2025高考数学专项复习：多面体的外接球和内切球（解析版）

2025高考数学专项复习多面体的

外接球和内切球（解析版）

多面体的外接球和内切球

一'结论1

1、球与多面体的接、切

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面

体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是

多面体的内切球。

类型一球的内切问题（等体积法）

例如:在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O,求球半径r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

类型二球的外接问题

1.公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2.补形法（补长方体或正方体）

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设:三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.单面定球心法（定+算）

步骤:①定一个面外接圆圆心:选中一个面如图：在三棱锥P-AB。中，选中底面AAB。,确定其外接圆圆

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②过外心Q做（找）底面AABC的垂线，如图中POY±面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段

POi上）POi上；

③计算求半径R：在直线PO1上任取一点。如图：则OP=04=R,利用公式。4=0^+001可计算出

球半径R.

4.双面定球心法（两次单面定球心）/'・.

如图:在三棱锥P—ABC中：/.

①选定底面AABC,定AABC外接圆圆心Q/_

②选定面^PAB,定^PAB外接圆圆心。2

③分别过Oi做面ABC的垂线,和Q做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心O

dj,（2023春・湖南湘潭・高二统考期末）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

画2（2023春・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）在四面体中，PALAB,AC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,则该四面体的外接球的表面积为（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20n

吼虫（2023秋•湖南娄底•高三校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早

1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P-ABCD

是阳马，PAL平面ABCD,P4=5,AB=3,BC=4.则该阳马的外接球的表面积为（）

B

125缶500兀

B.50兀C.1007C

3

血］4（2023•全国•高三专题练习）已知菱形4BCD的各边长为2,/。=60°.如图所示，将A4CD沿AC折起,

使得点。到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-48。,此时S3=3.E是线段S4的中点，点F在三

棱锥S—ABC的外接球上运动，且始终保持则点F的轨迹的周长为（）

A-B.手兀C.手兀D.当工兀

OOOO

题5（2023•浙江•校联考模拟预测）在三棱锥ABCD中，对棱AB=CD=2四,AD=BC=瓜AC=BD=

弱,则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

吼色（2022春・山西•高二校联考期末）如图所示，用一个平行于圆锥SO的底面的平面截这个圆锥，截得的圆

台，上、下底面的面积之比为1：9,截去的圆锥的底面半径是3,圆锥SO的高为18.则截得圆台的体积为

;若圆锥S。中有一内切球，则内切球的表面积为.

二.针对训练举一反三1

一、单

题目工（2023•陕西西安・统考一模）在三棱锥A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD为斜边的

等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，AC=4,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

题目②（2023•湖南•模拟预测）在三棱锥A—BCD中，AB_L平面BCD,BC_LCD,CD=2AB=2BC=4,

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积与三棱锥力-BCD的体积之比为（）

A.芈B.坐C.2兀D.9兀

42

［题目回（2023•山西临汾•统考一模）《九章算术・商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体■作

注:“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖腌夹一堑堵,即羡除之形.”羡除即为:三个面为梯形或平行四

边形（至多一个侧面是平行四边形）,其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底

面ABCD为正方形，EF=4,其余棱长为2,则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）

A.2V27tB.4V27tC.岑2兀D.2兀

题目@（2023春•江西•高二校联考开学考试）在长方体ABCD-中，4B=人力产3,AD=2,点M

为平面内一动点，且G河〃平面ACO〉则当取最小值时,三棱锥的外接球的表面

积为（）

A.13兀B.16nC.26nD.32兀

题目回（2023.四川南充.校考模拟预测）在平面中，若正△ABC内切圆的面积为S，内切圆与外接圆之间的

圆环面积为$2,则等=；.在空间中，若正四面体内切球的体积为x，内切球之外与外接球之内的

几何体的体积为弘，则与=（）

>2

XC-^―

A，B-26D

A63154

If回（2023秋・浙江湖州•高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥P-ABCD和三

棱锥Q-P4B组成，其中AB=2.若该多面体有外接球且外接球的体积是安兀，则该多面体体积的最大

O

值是（）

c3+n

2—3

题目1（2023•陕西榆林・统考一模）已知四面体4BCD外接球的球心。与正三角形ABC外接圆的圆心重

合,若该四面体体积的最大值为2四,则该四面体外接球的体积为（）

题目回（2023春・河南新乡•高三校联考开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC,底面边长为2遍，其

