，若匕且

则6可以和平面a,6成任意角度，故D错误.

故选：C.

2.C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求

解.

【详解】当机///时，比可能在a内或者月内，故不能推出机///且加//a,所以充分性不成立；

当机//£且“4/a时，设存在直线“ua,na。,且“//〃z,

因为机〃尸，所以〃//£,根据直线与平面平行的性质定理，可知〃〃/,

所以m//l,即必要性成立，故"〃"//"是"〃"/尸且〃〃/a"的必要不充分条件.

故选：C.

3.ACD

【分析】根据线面平行的判定定理判断A；画出截面即可判断B；建立如图空间直角坐标系，确定球心和半

径即可判断C；作出截面，如图，确定交线，利用空间向量法求解线面角即可判断D.

【详解1A：由题设及正方体结构特征，有AC//EF且ACU平面EFG,EFu平面EFG,故AC"平面EFG,

故A正确；

B：当4e(0,l)时，平面EfG截正方体所得截面图形为五边形或六边形，

如图，所以充分性不成立，故B错误：

05DFG

C：以。为原点，以D4,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

当2=(时，5(3,3,0),G(0,3,3),G(3,0,l),£(1,0,3),*0,1,3),

外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面4R/M的直线上，

EG的中点加(2,0,2),可记球心0(2/2),外接球的半径厂=|。同=|。尸|,

所以J1+7+1=J4+(-1)+1,解得t=2,r=y/6,

所以三棱锥A-E/G的外接球表面积为24兀，故C正确;

FG

D：作出截面图形，交A。于M（2,0,2）,交耳C于

直线/即为直线MN,=又平面ABCD的法向量为〃=（O,（U）,

.川3

2A/6

则/与平面ABCD所成的角夕满足sin。=cosMN,“故D正确.

I|AW||»|19c9~6~

44

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

4.BCD

【分析】A应用线面平行、面面平行的判定证面A3D//面进而判断P的轨迹，即可判断线线角的

范围；B根据A分析知：P点轨迹为线段C2，再画出球与各面的截面形状,即可判断;C根据耳G，面CCRD,

结合线面角大小确定尸的轨迹，即可求长度；D首先确定尸轨迹为线段CG，再应用平面的基本性质画出截

面，进而确定面积范围.

【详解】A：如下图，连接C4、CR、BR,由正方体性质知：CB\HDA\,CR//网,

由eq。面照＜=面48。，则Cq〃面同理可证CR〃面,

又CgCD,=C,C4，CRu面C4R,故面480//面CBQ,

由耳e面CBQ,面CBQc面CG，O=C，，且尸在正方体的面CG。。内，

所以，要使直线4尸〃平面43。，则4Pu面C瓦R,即尸eCR,又国C瓦2为等边三角形,

故尸在CR上运动时，直线男尸与直线CQ成角为耳,自，错误；

B：由A分析知：直线男尸//平面480,P点轨迹为线段CR,

取C2中点H,连接AD1,AH,而回AC2为等边三角形，则AH=^AD；-HD；==(

以A为球心，!■为半径的球截C2的长度为2小｝2_(当y=g,正确；

JT

C：由4G，面CGA。，显然用2、3c与面CG2。夹角为：，

4

7T1

所以，要直线男尸与平面CG。。所成角为:，则p轨迹是以G为圆心C2为半径的:圆,

44

如下图示:

4D、

171

所以‘轨迹长度为r2k5,正确;

D：若4P_LA8,而AB〃CD,则与尸_LCD,而CD_L面8耳£。，21€面8月£。，

又面BBCC1面CCQQ=CG，故尸轨迹为线段CC，

过2作AE//BP交AA于E,连接班，易知：截面BP2E为平行四边形，如下图,

当P与C或C1重合时，截面为矩形，此时面积最大，为0；

当P为C£的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为工x6x0=

22

所以截面面积的取值范围为F卷,④,正确.

故选：BCD

5.(1)证明见解析

(2)存在，MB的长为今詈

【分析】(1)取AE的中点G,根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)设MB=X,根据等体积法％-MEC=%-BEC求出X的值，即可得出结论.

【详解】(1)取BE的中点/，AE的中点G,连结尸G、GD、CF

贝I］有GF=；AB,GFIIAB,

因为DC=LA8,CD//AB,所以CD〃G/且CE>=GE,

2

所以四边形CFG。是平行四边形，则CF〃DG,

又。Gu平面ADE,CP<z平面ADE,

所以CP〃平面ADE.

(2)存在.设河8=%(0<%<4),在Rt^BEC中，EC=BE2+BC2=4-72.

111Qy

x

因为MBJ,面BEC,所以VM_BEC=§$BECMB=—x—xBExBCxMB=­.

因为面BEC,fiEu面BEC,8Cu面BEC

所以MB_LBE,MBLBC,

则-MBE,.MBC均为直角三角形.

在RtAffiE中,ME=dMB。+BE?7£+16

同理，MC=&+16.

取EC的中点7/,因为ME=MC,所以MHLEC,

而MH=JME2-EH?=6+8.

22

故SMFr=-xECxMH=-x4s/2xy/x+8=y/8x+64.

c22

因为点B到面CEM的距离等于正，

2

所以V-1Sx亚-2J/+8

切"VB-MEC-§3MEC*-

而％MEC=%.BEC，所以也匣，解得x=也.

3315

所以在线段A5上只存在唯一一点M,当且仅当8加=3回时，点3到面CEM的距离等于，2.

152

A

6.（1）4。与平面CEF不平行，证明见解析

（2）⑴f；（H）2忘

【分析】（1）取AE中点G,证明AD//GP,假设AD//平面CEF,根据线面平行性质定理证明AD//EF,

推出矛盾，可得结论；

（2）（i）证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角，（ii）利用向

量方法求点到平面距离.

【详解】（1）4。不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中点G,

因为AE=2DP,所以AG//D£AG=D/

则四边形AGED为平行四边形，所以AO//G/,

又GFcEF=F,所以AD不平行于EF,

假设的）〃平面CEF,

因为平面CEFc平面=A£>u平面ADFE

所以AD/AEF,与AO不平行于防矛盾，

所以假设不成立，即不平行于平面CEF；

（2）取CD中点连接AM

因为菱形ABCD,ZABC=60°,

所以ACD为正三角形，又/为C。中点，所以40LCD,

由于AB//CD,所以

又面丛6_1_面色8。£>,面E4Bc面ABCD=AB,Wu面ABCD

所以401面E4B,因为AEu面上46,所以

又因为AE_LAD,AMAD=4,政心<=面48<7£),

所以隹_1_面45。，而AB,AMu面ABCD,所以AE_LAB,

所以如图，以A为原点，AB,AM,AE所在直线为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),2(4,0,0),。(2,260),现0,0,4),网一2,262)

(i)因为面A3cO,所以AE=(0,0,4)为平面A3C。的一个法向量

设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),因为CE=卜2,-2石,4),"=(-4,0,2)

n-CE=-2x-2s/3y+4z=0\y=

所以，_令x=l,〃=(1,62)

nCF=-4x+2z=0[z=2x

设平面ABC。与平面CEF所成角为6,

I_I\n-A^\8A/2Jr

所以cos6=cos<况AE>=^^=—^=一,则e

11\n\-\AE\2j2x424

即平面ABCD与平面CEF所成角大小为二；

(ii)因为衣=(2,2"0),由⑴知平面的一个法向量为〃=(1,后2)

所以点A到平面CEF的距离为=12+^01=20.

\n\2V2

反思提升：

(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理（a。a,bua,a//b^>a//a）.

③利用面面平行的性质（a〃W，aua3a〃£）.

④利用面面平行的性质（a〃A，a&£,a//a=a〃£）.

（2）应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

【考点2】平面与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024•安徽安庆・三模）在正方体-ABC，中，点瓦尸分别为棱的中点，过点及三点

作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱B片的交点是棱2瓦的一个三等分点

c.AC，平面

D.平面〃平面GEF

2.（2024•福建南平•二模）在正四面体A3CO中，尸为棱AD的中点，过点A的平面a与平面P3C平行，平

面a平面=平面a平面AC£>=",则比，”所成角的余弦值为（）

A.也B.1C.2D.正

3333

二、多选题

3.（23-24高一下•河南•阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，

规定：多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面

角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为g,故其各个顶点的曲率均为

271_3><=

21'如图，在直三棱柱MdAB。中，AC=BC=2,A41=|>点C的曲率为■|，2瓦厂分别为

4C,AB，AG的中点，则（）

A,直线8尸〃平面AQE

B.在三棱柱ABC-4耳G中，点A的曲率为957c

0

C.在四面体A]AOE中，点E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小为三

4.（2024•河北保定•二模）如图1,在等腰梯形A5CD中，AB//CD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,将四边形沿EF进行折叠，使AO到达AD位置，且平面A£>'FE_L平面3CFE,连接A3,