内切球为球O,若在此三棱锥中再放入球。，使其与三个侧面及内切球。均相切，则球。的半径为

（）

A.-C.挈D.卓

OyOeZ

题目包（2022春・河南信阳•高一信阳高中校考阶段练习）正棱锥有以下四个命题：①所有棱长都相等的三棱

锥的外接球、内切球、棱切球（六条棱均与球相切）体积比是3份:乎:2；②侧面是全等的等腰三角形顶点

在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥;③经过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切

球球心;④正六棱锥的侧面不可能是正三角形,其中真命题是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

题目叵〕（2021秋•辽宁•高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC-4B'。'中，。是侧棱上一

点，E是侧棱CC上一点，若线段AD+OE+E4的最小值是,且其内部存在一个内切球（与该棱柱

的所有面均相切）,则该棱柱的外接球表面积为（）

A.47rB.5兀C.6兀D.8兀

〔题目〔11］（2022秋.黑龙江哈尔滨.高二校考期中）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一

个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为

（）

D

A-iB-tc-t4

二、填空题

题目电（2023•全国•模拟预测）已知在三棱锥P-ABC中，AAB。是面积为V3的正三角形,平面PBC±

平面ABC,若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为等，则三棱锥P-ABC体积的最大值为.

［题目叵（2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测）己知N为正方体ABCD-的内切球球面上

的动点，河为BiG的中点MB,若动点N的轨迹长度为则正方体的体积是

三、双空题

［题目亘（2023•全国•模拟预测）如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体M-AB。，Q-ABC组合而

成，记正四面体加一ABC的内切球为球Q,正四面体Q—ABC的内切球为球。2，则。1。2=:若在

该六面体内放置一个球。，则球。的体积的最大值是.

题目口引（2022.陕西西安.校考模拟预测）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直

于底面的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4,则该

“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为

多面体的外接球和内切球

一'结论1

1、球与多面体的接、切

定义1;若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面

体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是

多面体的内切球。

类型一球的内切问题（等体积法）

例如:在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O,求球半径r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

类型二球的外接问题

1.公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2.补形法（补长方体或正方体）

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设:三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.单面定球心法（定+算）

步骤:①定一个面外接圆圆心:选中一个面如图:在三棱锥P-ABC中，选中底面A4BC,确定其外接圆圆

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②过外心Q做（找）底面AABC的垂线，如图中FOiX面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段

PO1上）PO1上；

③计算求半径R：在直线PO1上任取一点。如图：则0P=04=R,利用公式。4=0^+001可计算出

球半径R.

4.双面定球心法（两次单面定球心）

如图:在三棱锥P—43。中：

①选定底面XABC,定AABC外接圆圆心Q

②选定面^PAB,定^PAB外接圆圆心。2

③分别过Oi做面ABC的垂线,和Q做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心O

dj,（2023春・湖南湘潭・高二统考期末）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

【答案】8

【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为五，

则2R=Vl2+12+12=故&=空.

所以S=4IZR2=4兀x=37t.

故选：B.

【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.

吼2（2023春・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）在四面体中，PALAC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,则该四面体的外接球的表面积为（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20兀

【答案】。

【详解】因为PA_LAB,PA_LAC,ABAAC^A,AB,ACa平面ABC,

所以P4_L平面ABC

设底面△ABC的外心为G,外接球的球心为则03，平面48。,所以~4〃。©•M

设。为PA的中点,

因为P4_L平面ABC,AGu平面ABC,

所以PA_LAG,所以。D〃AG.

因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AO=yPA=1.

因为/BAC=120°,AB=AC=2,

所以BC=VAB'2+AC2-2AB-ACcosABAC=，4+4—2x2x2x(—/)=2V3,

由正弦定理，得2AG=^^=4nAG=2.

F

所以该外接球的半径R满足我=(OG)2+(AG)2=5,

故该外接球的表面积为S=4兀/?2=20兀.

故选:D

【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出^ABC外心G;②过G做平面ABC的垂线，则外接球

球心O在此垂线上;③通过计算算出半径.

回3(2023秋•湖南娄底•高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早

1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P-ABCD

是阳马，PAL平面ABCD,PA=5,AB=3,BO=4.则该阳马的外接球的表面积为()

【答案】8

【详解】因P4±平面ABCD,4BU平面ABCD,4DU平面ABCD,

则_LAB,PA_LA。，又因四边形ABCD为矩形，则AB±AD.

则阳马的外接球与以P4,AB,4D为长宽高的长方体的外接球相同.

又P4=5,4B=3,AD=BC=^.则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：五=

8

=J32+42+52=52

2―2—2，

则外接球的表面积为：S=4兀&=4兀•等~=50兀.

4

故选：石

【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.

血］4（2023•全国•高三专题练习）己知菱形4BCD的各边长为2,20=60°.如图所示，将A4co沿力。折起,

使得点。到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=3.E是线段SA的中点，点F在三

棱锥S—ABC的外接球上运动，且始终保持力。，则点F的轨迹的周长为（）

A.卒兀B.手兀C.早兀D.岑工兀

OOOO

【答案】。

【详解】取AC中点,则AC_LBM,AC±SM,BMCSM=M,

：.AC平面SMB,SM=MB=^，叉SB=3,：./S®W==30°,作EH_LAC于H,设点F轨

迹所在平面为a,则平面上经过点H且A。_L%设三棱锥S—ABC外接球的球心为。△SAC,ABAC的

中心分别为易知。。」平面SAC,OO2±平面A4C,且初四点共面，由题可得/OMQ

=60°,。四=±SM=冬,解Rt^OOxM,得OO产血。四=1,又C\S=^SM=,则

/OOOO

故平面a截外接球所得截面圆的半径为ri=Vr2—d2=-----于=5f,

/.截面圆的周长为I=2兀丁产5哈兀,即点F轨迹的周长为5哈兀

OO

故选：C

【反思】此题典型的双面定球心。①定^ABC外心。2；②定'ASC外心O1,③再分别过O1,。2做平面

ASC和ABC的垂线，两条垂线的交点，记为外接球球心.

•M

的5（2023•浙江•校联考模拟预测）在三棱锥ABCD中，对棱AB=CD=2。AD=BC=®AC=BD=

则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

【答案】今兀日兀#喏

【详解】因为三棱锥A—BCD每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，

设长方体的长、宽、高分别为力、y、z,如下图所示：

则J人+方—2^2,Vx2+z^—V5,J婿+22=V5,解得x—y—2,z—1,

外接球直径2R=了汁+才+名=3,其半径为R=告，

三棱锥A—BCD的体积V—xyz——^xyzx4=-^-xyz=士,

633

在△ABC中，AC=BC=滤，AB=2方,取AB的中点E,连接CE,如下图所示:

则CE_LAB,且CE=/。。2-4后2=血，所以，$.=-CE=限

因为三棱锥A-BCD的每个面的三边分别为娓、店、2V2,

所以，三棱锥A-BCD的表面积为S=4SA4BO=4V6,

设三棱锥A—BCD的内切球半径为r,则V=：Sr,可得r=3V_4_V6

OS—476—6

所以该三棱锥的外接球体积为3兀&=_1_兀，内切球表面积为4兀?-2=_|■兀.

J/O

故答案为：得兀；弓兀.

/O

【反思】本例属于对棱相等模型，可补形为长方体,再借助长方体模型，求外接球半径.

吼色（2022春・山西•高二校联考期末）如图所示，用一个平行于圆锥S。的底面的平面截这个圆锥，截得的圆

台，上、下底面的面积之比为1：9,截去的圆锥的底面半径是3,圆锥S。的高为18.则截得圆台的体积为

;若圆锥S。中有一内切球，则内切球的表面积为.

•M

【答案】468兀（486—162瓶）兀##486兀—1620兀

【详解】由题意得：截得的圆台，上、下底面半径之比为1:3,截去的圆锥的底面半径是3,故下底面半径为9,

则圆锥SO的体积为V=：x9?兀x18=486兀，由相似知识得：=：,故SO'=6,故截去的圆锥体积

为Vy=；x327Ux6=18兀，故截得圆台的体积为486兀—18兀=468兀，

o

画出内切球的截面图，如下：

则有Rt^SCD〜放/由入。,设内切球半径为凡则CD=CO=凡SC=18一凡由勾股定理得：AS=

花湎=9五由怒=柴得：夸=口,解得：加叟代，

故内切球的表面积为4元&=4兀（Q西2——j=（486—162V5）7T.