D'C,如图2,则（）

DF

EBAE

图1图2

A.BE^AD'B.平面A'EB〃平面DFC

7T

C.多面体AEBCD&为三棱台D.直线AD与平面3CFE所成的角为:

三、解答题

5.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在圆锥尸。中，P为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，四边形A3CO

是底面的内接正方形，E#分别为PD,PA的中点，过点的平面为a.

⑴证明：平面。「平面PBC；

（2）若圆锥的底面圆半径为2,高为石，设点/在线段EF上运动，求三棱锥尸-MBC的体积.

6.（2024•山东潍坊•三模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB1AC,AB=AC=2AA1,E是棱BC的中

点.

B

⑴求证：AC〃平面

（2）求二面角A-4的大小.

参考答案:

1.B

【分析】将线段阱向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱8的延长线交于G,”，连GG,£〃分别与棱

BPBG1

B综D2交于尸,。，可判断A；利用相似比可得==亍=£,可判断B；证明4C，平面3G。即可判断

C；通过证明AC，平面A用A，可判断D.

【详解】对于A,将线段反向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CO的延长线交于G,H,

连GG，G〃分别与棱叫交于P,Q,得到截面多边形C/EFQ是五边形，A错误；

对于B,易知△AEF和3EG全等且都是等腰直角三角形，所以G2=A/=；2C,

BPBG1BP1~

所以==即■"二£,点P是梭BA的一个A二等分点，B正确；

CCjCrCJDD}J

对于c,因为4瓦，平面BCC4，BC]U平面BCG4,所以

又BCJB。,AiB1瓦C=耳，A瓦,用Cu平面44C,所以J.平面44C,

因为ACU平面480,所以ACLBC],同理可证4CLBD,

因为BOcBG=B,BD,BQu平面BC.D,所以A.C，平面BC.D,

因为平面BCD与平面GM相交，所以A。与平面G所不垂直，C错误;

对于D,易知BC\〃AD\,BDHB\D\,所以人。，AQ，4C，瓦2,

又AC\cBR=Di，AD1,BRuABR,所以A.C_L平面ABR,

结合C结论，所以平面0所与平面A4R不平行，D错误.

故选：B.

2.B

【分析】由面面平行的性质定理可得机//3P,n//PC,所以机，〃所成角即为/8PC,在△3PC中，由

余弦定理求解即可.

【详解】因为平面a〃平面BBC,a、平面ASD=m,平面尸BCc面=3尸，

所以m//BP,

因为平面a〃平面P3C,a平面ACD=〃，平面尸3Cc面ACD=PC,

所以“//PC,

所以加，"所成角即为3尸,PC所成角，

而所成角为，3PC,设正四面体ABCD的棱长为2,

所以AS=AC=AD=3D=3C=2,所以BP=CP=6^2=5

故选：B.

3.ABD

【分析】利用面面平行的判定性质判断A；利用曲率的定义计算判断BC；作出二面角的平面角并求得其大

小判断D

【详解】对于A,取A4的中点G,连接2G,FG,由DE,歹分别为AC,AB，aa的中点，

得DEIIBCIIB&IIFG,而歹G<Z平面DEu平面4。石，则尸G//平面A^E,

又BE11Afi,BE=Afi,则四边形AEBG为平行四边形，\EHBG,

而3G<Z平面A。',AEu平面4。£,则BG//平面AOE,又BGFG=G,

2G,尸Gu平面3FG,于是平面3FG〃平面AQE,由3尸u平面BFG,得〃平面AQE,A正确;

对于B,在直三棱柱ABC-AB。］中，CC,±AC,CCt±BC,

r\

则点C的曲率为2兀一2x'-NACB=g,解得/AC8=W，由AC=5C,得/CAB=^,

JTTTSi?

而因此点A的曲率为2兀一2x^-9=三，B正确；

对于C,过A作AHLED,交石。的延长线于“，连接4",由ML平面A3C,

DEu平面ABC,得A4］，OE,MiAH=A