故答案为:468兀，（486-162函）兀

【反思】本例内切球问题，主要采用独立截面法，独立出大圆的截面，然后利用相似求解内切球半径。

二.针对训练举一反三1

一、单选题

题目[T]（2023•陕西西安・统考一模）在三棱锥A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD为斜边的

等腰直角三角形，ABCD为等边三角形，47=4,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

【答案】。

【详解】解：过点6作CD的垂线,垂足为E,因为△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形,•M

所以△ACD的外接圆的圆心为E,设的外接圆圆心为O,其半径为R,

则。在BE上，所以05=0。，由面面垂直的性质可知，BE_L平面ACE）,

所以OC=O。=OA,即。为该三棱锥的外接球的球心，CD=4V2

由正弦定理可知，力|^=2R,R=孽，

smoO0

故该三■棱锥的外接球的表面积为S=4兀7?2=4兀x16?2—1?兀.

故选：C

题目句（2023•湖南・模拟预测）在三棱锥A—BCD中，AB_L平面BCD,BC-LCD,CD=2AB=2BC=4,

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积与三棱锥A-BCD的体积之比为)

A.牛B.孚C.2兀D.9兀

42

【答案】。

【详解】

取AD的中点O,连接OB,。。，

因为AB_L面BCD,BDU面BCD,CDU面BCD,

所以AB_LBD,AB_LCD,

所以OB=OA=O。，

所以BD=VBC2+CD2=V20,AD=^AB2+BD2=V4+20=2瓜

因为CD_LBC,ABABC=B,ABu面ABC,BCu面ABC,

所以CD_L面ABC,

又因为ACu面ABC,

所以CD_LC4,

所以OC=OA=OD,所以OA=OB=OC=OD=^4O=«,

所以。为三棱锥A—BCD的外接球的圆心，半径R=逐，

所以球的表面积为S=4兀&=24兀,

三棱锥A-BCD的体积为V=^-SABCD-AB=^-X^X2X4X2=4,

OJ/o

曲S24兀Q

故歹=工=9兀,

3

故选：。

【题目⑥（2023•山西临汾•统考一模）《九章算术・商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作

注:“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖麝夹一堑堵,即羡除之形.”羡除即为:三个面为梯形或平行四

边形（至多一个侧面是平行四边形）,其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底

面ABCD为正方形，EF=4,其余棱长为2,则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）

A.2V27TB.4V27tC.当2兀D.2兀

【答案】A

【详解】连接A。、BD交于点M,取EF的中点O,连接。”,则。河_L平面ABCD.取反7的中点G,连接

FG,作GH_LEF,垂定为H,如图所示，

由题意得，OA^OB^OC^OD,OE=OF=2,HF=^EF=\，FG=^BC=6

：.HG=^FG2-HF2=V2,

：.OM=HG=6,

丸•:AM=*AB=0

：.OA=-^OM'2+AM'2=2,

：.OA=08=OC=OD=OE=OF=2,即：这个羡除的外接球的球心为O,半径为2,

这个羡除的外接球体积为弘=今兀/=弓兀x23=当马.

OOO

・・•ABHEF,ABQ面CDEF,EFu面CDEF,

：.AB〃面CDEF,即:点A到面CDEF的距离等于点B到面CDEF的距离,

又•・・△OE。空△OCD,

^A-OED~^B-OCD~^O-BCD，

•e•这个羡除的体积为％=%-OEZ）+^BCF-ADO~^^O-BCD~^^O-BCD~4xJxJx2X2XV2—

8V2

3'

327r

羡除的外接球体积与羡除体积之比为聂=一、=22兀.

V2

3

故选：4

题目回（2023春・江西•高二校联考开学考试）在长方体ABCD-45G。中，AB=44产3,AD=2,点M

为平面ABB/i内一动点，且6河〃平面ACDi，则当GM取最小值时,三棱锥M-ABO的外接球的表面

积为（）

A.13兀B.16兀C.26兀D.32兀

【答案】A

【详解】根据题意易知，4G〃AC,且ACu平面AC。，4G«平面AC。，所以4G〃平面ACD1,同理

可得BG〃平面ACA；

又AGnBC1=G,4G,BGu平面4BG，所以平面A^BCJ/平面ACD1；

又因为点M■在平面ABBXAX内且CXM//平面ACD1，所以点”在平面ABBXAX与平面ACDX的交线A^B

上，

易知4G=BCi=JU,所以当GM取最小值时，M为线段ArB的中点，如下图所示：

取AB的中点为N,AC,BD交于点、O,连接MN,NO;

则皿N=等,NO=1,所以MO=乂畀,而AO=BO=DO=8科，

所以。即为三棱锥M-ABD的外接球球心，半径R=AO=上。=?异,

则表面积S=4兀&=13兀.

故选：A

题目回（2023・四川南充•校考模拟预测）在平面中，若正△ABC内切圆的面积为S，内切圆与外接圆之间的

圆环面积为$2，则兽=[.在空间中，若正四面体PABC内切球的体积为弘，内切球之外与外接球之内的

几何体的体积为％，则与=（）

V2

A•看B-1c4D-l

【答案】B

【详解】设正四面体PABC的内切球与外接球的半径分别为扁，抽，点P到底面ABC的距离为H,底面

4BC的面积为S,

3x±SH1

由等体积法得Ri=-=--H,

4s4

设4B=Q,正△ABC的中心为O,

则CM.=x。=~^~a，H=Va2—OA2=~^-a,

由（H—凡）2+。4=屋，得&2=^a=1~H=3Ri,

故上=♦讯=j_

%专兀®-瑶）26.

故选：B.

题目回（2023秋・浙江湖州•高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥P-ABCD和三

棱锥Q-P4B组成，其中4B=2.若该多面体有外接球且外接球的体积是平兀，则该多面体体积的最大

值是（）

p

Q

A.3V3B.2V3+1C.设通D.娓屋鼻.

【答案】。

【详解】设正四棱锥P—ABCD的外接球的半径为R,则告兀&=当2兀，解得R=仅

OO

连接AC,BD交于点O,连接PO,

•.•正方形4BCD的边长为2,则OA=OB=OC=OD=®=R,

O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，

则PO=V2,PA=VPO2+OA2=2,故△PAB的是以边长为2的等边三角形，

过O作平面PAB的垂线OE,垂足为E,连接QE,OQ,

由三棱锥O-PAB的体积可得：!xOEx）x2x2x苧=t-xv^x]x2x解得OE=乎,

由题意可知：点Q在四棱锥P—ABCD的外接球的球面上，则OQ=2，

•：EQ+OE<OQ,^EQ<OQ-OE^V2-^,

o

当且仅当O,E,Q三点共线，则QEL面PAB时等号成立，

可得三棱锥Q-PAB的高的最大值为〃一平，

三棱锥Q—PAB的体积VQ-PAB^3义（^A/2—xx2x2x=乂乙广^,

故该多面体体积V=V_-^V_<娓^^+-1-xV2X2X2=4咚

QPABPABCDOOO

故选：D.

题目叵（2023•陕西榆林・统考一模）已知四面体4BCD外接球的球心。与正三角形ABC外接圆的圆心重

合,若该四面体体积的最大值为2遍,则该四面体外接球的体积为（）

A.8nB.等C.16兀D.券

【答案】B

[详解】设球。的半径为R,可得=8。=AC=V3R.

当。O_L平面ABC时，四面体ABCD的体积最大，

此时VD_ABC=R=4&,即4&=273,得3=&,

则该四面体外接球的体积V=弓兀五三专L.

OO

故选：B

题目回（2023春•河南新乡•高三校联考开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC,底面边长为2代，其

内切球为球。,若在此三棱锥中再放入球O',使其与三个侧面及内切球O均相切,则球O'的半径为

【答案】。

【详解】设内切球。的半径为r,球O'的半径为R.设此棱锥的高为儿底面△4BC的中心为

因为底面边长为2遍,底面△48。的高AN=2通x乎=3,所以；x2/x3=373,

所以三棱锥的体积VP-ABC—2x%xS^^ABC—X无x3V3=3,求得h=V3,

oo

在底面AABC中4M=得AN=2,

o

则侧棱长为PA=y/h^+AM2=V(V3)2+22=V7,

每个侧面的三边长为BC=2V3,PB=PC=V7,则侧面的高PN=y/PB2-BN2=V7^3=2,

所以S"BC=y-BC-PN=^-x2V3x2=273，所以三棱锥P—ABC的表面积为3x273+373=9V3.

由等积法知V=；x9A/3Xr=3,得r=

oo

用一平行于底面ABC且与球。上部相切的平面4笈。'截此三棱锥，下部得到一个高为2g的棱台，

那么截得的小棱锥P-48'。'的高为八一27=卓，即为P—ABC高的!，则此小棱锥的内切球半径即为

OO

球。'的半径，•••

根据相似关系，截得的棱锥的体积为3x（]丫=表面积为9V3x（4-）2=V3,

根据等体积法，力X，^xR=!，解得R=噂.

oyy

故选:D

〔顾目可（2022春・河南信阳•高一信阳高中校考阶段练习）正棱锥有以下四个命题：①所有棱长都相等的三棱

锥的外接球、内切球、棱切球（六条棱均与球相切）体积比是30:坐:2；②侧面是全等的等腰三角形顶点

在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥;③经过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切

球球心;④正六棱锥的侧面不可能是正三角形,其中真命题是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

【答案】。

【详解】对①:如图，将三棱锥转化为正方体ABCD-45GD1，设正方体的的边长为a,则三棱锥的边长为

V2a,

三棱锥的外接球即为正方体的外接球,故半径R=,

三棱锥的棱切球即为正方体的内切球，故半径/=^-a,

33

三棱锥的体积V-a-4x《x[xaxaxa=春山设三棱锥的内切球的半径为7,则有-La=4x；x/

J/Joo

x《xV2Gx■y/^Zax，解得r=-^-a,

220

故三棱锥的外接球、内切球、棱切球的体积比是虎：茜闻=27:1:33,①为假命题；

对②:侧面是全等的等腰三角形顶点在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥,②为真命题；

对③:正五棱锥的内切球的球心在顶点与底面中心的连线上，由对称可得，若平面经过正五棱锥一条侧棱

且平分其正五棱锥的表面积，则该平面必过顶点与底面中心的连线，即过正五棱锥一条侧棱平分其表面积

的平面必经过其内切球球心，③为真命题；

对④:如图所示：O为正六棱锥P-ABCDEF的中心，连接PO,AD，则PO_L平面ABCDEF，且A。U平

面ABCDEF，故PO_L皿

若正六棱锥的侧面是正三角形，则AO^PA,故PO=y/P^-AO1=0,此时不能构成锥体，④为真命题.

12

:题目叵〕（2021秋•辽宁•高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC-AB'。中，D是侧棱BE上一

点，E是侧棱CC上一点，若线段AD+DE+EA'的最小值是2/,且其内部存在一个内切球（与该棱柱

的所有面均相切）,则该棱柱的外接球表面积为（）

A.4兀B.5兀C.6兀D.8兀

【答案】B

【详解】设正三棱柱ABC-ABC的底面边长为a,高为机

对三个侧面进行展开如图，

要使线段AD+DE+EA'的最小值是2/7,则连接44'（左下角右上角A）,

此时E在连接线上，故V（3a）2+/i2=2/①，

因为正三棱柱ABC-ASC内部存在一个半径为r的内切球，

[h=2r八

所以底v1整理得无=¥。，

\j2ax3二/3

将=代入①可得。=通，无=1,

所以正三棱柱ABC-ABC的底面外接圆半径为呼x通义得=1,

所以正三棱柱ABC-ASC的外接球半径为J1+十=手，

所以该棱柱的外接球表面积为4兀•（）=5兀

故选：石

[题目叵）（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二校考期中）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一

个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为

（）

【答案】B

【详解】设球半径为R,贝［圆柱底面半径为R,圆柱的高为2R,

贝US产4兀1?2,

S圆柱=S侧+25底=2兀R•27?+2X兀&=6兀中

白/】、/S球2

所以W—二可，

Q圆柱。

故选：

二、填空题

题目至］（2023•全国•模拟预测）己知在三棱锥P—4BC中，A4BC是面积为，^的正三角形，平面PBCL

平面ABC,若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为弩，则三棱锥P-ABC体积的最大值为.

【答案】1

【详解】第一步：找到三棱锥P—ABC的体积最大时点P的位置

过点P作PE_LBC于点E.

因为平面PBC_L平面ABC,平面PBCCI平面4BC=BC,PEu面PBC,

所以PE_L平面ABC,

所以VP-ABC=9SfPE=号PE,

oo

所以要使三棱锥P一ABC的体积最大，则需PE的值最大.

易知点P,BC在同一个圆上，则当E为BC的中点时，PE的值最大，此时△PBC为等腰三甬